Sembolik Mantık Final 1. Deneme Sınavı

Çizelge yöntemi söz konusu olduğunda koşul önermelerinin değillemelerinde önbileşenin kendisi ve artbileşenin değili alt alta yazılır. Mevzubahis çizelgede önbileşenin kendisi yazılmış, artbileşen olan (q ∧ r) önermesinin değili eksik bırakılmıştır. Doğru yanıt E seçeneğidir.   

Bir formülde tüm değişken geçişleri bağlı ise, bu formül sembolik niceleme mantığında bir “kapalı formül” veya “önerme” dir.

Niceleme mantığının sembolik dilinde ad sembolleri gündelik dildeki özel adlar gibi işlev görür. Dolayısıyla, bir ad sembolünün bir kümede yorumlanması demek o ad sembolünü kümenin bir elemanı ile eşleştirmek demektir.

Niceleme mantığında önermelerin yorumlanması için temel kavram olan “model” kavramını ele alabilmek için, kümelerle ilgili en temel kavramlara ilişkin bilgiye ihtiyacımız olacaktır.

Bir A önermesinde geçen tüm nicelemelerin bir S kümesine göre elenmesiyle elde edilen ifade, A önermesinin S kümesindeki bir “doğrusal açılımı” olarak adlandırılır.

(s›q) Galatasaray’ın son maçını kazandıysa iyi oynadığını gösteriyor. Benzer şekilde (~p›t) Galatasaray şampiyon olmadıysa Beşiktaş’ın son maçında kazandığını belirtiyor.

İlk niceleyiciyi kaldırarak indirgeme işlemi yaptığımızda ∃y (Fa ↔ Gy) ∧  ∃y (Fb ↔ Gy) ifadesi ortaya çıkar. Bu ifadeleri de indirgediğimzde bulduğumuz önerme ((Fa ↔ Ga) ∨ (Fa ↔ Gb)) ∧ ((Fb ↔ Ga) ∨ (Fb ↔ Gb)) önermesi olur. Doğru yanıt A seçeneğidir. 

Modele baktığımızda GA'yı Gb şeklinde indirgeyebiliriz ve bu ifadenin doğruluk değeri D'dir. ∃x Gx ifadesini indirgedimizde ise Ga ∨ Gb ∨ Gc ifadesine ulaşırız. Modele göre Gb ve Gc ifadeleri doğru olduğu için Ga ∨ Gb ∨ Gc önermesinin doğruluk değeri de D olur. Bu durumda bu modele göre GA ↔ ∃x Gx önermesi doğru bir önerme olarak karşımıza çıkar. Doğru yanıt C seçeneğidir. 

Sadece bir yüklem ve onu izleyen bir formülden oluşan Yt biçimindeki formüller basit formül olarak adlandırılır.

{?x ?y (FA ? ~Fy), ?y (GB ? ~Fy)} önermeler kümesinde, F ve G yüklem sembolleri, A ve B ad sembolleri geçmektedir.

Tikel-niceleyicinin değillenmesi kuralı: ~∃ν A ve ∀ν ~A önermeleri niceleme mantığında eşdeğer önermeler olduğundan, daldaki bir üst noktada ~∃ν A ifadesi varsa, o dalda bir nokta olarak ∀ν ~A ifadesi eklenir.

“Bazı” kelimesi yerine “kimi”, “en az bir” ifadeleri de tikel-niceleyici anlamında kullanılır. Buna göre, aşağıdaki önermeler niceleme mantığı bakımından aynı yargıyı dile getirirler:

Bazı insanlar filozoftur.

Kimi insanlar filozoftur.

En az bir insan filozoftur.

Çözümleyici çizelge yöntemiyle, ∃x (Fx → FA) önermesinin niceleme mantığında geçerli bir önerme olduğunu yukarıda verilen çizelge ile gösterilmektedir.

Çizelge tamamlandığında tüm dallar kapanıyorsa, bu önermelerin tümünü doğru yapan bir model yoktur. O halde bu önermeler birlikte çelişkilidir.

?x((Gx^Fx)›Hx) önermesinde her başarılı sporcunun çok çalıştığı belirtilmektedir. y(Fy^Hy^ ? Gy) önermesi ise bazı çok çalışan sporcuların başarılı olmadığını söylemektedir.

Nicelemeli önermelerin sembolleştirilmesinde temel adım, geleneksel mantıkta (Aristoteles mantığı) “kategorik önermeler” olarak adlandırılan dört temel nicelemeli önerme biçiminin sembolleştirilmesidir. F ve G, “insan”, “canlı” gibi, herhangi iki genel terim olmak üzere, kategorik önermeleri genel olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz:

• Her F G dir.
• Hiçbir F G değildir.
• Bazı F ler G dir.
• Bazı F ler G değildir

Doğru cevap E seçeneğidir.

(q ^ ~s) › (t ^ u) ifadesini çevir anahtarına göre yazarsak, (Kızlar futbol oynayabilir ^~ Elif yeteneklidir) › (Elif basketbol oynamak istemektedir ^ basketbol oynamak isteyenler için bir çok kulüp vardır) elde edilir. Gündelik dilde ifade edersek, “Eğer kızlar futbol oynayabilir ve Elif yetenekli değilse, Elif basketbol oynamak istemektedir ve basketbol oynamak isteyenler için bir çok kulüp vardır.” olur.

Çizelgeyi oluşturan tek dal tamamlandığı halde açık kaldığından, bu dala bakarak çıkarım için bir karşı-model yazılabilir. Dikkat ediniz: 5. noktada 3 noktasından a elemanı ile tikel-özelleme yapabilseydik çizelge kapanırdı. Ancak, yeni bir harf kullanmamız zorunlu olduğundan bunu yapamayız. Aynı sebeple, 6. nokta olarak, 1. noktaya dönüp b ile tikel-özelleme de yapamayız. Dolayısıyla çizelgenin açık kalması zorunludur. Çözümleyici çizelge yöntemin ilk öncülü ise ∃x Fx’dir.