1
Olasılık nedir?
Olasılık terimi, rastgelelik ve belirsizliği ifade eder; bir başka ifade ile belirsizliği ölçmek için kullanılan matematiksel bir dildir.
Olasılık ve Olasılık Dağılımları
- 20 soru-cevap
- Veri Analizi ve Değerlendirme
2
6 yüzlü bir zar atıldığında üsteki sayının tek sayı olma olasılığı nedir?
Bu durumda zarın 1, 3, 5 gelmesi durumu olduğu dikkate alındığında bu durum söz konusu eşit olasılığa sahip altı sonuçtan üçünü oluşturur.
Dolayısıyla zarı attığımızda üstteki sayının tek sayı gelme olasılığı 3/6 yani ½’dir.
3
6 yüzlü bir zar atıldığında üsteki sayının 5 veya 6 olma olasılığı nedir?
Bu durumda zarın 5 veya 6 gelmesi durumu olduğu dikkate alındığında bu durum söz konusu eşit olasılığa sahip altı sonuçtan ikisini oluşturur.
Dolayısıyla zarı attığımızda üstteki sayının 5 veya 6 olma olasılığı 1/3’tür.
4
6 yüzlü bir zar atıldığında üsteki sayının 5 veya 6 olmama olasılığı nedir?
Bu durumda zarın 1,2,3,4 gelmesi durumu olduğu dikkate alındığında bu durum söz konusu eşit olasılığa sahip altı sonuçtan dördünü oluşturur.
Dolayısıyla zarı attığımızda üstteki sayının 5 veya 6 olmama olasılığı 2/3’tür.
5
İki zar atılsa üstteki sayıların toplamının 6 olma olasılığı nedir?
Zarın üstündeki sayıların toplamının 6 olması durumunda zarın üstündeki sayıların (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) olması gerekir.
Bu durum ihtimali 36 sonuçtan 5 sonucu oluşturur.
Dolayısıyla zarın üstündeki sayıların toplamının 6 olması olasılığı 5/36’dır.
6
Örnek uzay nedir?
Örnek uzayı kavramı söz konusu deneyin tüm olası sonuçlarının bir kümesidir
7
2 madeni paranın atılması deneyinde örnek uzay nedir?
2 madeni paranın atılmasına ilişkin deneyin örnek uzayı E kümesi ile gösterelim:
E = {(Yazı, Yazı), (Yazı, Tura), (Tura, Yazı) (Tura, Tura)}
8
Bir üretim bandında rastgele seçilen üç ürünün kusurlu (K) veya sağlam (S) olması durumlarına ilişkin örnek olasılık değerleri tablosu şu şekildedir:
Bu üretim bandından rastgele seçilen üç ürünün en az iki adet kusurlu (K) olma olaylarına ilişkin olasılık nedir?
A = {En az bir adet kusurlu gözlem} olmak üzere;
P(A) = P(KKK) + P(KKS) + P(KSK) + P(SKK)
P(A) = 0,030 + 0,035 + 0,035 + 0,030 = 0,130 olarak hesaplanır.
9
Bir şehirdeki tüm nüfusun %60’ı Covid aşısı, %50’i grip aşısı ve %20’si de her iki aşıyı da yaptırmıştır. Bu şehirde rastgele seçilen bir kişinin bu iki aşıdan en az birini yaptırmış olma olasılığı ne olur?
Söz konusu örneğin değerlendirilmesine yönelik öncelikle iki olayı tanımlayalım:
A = {Covid aşısı yaptıranlar}
B= {Grip aşısı yaptıranlar} olmak üzere;
P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 ve P(A ∩ B) = 0.2 olarak verilmektedir.
Buna göre; söz konusu aşılardan en az birini yaptırmış olma olasılığı:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0.6 + 0.5 – 0.2 = 0.9 olarak hesaplanır.
10
Bir aile, ikamet etmiş oldukları ilçede yer alan bir sağlık merkezinde istihdam edilen bir dahiliye uzmanı ve bir pediatri uzmanına ihtiyaç duymaktadır. Söz konusu ilçede iki sağlık merkezi bulunmakta ve her bir merkezde 6 dahiliye uzmanı ve 4 pediatri uzmanı görev yapmaktadır. Buna göre; aile aynı merkezden hizmet alabilmek için kaç şekilde birer dahiliye ve pediatri uzmanı seçebilir?
Dahiliye ve pediatri uzman çiftlerinin aynı sağlık merkezinde olmasına ilişkin koşul dikkate alındığında n1 = 6 dahiliye uzmanı için ayrı ayrı n2 = 4’er pediatri uzmanı seçilebilmektedir. Bu durumda, n1n2 = 6.4=24 olası seçim oluşmaktadır.
11
Anadolu Üniversitesi Eğitim Fakültesinin 8 bölümü bulunmaktadır. Söz konusu fakülte için öğrenci temsilcisi başkanı ve yardımcısı seçimi yapılacaktır. Bu iki temsilciyi farklı bölümlerden seçmenin kaç yolu vardır?
İlk elemanın temsilci başkanı, ikincisinin yardımcısı olduğu bir ikiliği dikkate alalım.
Buna göre; temsilci başkanı n1 = 8 yoldan herhangi biri ile seçilebilir.
Temsilci başkanı seçiminin her yolu için, başkan yardımcısını seçmenin n2 = 7 yolu vardır
Dolayısıyla temsilci başkanı ve yardımcısı çifti oluşturmanın 8 × 7 = 56 yolu vardır.
12
Beş kişilik bir öğrenci grubunda yalnızca bir kişinin İngilizce’yi konuşabildiği biliniyor.
Bu grup içerisinden yapılacak rastgele bir örneklemede en az üçüncü seçimde İngilizce konuşmayı bilen kişiyi bulma olasılığı nedir?
Söz konusu sorunun değerlendirilmesine yönelik:
B = {İlk seçilen kişi İngilizce konuşmayı bilmesin} ve
A = {İkinci seçilen kişi İngilizce konuşmayı bilmesin} olmak üzere;
P(B) = 4/5 ve ilk seçime müteakiben geriye kalan dört kişi içerisinde P(A|B) = 3/4 olacaktır. Buna göre; birinci ve ikinci seçimde İngilizce konuşamaması:
P(A ∩ B) = 4/5 × 3/4 = 0.6 sorumuzun cevabı olacaktır.
13
Üç farklı e-posta hesabı kullanan bir kişinin toplam elektronik postalarının %80’i birinci hesabına, %15’i ikinci hesabına ve geri kalan %5 ise üçüncü hesabına gelmektedir. Gelen elektronik postaların ise birinci, ikinci ve üçüncü hesaplarında sırasıyla %5’i, %2’si ve %4’ü istenmeyen e-posta olarak tanımlanmaktadır. Buna göre; söz konusu kişinin elektronik postlarından rastgele seçilecek birinin istenmeyen e-posta olma olasılığı nedir?
Söz konusu sorunun değerlendirmesine yönelik
Ai = {i.ci hesaba gelen e-posta} ve
B = {İstenmeyen e-posta} olmak üzere:
P(A1) = 0.80; P(A2) = 0.15; P(A3) = 0.05 ve
P(B|A1) = 0.52;
P(B|A2) = 0.02;
P(B|A3) = 0.04 olarak verilmektedir.
Buna göre; rastgele seçilecek bir postanın istenmeyen e-posta olma olasılığı:
P(B) = (0.80 × 0.05) + (0.15 × 0.02) + (0.05 × 0.04) = 0.04 + 0.003 + 0.002 = 0.045 = %4.5 olarak elde edilecektir
14
Bir fabrikada üretilen bilgisayarların %2’si arızalı çıkmaktadır. Söz konusu fabrikada üretilen bilgisayarlar arasından rastgele 3 tanesinin seçilmesi durumunda sadece 1 tanesinin arızalı olma olasılığı nedir?
Burada, sorunun çözümü için başarı durumunun üretilen bilgisayarların %2’sinin arızalı çıkması durumu olduğu dikkate alınırsa, rastgele seçilecek 3 bilgisayardan 1 tanesinin arızalı olma olasılığı binom dağılımına göre:
b(1;3, p) = ( 3/1)x 0.021 x 0.982 = 3 x 0.02 x 0.9604
olmak üzere
b(3; 1, p) = 0,057624 ≈ %5,7 olarak hesaplanır.
15
5 seçeneği olan çoktan seçmeli bir sınavda 20 tane soru sorulmaktadır.
Söz konusu sınavda cevabı hakkında bir fikri olmayan bir öğrenci 5 soruya rastgele cevap vermiştir.
Bu 5 sorudan 2’sine doğru cevap verme olasılığı nedir?
Burada, sınavın 5 seçenekli çoktan seçmeli olduğu ve bu nedenle p=0.2 ve q=0.8 olması gerektiği ve
Diğer taraftan sorunun çözümü için 5 sorudan 2sine doğru cevap verme olasılığı binom dağılımına göre:
b(2;5, p) = (5/2)x 0.22 x 0.83 = 10 x 0.04 x 0.512 = 0,2048
olmak üzere b(2; 5, p) = 0,2048≈ %20.4 olarak hesaplanır.
16
Yapılan bir araştırmaya göre bir şehirdeki kadınların %72’inin üniversite mezunudur. Bu şehirden rasgele 10 kadın seçiliyor. Bu seçimde üniversite mezunu olması beklenen kadın sayısı ve standart sapması nedir?
Burada başarı olarak düşünülen sonuç p = 0.72 ve q = 0.28 dir.
Ortalama ve standart sapma formüllerinden kullanılarak:
Ortalama = n.p = 10 x 0.72 = 7.2
Olarak hesaplanır.
Bu değerlerin anlamı; seçilen 10 kadından 1.419 standart sapmayla ortalama 7.2 sinin üniversite mezunu olması beklenmektedir.
17
Bir fabrikada üretilen çamaşır makinelerinin arızalı çıkma oranı %25’dir. Bu fabrikadan rastgele alınan 4 çamaşır makinesinden 1’inin arızalı çıkma olasılığının Poisson dağılım değeri nedir?
Burada, sorunun çözümü için başarı durumunun ürünün defolu çıkması olduğu dikkate alınırsa, n=4 ve p=0.25 olmak üzere
λ = 4 × 0.25 = 1 olarak hesaplanır.
Bu durumda rastgele seçilen 4 üründen 1 tanesinin defolu çıkma olasılığı Poisson dağılım modeline göre:
18
Binom dağılımı ne zaman Poison dağılımına yaklaşır?
n deneme sayısının büyük ve “p” başarı olasılığının küçük olması durumunda binom dağılımı Poisson dağılımına yaklaşır.
19
Standart normal dağılıma göre P(z ≤ 1.65) olasılığı nedir?
Standart normal dağılım eğrisinde –∞’dan 0’a kadar olan alan 0.5 ve
0’dan z = 1.65’a kadar olan alan standart normal dağılım tablosundan okunmak suretiyle 0.4505’dir.
Buna göre; standart normal dağılım dikkate alındığında:
P(z ≤ 1.65) = 0.5 + 0.4505 olmak üzere;
P(z ≤ 1.65) olasılığı 0.9505 ≈ %95 olarak hesaplanır
20
Normal dağılım gösteren bir x rassal değişkeninin ortalaması μ = 80 ve standart sapması σ = 15 olarak veriliyor.
Buna göre; söz konusu x rassal değişkeninin P(70 ≤ x ≤ 90) olasılığı nedir?
Söz konusu x rassal değişkeninin normal dağılım gösterdiği dikkate alındığında olasılığı değerlendirilen aralığa ilişkin z1 ve z2 değerleri:
z1 = 70 – 80 / 15 = – 0 .66
z2 = 90 – 80 / 15 = 0 .66
olarak hesaplanır.
Standart normal dağılım tablosunda |–0.66| ve 0.66 z değerleri için eğri altında kalan alanlar 0.2454 olarak verilmektedir.
Buna göre; x rassal değişkeninin P(70 ≤ x ≤ 80) olasılığı;
P(70 ≤ x ≤ 80) = 2 × P(0 ≤ z ≤ 0.66)
= 2 × 0.2454 = 0.4908 ≈ %49 olarak hesaplanır.