Merkezi Eğilim ve Değişkenlik Ölçüleri

Merkezî eğilim, istatistikte değişken değerlerinin etrafında dağıldığı değeri ve bu değer değişken değerlerinin merkez noktasının koordinat sisteminde yatay eksendeki konumunu yansıtır. Değişkenin tipine ve ölçme düzeyine göre merkezinin bulunması için kullanılan teknikler topluluğu Merkezî Eğilim Ölçüleri olarak adlandırılır. Hesaplanan tipik değer, ortalama, değişken değerlerinin merkez noktasını belirlemeye yarayan ve daha sonra ilgili değişkenin temsilinde kullanılan bir ölçü olur.

Bir seriyi temsil etmeye ve özetlemeye yarayan ve değişkenin merkezini gösteren tek bir rakama çeşitli istatistik program veya yazılımlar ile diğer bilimsel hesaplama, yazılım ve programlama dillerinde İngilizce “mean”, “average” ya da Türkçe karşılığı ile “ortalama” ifadesi kullanılmaktadır. Aritmetik ortalama, bir değişkene ait, ölçüm, tartım veya gözlem yoluyla derlenen, veri kümesindeki tüm değerlerin toplamının verideki birim sayısına bölünmesiyle elde edilir.

Aritmetik ortalama değişken değerleri içinde bir tane bile aykırı değer bulunması durumunda değişkeni temsiliyet gücünde olumsuz bir etkilenme olabileceği için “duyarlı ortalama” adı verilen bir grupta yer alır.

İstatistiksel olarak aritmetik ortalama, diğer ortalama türü olan medyan ve moda göre rassal faktörlerden daha az etkilenir ancak mod ve medyana göre dezavantajı vardır, veri kümesindeki veya serideki, minimum ve maksimum uç değerlerden çok etkilenir.

Aritmetik ortalama serileri ele alışına göre üç türe ayrılır. 

Basit Serilerde Aritmetik Ortalama

Frekans ve Gruplandırılmış Frekans Serilerinde Aritmetik Ortalama

Tartılı Aritmetik Ortalama

Geometrik ortalama özellikle yaygın olarak finans, yatırım ve bankacılık konularında, ortalama mahsul veriminin hesaplanmasında, çevre kirlilik seviyesi ölçümlerinde, doğum ve ölüm oranlarındaki ortalama değişikliklerin hesaplanmasında, yaygın kullanımı söz konusudur. Özellikle, gözlem verilerinin birkaç yıllık dönemler boyunca ortalama değişim oranını belirlemek istediğinizde, geometrik ortalamayı kullanabilirsiniz. Yıllık değişim oranına ek olarak, geometrik ortalama genellikle 3’er aylık çeyrek dönemler, aylık, haftalık ve günlük verilerin ortalama değişim oranını bulmak için kullanılır. Bu bağlamda, geometrik ortalama araştırılan değişkenin oran, indeks, yüzde ya da artış oranı olarak ölçümlendiği problemlerde değişken için ortalama hesaplanmasında kullanılır. Kısaca geometrik ortalamadan, geometrik seri özelliği gösteren sabit bir artış veya azalışa sahip, nüfus, millî gelir gibi serilerde veya oransal ölçek düzeyine sahip seriler için ortalama hesaplamasında yararlanılmaktadır.

Değişken değerlerinin küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe doğru sıralandığı serilerde, serinin tam ortasında yer alan gözlem biriminin değeri medyan olarak adlandırılır.

Mod, bir seride en çok gözlenen değerdir. Bir seride en çok gözlenen veya değeri en çok tekrarlanan terimin değeri mod olarak ele alınır. Özellikle değişkenin gözlem değerleri sayısal olmayan değişken türünde, nitel değişkenler için uygun olan ortalamadır. Mod, hesaplanması en kolay ortalama türüdür. Seriler tek modlu olabilecekleri gibi bir seride 2 adet en çok tekrarlanan terim söz konusu ise çift modlu olabilirler. 2’den daha fazla terimin en çok tekrar sayısına sahip olması durumunda ise bu seride modun temsili bir ortalama olmayacağı belirtilir.

Küçükten büyüğe sıralanmış bir seriyi eşit oransal parçalara bölmek için kantillerden faydalanılır.

Kantiller bölen sayısına göre seri 100 eşit parçaya bölünür ise persantil (yüzdeler), 10 eşit parçaya bölünür ise desil, 4 eşit parçaya bölünür ise kartiller (çeyrekler) olarak adlandırılır.

İstatistiksel analizlerde sıklıkla karşılaşılan özetleyici niteliğe sahip bir istatistiksel gösterim şekline serinin 5-değer özeti adı verilmektedir. İlgili 5 değer serinin en küçük değeri, birinci kartil değeri, medyan değeri, üçüncü kartil değeri ve en büyük değerdir. Bu 5’linin bir araya gelmesi ile elde edilen istatistikler yardımıyla serinin farklı bölgelerindeki değişkenliği görebilmek için Kutu Grafiklerinden faydalanılır.
Kutu grafiklerinde üçüncü kartil ile birinci kartil arasına bir dikdörtgen kutu çizilir. Kutunun içine medyan değerini temsil eden bir çizgi de çizilir. Kutunun iki yan kısa kenarından en büyük ve en küçük değere kadar birer çizgi çizilir. Kimi kaynaklarda bu gösterim biçimine kutu-bıyık grafiği adı da verilmektedir.
Kutu grafikleri sıralı verinin değişik bölgelerinde ortaya çıkan değişkenliğin görülmesinde fayda sağlar.

Değişkenlik ölçüleri, bir değişkenin merkezî eğilim ölçüleri etrafındaki sapmalarını ifade eden ölçülerdir.

Yaygın olarak kullanılan değişkenlik ölçüleri aralık, varyans ve standart sapmadır.

Değişim aralığı serideki en büyük ve en küçük gözlem değeri arasındaki farkı temsil eder.

Aynı birim sayısına sahip farklı örnekleri veya ana kütleleri karşılaştırırken, değişkenlik ölçüsü olarak değişim aralığından yararlanılabilir.  Birden fazla örneklem ve ana kütlelerin karşılaştırılmasında da değişim aralığı bilgisinden yararlanılır.

Ancak bu bilgi serinin veya birden fazla serilerin saçılımı hakkında oldukça sezgisel bir istatistiktir. Çünkü yalnızca tek bir aykırı değerin varlığı bile değişim aralığı değerini olduğundan daha da büyütecektir.

Değişim aralığı izleyen eşitlik yardımıyla hesaplanır.

Değişim aralığı = En büyük değer – En küçük değer

Standart sapma, bir serideki her bir gözlem değeri ile ortalama arasındaki standart veya tipik farktır.

Bir veri setinin standart sapmasının, ortalama ile karşılaştırıldığında küçük veya büyük olup olmadığını belirlemek için kullanılır. Başka bir ifadeyle değişkenlik katsayısı (D.K), hesapladığınız ortalamanın ne kadar temsili olduğunu size söyleyebilir.

Simetri ve asimetri durumunu bir değişken için araştırırken merkezî eğilim ölçülerinden yararlanabiliriz. Değişkene ilişkin veri kümesi tam simetrik yapı da ise medyan ve aritmetik ortalama aynı değere sahip olacaktır.

Simetrik serilerde
Aritmetik Ortalama = Medyan = Mod

Profesör Karl Pearson (1837-1936) tarafından geliştirilen eşitlikte ortalama ve medyan değerleri kullanılmaktadır.

Merkezî Limit Teoremi

Herhangi bir seride, ilgilenilen değişkenin frekans dağılımının simetrik çan eğrisi biçimli olup olmamasına bakmadan (simetrik, sağa eğik veya sola eğik gibi) aritmetik ortalama değerinden belirli bir standart sapma uzaklıkta yer alan birimlerin en küçük oranı P.L. Chebyshev tarafından bir teorem yardımıyla gösterilmiştir. "Chebyshev Teoremi"