Olasılık ve Olasılık Dağılımı

En basit anlamı ile olasılık, herhangi bir olayın gerçekleşme şansı için öngörülen atanmış sayısal bir
değerdir. Şansa bağlı durumların sonucuna dair çıkarımda bulunma aracı olarak olasılık kullanılır. Günlük yaşamda ihtimal ya da şans gibi kelimelerle de ifade edilir. Olasılık, sıfır ile bir kapalı aralığında değerlere sahiptir. Olasılık bir olayın/durumun/sonucun ortaya çıkma şansını temsil eden sayıdır.

Olasılık değerinin sıfır olması olayın/durumun/sonucun gerçekleşme şansının hiç bulunmadığını (olanaksız durum) ifade eder.

Olasılık değerinin 1 olması ise olayın kesinlikle gerçekleşeceğini (kesin durum) ifade etmektedir.

Olasılık konusunda dört temel kavramla karşılaşılır. Bunlar; deneme, sonuç, örneklem uzayı ve olaydır.

Ortaya çıkabilecek olası durumlardan birinin elde edilmesi/gerçekleşmesi ile tamamlanan sürece deneme adı verilir. Bir denemenin birden fazla sonucu bulunur ve bu sonuçlardan hangisinin ortaya çıkacağı deneme gerçekleştirilmeden önce bilinmez ya da belirsiz olarak kabul edilir.

Bir denemenin sona erme biçimine veya denemenin gözlemlenen değerine sonuç adı verilir.

Örneğin, hilesiz tavla zarının bir kez atılması bir denemedir. Tavla zarının havaya atılışı gözlemlenebilir ancak zarın yüzlerinde yer alan “1”, “2”, “3”, “4”, “5” ya da “6” sayılarından hangisinin üste geleceği önceden bilinemez.

Bu denemedeki ortaya çıkabilecek olası sonuçlar “1”, “2”, “3”, “4”, “5” ya da “6” sayılarını içeren zar yüzeylerinden birinin üste gelmesidir. Dolayısıyla bu deneme için ortaya çıkabilecek mümkün sonuç sayısı altıdır.

Benzer olarak, sınırları belirli bir alan içerisinde (örneğin Sivrihisar ilçe sınırları içerisinde) üzerinde çalışılan endemik bir bitkinin var olup olmaması durumunda olası iki sonuç bulunmaktadır.

Örneklem uzayı, bir denemenin mümkün tüm sonuçlarını gösteren kümedir. Örneklem uzayı S harfi
ile ifade edilir. Denemenin mümkün tüm sonuçlarını temsil edecek biçimde örneklem uzayında birimler yer alacaktır. Bu birimlere örneklem uzayı noktası adı verilir.

Olay, bir denemenin bir ya da daha fazla sonucundan oluşan kümedir. Örneklem uzayının herhangi
bir alt kümesi olaydır. Örneğin, hilesiz zarın atılması ve zarın ikiden büyük bir değer alması ile ilgilenilen bir deney düşünelim; zarın bir kez atılması deneme, bu denemenin gözlemlenebilir sonuçları “1”, “2”, “3”, “4”, “5” ve “6” olacaktır. Bu denemenin örneklem uzayı S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} şeklinde gösterilir. Bu deneydeki olay ise zarın ikiden büyük gelmesi durumudur. Bir başka örnek olarak iki madeni paranın birlikte atılması ve birinin “tura” birinin “yazı” gelmesi deneyini ele alalım. İki madeni paranın birlikte atılması deneme, “YY”, “YT”, “TY” ve “TT” sonuçlardır. Bu deneyde örneklem uzayı S = {YY, YT, TY, TT} ile gösterilir. Olay ise birlikte atılan iki madeni paradan birinin “yazı” diğerinin ise “tura” gelmesidir.

Olasılık hesabı için deneysel bir yaklaşım olarak bilinen ve genel kabul gören bir başka tanım ise olasılığın göreli frekans tanımıdır. Bu tanıma göre bir olayın gerçekleşme olasılığı ilgili olayın uzun dönemde ortaya çıkma oranına eşit olacaktır.

Bir denemenin tekrarlanmasının zor olduğu durumlarda kullanılan, kişisel deneyimlere dayanarak ifade edilen olasılığa subjektif/kişisel/öznel olasılık adı verilmektedir. Bu tanıma göre olasılık, belirsizliğe ilişkin kişisel fikirlerin sayısal olarak miktarını ifade eder. Genellikle duruma ilişkin sezgilere ya da önceki tecrübelere dayanarak tahmin yürütme sonucunda belirlenen olasılıktır.

Bir düzen içinde yer alan birimlerden oluşan bir toplulukta farklı sonuçların ortaya çıkış biçim sayısını
permütasyon yardımıyla hesaplayabiliriz. n birimlik bir kümenin herhangi bir alt kümesinden oluşturulan her farklı sıralama bir permütasyon olur.

Kombinasyon, n sayıda birim arasından r adet birimin diziliş sırası dikkate alınmaksızın kaç farklı
biçimde oluşturulabileceğini hesaplamak için kullanılır. Kombinasyonda, n sayıda birimden herhangi r
tanesi (r ≤ n) rassal seçilir. Seçilen r tane birim herhangi bir sırada yazılırsa bu durum r-dereceli kombinasyon olarak adlandırılır. 

Kombinasyon ve permütasyon arasındaki dikkat edilmesi gereken
farklılık birimlerin diziliş sıralamasına verilen önemdir. Permütasyonda birimlerin diziliş sırası önemli iken kombinasyonda birimlerin diziliş sırası önemli olmamaktadır.

Koşullu olasılık herhangi bir olayın ortaya çıkma olasılığının bu olayla ilişkili başka bir olayın daha
önce gerçekleşip gerçekleşmediğinden etkilenmesiyle ilişkili olmasıdır. Örneğin A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) olsun. A olayı ile ilişkili bir B olayının da önceden gerçekleştiği bilgisi elde edilmiş olsun. B olayının gerçekleştiği bilindiğinde veya B olayının sunucu bilindiğinde, A olayının gerçekleşmesi olasılığı koşullu olasılık olarak adlandırılır.

A ve B gibi herhangi iki olaydan birinin ortaya çıkışı diğerinin ortaya çıkması olasılığını etkilemiyorsa
bu iki olaya bağımsız olaylar adı verilir. Örneğin hilesiz bir tavla zarının iki kez atılması denemesinde ikinci atış sonucunun 6 olması olayı birinci atışta gözlemlenen sonuçtan bağımsızdır. Dolayısıyla birinci atış sonucu gözlemlenen değer ne olursa olsun ikinci atışta hilesiz tavla zarının 6 gelmesi olasılığı değişmeyecektir.

Thomas Bayes tarafından oluşturulan ve izleyen yıllarda Laplace tarafından düzenlenerek akademik
dünya ile tanıştırılan Bayes Teoremi, ek bilgi ile mevcut olasılıkların güncellenmesine olanak veren bir çözümleme tekniğidir. Karar vericinin ilgilendiği olaya ilişkin mevcut olasılık değeri önsel olasılık olarak adlandırılır. Probleme ilişkin elde edilen ek bilgi ile tekrar düzenlenmiş, revize edilmiş olasılık değeri ise sonsal olasılık olarak adlandırılır. Bayes teoremi hesaplamasında izleyen temel eşitlik kullanılır.

Sonlu ya da sayılabilir sonsuz sayıda olası değeri bulunan ve sonuç değerleri arasında belirli boşluklar olan (tam sayı, kesirsiz veya ondalıksız) rassal değişkenlere kesikli rassal değişken adı verilir. Genellikle sayma sayıları olarak ortaya çıkarlar.

Sürekli rassal değişken, sayılamayacak ya da sonsuz sayıda değere sahip ve bir sayı aralığı ya da aralık kümesi üzerinde tanımlanabilen rassal değişkendir. Sürekli rassal değişkenin olası iki gözlemlenebilir değeri arasına sonsuz sayıda değer olabilir. Örneğin Eskişehir’de gözlemlenen günlük en yüksek hava sıcaklığı, markette satılan sıvı yağların ağırlıkları, yetiştirilen bir bitkinin boy uzunluğu gibi değişkenler belli bir aralıkta sonsuz sayıda değerler alabilecekleri için sürekli rassal değişkenlerdir.

Poisson dağılımı belirli zaman aralığı veya mekânda rassal olarak gözlemlenen ilgilenilen türden sonuçların özel durumları için geliştirilmiş kesikli bir dağılımdır. İlgili zaman aralığında ortalama olarak ilgilenilen olayın meydana gelme sayısının bilindiği ve herhangi bir olayla onu hemen takip eden olay arasındaki farkın, önceki farklardan bağımsız olarak ortaya çıktığı kabul edilir. Bununla beraber poisson dağılımı birim alan, birim uzaklık ya da birim hacim içeren durumlarda da uygulanabilmektedir. Poisson dağılımında ele alınan rassal değişken kesikli rassal değişkendir. Bu nedenle poisson dağılımı kesikli olasılık dağılımıdır.

Normal dağılım istatistik teorisinde sürekli rassal değişkenlerin açıklanması ve günlük yaşamda pek çok farklı alanda uygulanması bakımından en çok başvurulan temel olasılık dağılımlarındandır. Örnek verilecek olursa, belli bir bölgeye düşen yağış miktarı, belli bir sosyal çevrede yetişen okul çağındaki çocukların sosyal algılama puanları, bir fabrikada üretilen ampullerin dayanma süreleri gibi değişkenlerin birçoğunun olasılık dağılımı normal dağılıma uygunluk gösterir. Bununla birlikte çıkarımsal istatistikte kullanılan birçok istatistiksel test ana kütle dağılımının normal dağıldığı varsayımına dayanılarak yapılır.