ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

Örneğin sabit büyüme oranlı her türlü büyüme işlemi üstsel fonksiyonlar ile tanımlanabilir. Nüfus artışı, yatırımlarda meydana gelen artış ve ya bir ülkenin GSYİH’sında meydana gelen büyüme, üstsel fonksiyon temelli açıklanabilir.

Örnekler:
x= g(y) = 3y
z= xy
Yukarıdaki örnekte x bağımlı, y bağımsız değişken iken; ikinci fonksiyonda z bağımlı y ise bağımsız değişkendir.

Örnekler:
x= g(y) = 3y
z= xy
Yukarıdaki üç örneğin ilk ikisinde x bağımlı, y bağımsız değişken iken; üçüncü fonksiyonda z bağımlı y ise bağımsız değişkendir.

Şöyle ki, üstel fonksiyonlarda taban pozitif olduğu sürece fonksiyon her zaman konveks olur.

Şöyle ki, üstel fonksiyonlarda taban pozitif olduğu sürece fonksiyon her zaman konveks olacak ve fonksiyonun görüntü kümesi yalnızca pozitif sayılardan oluşacaktır.

Burada önemli bir noktayı belirtmeden geçmeyelim. Yukarıda t yılda belirli aralıklarla anaparanın nasıl büyüyeceğine dair genel formül görmekteyiz. Bu formül yalnızca bankalara yatırılan paranın gelecekte alacağı değeri hesaplamakta kullanılmaz. iktisatta büyüme hesabı yapılan bütün alanlarda bu formülü ya da bu formülün değişik versiyonları kullanılmaktadır.

Şimdi doğal tabanlı üstel fonksiyonların en basit hali olan y = ex fonksiyonunun
grafiği.

e tabanlı üstel fonksiyonların özellikleri
1. e0 = 1;
2. e1 = e;
3. ex > 0, bütün x değerleri için;
Aslında, ex sürekli artan ve konvekstir.

Doğal logaritmik fonksiyon en temel flekliyle x = ln(y) şeklinde gösterilebilir.

Doğal logaritmik fonksiyon en temel şekliyle x = ln(y) şeklinde gösterilebilir ve = ex doğal tabanlı üstel fonksiyonunun tersidir.

Ancak doğal tabanlı üstel fonksiyon sürekli konvekstir.

Doğal logaritmik fonksiyon tanım kümesinin bütün elemanları için sürekli konkav bir fonksiyondur.

Yukarıdaki türev kurallarının yardımıyla ortaya çıkan, iktisatçılar için kullanışlı, bir bilgi vardır. y = ax şeklindeki bir üstel fonksiyonun ani büyüme oranı ln (a) şeklinde logaritmik ifade ile belirlenir.

Sürekli bileşen formülünü hatırlayalım, P1 = P0 ert şeklinde idi.

70 kuralı. Anaparanın ikiye katlanması için gerekli süre, 70’i faiz oranına bölerek bulunur.

Deneysel tecrübelerle elde edilen bir bilgiye göre radyoaktif partiküllerin bir çoğu
üstel fonksiyon kaideleriyle azalma veya silinme seyri izlerler.

Lojistik eğrisi her türlü büyüme işlemi için kullanılabilir. Eğer büyüme işleminde çevresel faktörlerin büyüme oranını frenleyecek etkisi varsa, o zaman lojistik eğrisi bu büyüme işlemini tanımlayabilmek için kullanılır.

İktisatçılar olarak biliyoruz ki, eğer talebin fiyat esnekliği 0 ve -1 aralığında ise o
mal esnek olmayan mal olur.

Eğer fiyat esnekliği -1 ile -∞ aralığında ise o mal esnek mal olur.

eğer fiyat esnekliği -1’e eşitse o mal da birim esnek mal olarak adlandırılır

Esnek olmayan bir mal için fiyatta bir artış toplam harcamaları arttırıcı bir etki
yapar.

Esnek bir mal için fiyat artışı toplam harcamaları düşürecektir”. Bu iddianın do¤ru olup olmadığını gösterin.

Yukarıdaki örneğimize bu başlık altında da devam edeceğiz. Qd = 1000 - P 3 şeklinde talep fonksiyonu olduğunu kabul ettiğimize göre, toplam hasılayı bulurken, bu talep bilgisini kullanacağız demektir.

Talebi belirleyen faktörler incelenirken, yalnızca ilgili malın fiyatı değil, gelir, zevk ve tercihler, diğer malların fiyatları gibi etkenlerin de konunun ilgisini oluşturduklarını biliyoruz.