Rassal değişken nedir?
Rassal değişken, bir deneyin herhangi bir olası sonucunun sayısal değeri olarak tanımlanabilir. Deney, kontrol altında tutulabilen ve belli koşullarda tekrarlanabilen işlemdir. Bir rassal değişkeni diğer değişkenlerden ayıran özellik, almış olduğu değerleri belli olasılıkla almasıdır.
Kesikli rassal değişken nedir?
Kesikli rassal değişken 0, 1, 2, … gibi sonlu ya da sayılabilir sonsuz ve tam sayı özellikli değerler alan değişkendir. Kesikli rassal değişkenin aldığı herhangi iki değeri arasına tam sayı özellikli olması nedeniyle tam sayı özellikli olmayan kesirli bir değer diğer bir deyişle ondalıklı bir değer ya da değerler alamaz.
Kesikli bir rassal değişkenin olasılık fonksiyonu hangi koşulları sağlamalıdır?
Kesikli bir rassal değişkenin alabileceği bütün değerler ve bu değerlerin her birine karşılık gelen olasılıklar olasılık fonksiyonu adı verilen bir fonksiyonla gösterilir ve P(X) simgesi ile ifade edilir. Kesikli rassal bir değişkenin olasılık fonksiyonu aşağıda verilen koşulları sağlamalıdır:
• Kesikli rassal değişkenin her bir değerinin olasılığı 0 ile 1 değerleri arasındadır.
0 ≤ P(X=x) ≤1
• Kesikli rassal değişkenin her bir değerinin olasılıkları toplamı 1’e eşittir.
∑x P(X=x) =1
X kesikli rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu şartının sağlanması için P(X=4) değeri kaç olmalıdır?
0.10 + 0.20 + 0.25 + 0.15 + 0.12 = 0.82
P(X=4) = 1-0.82 = 0.18
0.18 olmalıdır.
Kümülatif dağılım fonksiyonu nedir?
Kümülatif dağılım fonksiyonu, x’den küçük veya eşit olan ve değişim aralığı içinde bulunan bütün değerlere karşılık gelen olasılıkların toplanacağını gösteren fonksiyondur.
X kesikli rassal değişkeni kümülatif (birikimli) dağılım fonksiyonu F(X) ile gösterilir ve aşağıdaki gibi ifade edilir.
Aşağıdaki verilen tabloya göre X kesikli rassal değişkenin fonksiyonuna göre P(2≤X≤4)
olasılığı kaçtır?
P(X=2) + P (X=3) + P(X=4)
=0.25 + 0.15 + 0.18
= 0.58
Kesikli rassal değişkenin beklenen değeri ne anlama gelmektedir?
Beklenen değer, tanımlayıcı istatistikteki en önemli kavramlardan biridir ve ana kütle ortalaması olarak bilinmektedir. E(X) veya μ ile gösterilen kesikli rassal değişken X’in beklenen değeri, X’in tüm olası değerlerinin tartılı aritmetik ortalamasıdır. Aritmetik ortalama, kesikli olasılık dağılımının orta noktasının veya merkezinin bir ölçüsünü verir. Aşağıdaki formülle hesaplanır:
Kesikli rassal değişkenin varyansı ne anlama gelmektedir?
Rassal değişkenin aldığı değerlerin aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaştığını, aritmetik ortalama etrafında kümelenip kümelenmediğini gösteren ölçüye varyans adı verilir. Varyans V(x) veya σ2 ile gösterilir. Aşağıdaki formülle hesaplanır:
Varyansın karekök değeri standart sapmaya eşittir ve σ simgesi ile gösterilir
Bir fabrikadan çıkan bir üründe hata çıkma olasılıkları sırasıyla; hiç hata olmaması olasılığı 0.65, bir hata olması olasılığı 0.29 ve iki hata olması olasılığı ise 0.06 olarak bilindiğine göre her üründeki ortalama (beklenen) hata sayısı olasılığı kaçtır?
P (X = 0) =0.65
P (X = 1) =0.29
P (X = 2) = 0.06
E(X)= (0)(0.65) + (1)(0.29) + (2)(0.06) = 0.41
Fabrikadan çıkan bir üründeki ortalama (beklenen) hatası sayısı olasılığı 0.41, diğer bir ifadeyle %41 olur.
Binom denemesi hangi özelliklere sahip olmalıdır?
• Yapılacak n adet deneme, daima aynı koşullarda tekrarlanmalıdır.
• Yapılacak her denemenin sonunda var olan iki sonuçtan birisi ortaya çıkmalıdır. Bu sonuçlardan
birisi ilgilenilen durum, diğeri ise bunun tümleyeni olan ilgilenilmeyen durumdur (başarılı-başarısız, var-yok, ölü-sağ, pozitif-negatif gibi ikili değerler)
• Tek bir denemede ilgilenilen durumun ortaya çıkma olasılığı p ve bunun tersi durumunun olasılığı q tüm denemelerde aynı kalmalıdır.
• Denemeler birbirinden bağımsız yapılmalıdır. Bir denemenin sonucu, diğer bir denemenin sonucunu etkilememelidir.
• X kesikli rassal değişkeni, n bağımsız denemede gözlenen istenen durum sayısını belirtir.
Binom dağılım özelliklerine sahip bir X kesikli rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu nasıl hesaplanmaktadır?
Binom denemesinin özelliklerine göre n denemede x adet istenen durum ortaya çıkması olasılığının hesaplanması için Binom dağılımının olasılık fonksiyonu kullanılır.
İncelenen durum Binom deneyi özelliklerini sağlıyorsa ve bu deney için n ve p değerleri biliniyorsa, bu n sayıda denemede ilgilenilen durumun x kez ortaya çıkma olasılığının hesaplanabilmesi için Binom olasılık fonksiyonundan yararlanılır.
Bernoulli deneyinin özelliği nedir?
Binom dağılımında birden fazla deneme aynı koşullarda tekrarlanmaktadır. Eğer deneme yalnızca bir kez yapılıyorsa, bu tek denemede ilgilenilen sonuçlardan birinin ya da diğerinin gerçekleşme olasılığını veren deneye Bernoulli deneyi adı verilir.
Binom denemesi özelliklerinden denemelerin n defa yapılıyor olması koşulu haricinde diğer özellikler sağlanıyorsa bu deneme Bernoulli deneyi olur
Bir sınavda başarılı olarak sertifika almaya hak kazananların oranının %68 olduğu bilinmektedir. Buna göre seçilen 5 öğrenciden 4'ünün sertifika almaya hak kazanmış olma olasılığı kaçtır?
P(X = 4) = (5! / 4!.1!).(0.68)4.(0.32)1
=0.342
5 kişiden 4'ü yaklaşık %32 olasılıkla sertifika almaya hak kazanmış olacaktır.
Bir mağazaya gelen 10 müşteriden 7'si A ürününü 3'ü ise B ürününü tercih etmektedir. Buna göre mağazaya gelen ilk 4 müşteriden 4'ünün de A ürününü tercih etme olasılığı, beklenen değeri ve standart sapması kaçtır?
p=7/10=0.70
P(X=4)= (4!/4!.0!)(0.70)4(0.30)0
=0.2401
Dört müşterinin dördünün de A ürününü tercih etme olasılığı yaklaşık %24'tür.
Beklenen değer n*p formülü ile hesaplanmaktadır: 4*0.70 = 2.8
Varyans n*p*(1-p) ile hesaplanmaktadır: 4*0.70*0.30 = 0.84
Standart sapma ise varyansın kareköküdür: 0.917
Bu sonuçlara göre ilgili mağazadan ortalama 2,8 (≅ 3) kişi A ürününü tercih etmektedir ve müşteri sayısı ortalamadan (pozitif ya da negatif yönde) 0,917 (≅ 1) kişi sapma göstermektedir denilebilir.
X kesikli rassal değişkeninin Poisson dağılımına sahip olması için hangi özelliklere sahip olması gerekir?
• Sonuçların gerçekleşmesi arasında ilişki yoktur. Diğer bir deyişle farklı zaman ya da mekân dilimlerinde gerçekleşen ilgilenilen türden sonuçlar bağımsızdır.
• Verilen çok küçük bir zaman ya da mekân diliminde ilgilenilen türden sonucun bir defa gerçekleşme olasılığı değişmemekte ve bu olasılığın %5’ten küçük olduğu eşitsizliğine uymaktadır.
• Zamanın ya da mekânın ilgilenilen türden olayın gerçekleşmesine yetecek kadar büyük olmaması
nedeniyle birden fazla olayın gerçekleşmesi mümkün değildir.
• n tane deney sayısı sonsuza yaklaşmalıdır.
• Belirli bir zaman ya da mekân diliminde ilgilenilen türden sonucun ortalama gerçekleşme sayısı λ
(Lambda) sabittir ve kesirli (ondalıklı) bir sayı olabilir.
Poisson dağılım özelliklerine sahip bir X kesikli rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu nasıl hesaplanmaktadır?
X kesikli rassal değişkeni Poisson dağılımına sahip ise bu değişken için olasılık fonksiyonu, belirli bir
zaman ya da mekân diliminde ilgilenilen türden sonucun ortalama gerçekleşme sayısı sıfırdan büyük (λ > 0) olmak üzere aşağıdaki gibi yazılır:
Bir telefon santraline, saatte ortalama 120 çağrı geldiği bilindiğine göre, bir dakikalık sürede 4 çağrı gelme olasılığı, beklenen değer ve standart sapma kaçtır?
λ = 120/60=2
P(X=4)= e-224 / 4! = 0.090
Bir dakikalık sürede 4 çağrı gelmesi olasılığı 0.090, diğer bir ifade ile %9’dur denilebilir.
• Poisson dağılıma sahip X kesikli rassal değişkeninin beklenen değeri (aritmetik ortalaması) ve varyansı λ (lambda) değerine eşit olduğundan beklenen değer (aritmetik ortalama) ve varyans bu
problem için 2 değerine eşit olacaktır. Diğer taraftan standart sapma varyansın kare kökü olduğu
için bu değer 1.41’e eşit olur.
Hipergeometrik dağılımın binom dağılımdan farkı nedir?
Binom denemelerin bağımsız olması özelliği ve tek bir denemede ilgilenilen durumun ortaya çıkma olasılığı p'nin her denemede sabit olması gerekliliği vardır. Bu varsayımlarım karşılanamadığı durumlarda tesadüfi değişkene ilişkin olasılık hesaplamalarında Hipergeometrik dağılımdan yararlanılır. Hipergeometrik dağılımda denemelerin bağımsız olmaması ve tek bir denemede ilgilenilen durumun ortaya çıkma olasılığı p’ nin her denemede aynı kalmaması söz konusudur. Bu özellikleri nedeniyle hipergeometrik dağılım, çeşitli gerçek yaşam uygulamalarında, özellikle kalite kontrolde kabul örneklemesi için yaygın olarak kullanılmaktadır.
Hipergeometrik dağılımına sahip X kesikli rassal değişkeni için olasılık fonksiyonu nasıl hesaplanır?
X kesikli rassal değişkenin dağılımının Hipergeometrik olduğu bilindiğine göre, N=30, n=3 ve
K=15 iken bu dağılımın beklenen değeri kaçtır?
p=K/N
=15/30=0.5
Beklenen değer = n*p= 3*0.5=1.5