ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR

Her günün sonunda göldeki çiçeklerin sayısı iki katına çıkıyor. 15 gün sonra, gölün yarısı çiçeklerle kaplanıyorsa gölün yarısındaki çiçek sayısı 2¹⁵ olur. Gölün tamamının kaplanması için gerekli çiçek sayısı 2¹⁵ sayısının 2 katı olacaktır. Yani, 2¹⁶. Gölü kaplayan çiçek sayısı 2¹⁶ olduğuna göre 16. günün sonunda gölün tamamı dolacaktır

a pozitif bir gerçel sayı ve a  1 olmak üzere f (x) = a^x ¸seklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir.

Üstel fonksiyon kavramını, polinom fonksiyon kavramıyla karıştırmayalım. Üstel fonksiyon tanımında  x değişkeni üs’tedir.

Bu fonksiyonun tanım kümesi gerçel sayılar kümesidir; değer kümemizi de yine gerçel sayılar kümesi olarak alabiliriz. Biz daha çok a > 1 durumu ile ilgileneceğiz

Her x gerçel sayısı için a^x = 1^x = 1 olacağından bu fonksiyon sabit fonksiyona dönüşür.

Mesela a = −2 alamaz mıydık? (−2) sayısının tamsayı kuvvetlerini alabiliriz. Mesela, (−2)² = 4,

(−2) ³ = −8 ¸seklinde tamsayı kuvvetleri anlamlıdır. Ancak herhangi bir gerçel sayı kuvvetini aldığımızda bu anlamlı olmayabilir. Örneğin, (−2) ^{1 /2} =  olur. Ancak  bir gerçel sayı degildir. Çünkü hiçbir gerçel sayının karesi −2 değildir.

g(x) = 10^x fonksiyonu için  −1, 1, 2 ve 1/2 noktalarındaki görüntüleri

x = 0 için  a⁰ = 1’dir.

 gittikçe “0”’a yaklaşır

Üstel fonksiyonların özelliklerini şu ¸şekilde sıralayabiliriz. a ve b pozitif sayılar, x ve y gerçel sayılar olmak üzere,

f (x) = 2^x fonksiyonunda x’e bazı degerler vererek y değerlerini bulalım;

Bulduğumuz bu değerlerden faydalanarak, f(x) = 2^x fonksiyonunun grafiğini çizebiliriz

Üstel fonksiyonun grafiği hep x ekseninin üstünde kalıyor. Ayrıca tüm grafikler hep (0, 1) noktasından geçiyor. Çünkü, her x gerçel sayısı için a^x > 0 olduğundan üstel fonksiyonun grafiği, daima x ekseninin üstünde kalır. Ayrıca x = 0 değerine karşılık  y = a⁰ = 1 değeri karşılık geldiğinden grafik daima (0, 1) noktasından geçmelidir.

f (x) = a^x üstel fonksiyonunda, a > 1 ise x₁ < x₂ için a^x1 < a^x2 olduğundan fonksiyon artan bir fonksiyondur.

Her x gerçel sayısı için a^x > 0 oldugundan üstel fonksiyonun görüntü kümesi (0,∞) açık aralığıdır

f : R → R  fonksiyonunun grafiği verildiğinde, her y ∈ R noktasından x eksenine paralel olarak çizilen bir doğru, fonksiyonun grafiğini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire-birdir, en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.

Buna göre bizim tanımladığımız üstel fonksiyonlar bire-birdir.

x eksenine paralel olarak çizilen bir doğru üstel fonksiyonun grafiğini en fazla bir noktada keser.

Değer kümesi olarak gerçel sayıları aldığımızda üstel fonksiyonlar örten olmaz. Örneğin, sıfır veya negatif sayılar, üstel fonksiyonun değeri olarak ortaya çıkmaz. Ancak değer kümesini pozitif sayılar olarak alırsak üstel fonksiyonlar örten olur.

Dolayısıyla üstel fonksiyonu bundan sonra f : R → (0,∞) f (x) = a^x ¸seklinde fonksiyonlar olarak düşünecegiz.

(0,∞) aralığını R⁺ ile de gösteriyoruz. Bu şekilde düşündüğümüzde, üstel fonksiyonlar, bire-bir ve örten olur.

Bu sayede a^x ’in ters fonksiyonunu tanımlayabileceğiz.

e = 2, 7182818284590 ... ¸seklinde bir irrasyonel sayıdır. Bu e gösterimi, ilk kez ˙Isviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından 1727 yılında exponential kelimesinin ilk harfi e olduğu için kullanılmıştır. e sayısı da sonuçta bir sayıdır ve 2 ile 3 arasındadır.

2’nin hangi kuvvetini alırsak 16 eder sorusunun yanıtını aramalıyız. 2’nin 4. kuvveti 16 olacağından x sayısı 4 olmalıdır.

Üstel fonksiyonların değer kümesini  (0,∞) açık aralığı aldığımızda üstel fonksiyonların bire-bir ve örten fonksiyonlar olduğunu gördük. O halde f(x)=a^x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonundan bahsedebiliriz. İşte bu ters fonksiyona logaritma fonksiyonu diyeceğiz ve f ⁻¹(x) = log_a x şeklinde göstereceğiz. Bu fonksiyonu kısaca y = log_a x ¸seklinde de yazıyoruz.

y = 10^x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu y = log₁₀ x’dir.

10 tabanına göre logaritmaya bayağı logaritma, e tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir.

2⁵ = 32 olduğuna göre  log₂ 32= 5 dir.

a > 1 için y = a^x ve y = log_a x fonksiyonlarının grafikleri.

Bir fonksiyonun grafiğini biliyorsak, ters fonksiyonunun grafiğini bulabilmek için y = x doğrusuna göre yansımasını almak yeterlidir.

Örneğin; y=log_ex= lnx fonksiyonu tersi olan y=e^x fonksiyonu grafiği  

Bileşik faiz, belirli zaman aralıklarında kazanılan faizin, anaparaya eklenmesiyle elde edilen tutarın faizidir.

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar, bileşik faiz dışında, nüfus artışının hesabında da kullanılmaktadır. Belli bir zaman başlangıcında nüfus y₀, birim zamandaki nüfus artış yüzdesi x olsun. t zaman sonra, başlangıçtaki nüfus ile nüfus artışının toplamı olan toplam nüfus yt olsun. Nüfus artışını,

  formülü ile hesaplayabiliriz.

Artış yüzdesi aynı olursa, 10 yıl sonra şehrin nüfusu;

y(t) = y₀ · e^{k t}  formülüyle buluruz. Burada k, üstel azalış katsayısıdır.

Yarı-ömür; maddenin yarısının bozunması için gereken süredir.

Başlangıçtaki kütlesi 1600 miligram ise y₀ = 800’dür. Yarı-ömrü 5 gün olduğundan

y(5) = 1 /2 · 1600 = 800 olacaktır

Yani, 1600 miligram Bizmut-210’un 20 gün sonra kalan kütlesi 100 miligramdır. 25 gün sonra 50 miligram kalacağına göre, 3 hafta da 21 gün olduguna göre. 100 miligramdan az 50 miligramdan fazla madde kalacaktır.