BELİRLİ VE BELİRSİZ İNTEGRAL

Bölgenin yola en uzak noktasının yola uzaklıgı 35 ˘ metre ve bölgenin yola cephesi 14 metre olsun. Bölgeyi alttan sınırlayan yolu x-ekseni olarak alıp, bölgeyi bir dikdörtgenle sınırlandıralım. Yani bölgeyi eni 14 metre, boyu 35 metre olan bir dikdörtgen içine alalım. Yolun bölgeyi alttan sınırlayan kısmını x-ekseninin bir parçası olarak kabul etmiştik. Simdi bu parçayı ikiye ayırıp, bunlar üzerinde yola uzaklıkları en büyük olan noktaların uzaklıklarını alırsak, bölgeyi enleri aynı fakat boyları farklı iki dikdörtgenle üstten sınırlandırabiliriz. Bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamı bölgenin alanı için daha iyi bir tahmin olur.

Güzel bir yakla¸sım. Hemen ölçümleri vereyim o zaman: 1. parçada yola en uzak nokta 30 metre, 2. parçada en uzak x nokta 35 metre uzaklıkta olsun. Ben de hesabı yapayım. Dikdörtgenlerin alanları toplamı: 30 · 7 + 35 · 7 = (30 + 35)· 7 = 65 · 7 = 455 m2 oldugundan bu dikdörtgenlerin olu¸sturdu ˘ gu bölgeyi ye¸sillendirmenin ˘ toplam maliyeti: 455 · 25 = 11375 lira olur.

Mısır ve Babil’de nehirler taşar ve yön degiştirirdi. Nehirler yataklarını degistirdikçe bazı çiftçiler topraklarını kaybederken bazıları yeni topraklar kazanırlardı. Ödenecek vergiler sahip olunan toprakların alanına göre belirlendigi için nehir kıyısındaki düzensiz sekilli arazilerin alanlarını sık sık hesaplamak gerekirdi.

Babilliler ve Mısırlılar, üçgen ve dörtgenin alan hesabını bildiklerinden, alan ölçümlerini üçgenlerin ve dörtgenlerin alanlarına dayandırarak hesaplıyorlardı

Öncelikle alanını hesaplayabileceğimiz çokgenler kullanarak bölgeyi dıştan kuşatıyoruz. Daha sonra da bölgenin tamamen içinde kalan, yine alanını hesaplayabileceğimiz çokgenlerle bölgenin sınırına içten yaklaşıyoruz. Böylece bölgeyi dıştan ve içten kuşatıp bu çokgenlerin kenar sayılarını adım adım arttırarak, bölgenin alanını istenilen hassasiyette hesaplayabiliyoruz.

Bu toplamlara sırasıyla B bölüntüsüne karşı gelen alt ve üst toplamlar denir.

Fonksiyon sürekli olduğu için bölüntü sayısı sonsuza ve alt aralıkların uzunluğu sıfıra giderken alt ve üst toplamların aynı sayıya yakınsadığı gösterilebilir. Bu sayıya A dersek;

Bu A sayısına f ’nin [a, b] aralığı üzerindeki belirli integrali denir.

Belli bir (a, b) aralıgındaki tüm x’ler için F(x) fonksiyonunun türevi f (x) fonksiyonuna eşit ise, yani F'(x) = f(x) oluyorsa, F(x) fonksiyonuna f (x)’in bir ilkeli denir

Belli bir (a, b) aralıgında F(x) fonksiyonu, f(x) fonksiyonunun bir ilkeli ise, F(x) + c ailesine f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve

şeklinde gösterilir. 

Integral sabitlerinin toplamına c = c1 + c2 dersek;

f , [a, b] aralıgında sürekli bir fonksiyon ve F, f fonksiyonunun bir ilkeli ise

olur. 

Daha önceki bilgilerimizden; f (x)’in belirsiz integrali

oldugundan, c sayısının herhangi bir seçimi için f (x)’in bir ilkelini buluruz. Örnegin c = 0 alırsak;

olur. Buradan;

olur.

belirli integrali ile belirlenebilir.

[0, 3] aralıgındaki tüm x’ler için oldugunu söyleyebiliriz. Bu eğrilerle sınırlı alan

Bir şehre su saglayan bir barajın içindeki su seviyesi sürekli bir degişim gösterir. O halde barajdaki su seviyesi zamanın sürekli bir fonksiyonudur. Su seviyesinin, saatlik, günlük, haftalık, aylık ya da yıllık ortalamalarını bilmek isteyebiliriz. Bunu da su seviyesi fonksiyonunun belirli integralini kullanarak hesaplayabiliriz.