Niceleme Mantığında Sembolleştirme ve Çeviri

Gündelik dildeki bir önerme veya çıkarımı niceleme mantığında denetlemek,
bu önerme veya çıkarımın semantik statüsünü (geçerlilik, geçersizlik, tutarlılık,
olumsallık durumunu) niceleme mantığı bakımından ortaya koymak demektir.
Bu denetlemeyi doğru biçimde yapmamız, gündelik dildeki nicelemeli bir önermeyi niceleme mantığında doğru olarak sembolleştirmemize yani, bu gündelik
dil önermesinin niceleme mantığının dilindeki doğru sembolik karşılığını bulmamıza bağlıdır.

Nicelemeli önermelerin sembolleştirilmesinde temel adım, geleneksel mantıkta (Aristoteles mantığı) “kategorik önermeler” olarak adlandırılan dört temel
nicelemeli önerme biçiminin sembolleştirilmesidir.

F ve G, “insan”, “canlı” gibi, herhangi iki genel terim olmak üzere, kategorik önermeleri genel olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz: Her F G dir.
• Hiçbir F G değildir.
• Bazı F ler G dir.
• Bazı F ler G değildir.

“Her F G dir” önermesi, “Her şey, eğer F ise G dir” ya da, daha açık bir ifade
ile, “Her şey için, eğer o şey bir F ise, o şey bir G dir” biçiminde yorumlanarak, ∀x
(Fx → Gx) biçiminde sembolleştirilir. “Her F G dir” önermesinin ∀x (Fx ∧ Gx)
biçiminde sembolleştirilmesi yanlış olurdu: ∀x (Fx ∧ Gx) önermesi bir modelde
yorumlandığında, o modeldeki her nesnenin hem F hem G olduğunu ifade eder.
Hakikaten, S = {a, b, c, ...} ise, bu kümede ∀x (Fx ∧ Gx) önermesinin açılımı, (Fa ∧
Ga) ∧ (Fb ∧ Gb) ∧ (Fc ∧ Gc) ∧... olurdu. Ancak,“Her F G dir” önermesi, bu biçimde yorumlanamaz. Örneğin, “Her insan ölümlüdür” önermesini düşünelim: Bu
önermeyi F yüklemini “insandır”, G yüklemini de “ölümlüdür” kabul ederek, ∀x
(Fx ∧ Gx) biçiminde sembolleştirsek, “Her şey, hem insandır hem de ölümlüdür”
ile, “Her şey, eğer insan ise ölümlüdür” önermelerini aynı şekilde sembolleştirmiş
olurduk. Oysa “Her insan ölümlüdür” doğru bir önerme iken,“Her şey hem insan
hem de ölümlüdür” önermesi yanlıştır

“Hiçbir F G değildir” önermesi, “Her şey, eğer F ise G değildir” ya da, daha
açık bir ifade ile, “Her şey için, eğer o şey bir F ise, o şey bir G değildir” biçiminde
yorumlanarak, ∀x (Fx → ~ Gx) içiminde sembolleştirilir. Bir önceki paragraftaki
açıklamaya göre, “Hiçbir F G değildir” önermesinin ∀x (Fx ∧ ~ Gx) biçiminde
sembolleştirilemeyeceği anlaşılabilir.

“Bazı F ler G dir” önermesi, “Bazı şeyler, hem F dir hem de G dir” ya da, daha
açık bir ifade ile, “Bazı şeyler için, o şey hem bir F hem de bir G dir” biçiminde
yorumlanır ve ∃x (Fx ∧ Gx) biçiminde sembolleştirilir. “Bazı F ler G dir” önermesini, “Bazı şeyler, eğer F ise G dir” biçiminde yorumlayıp ∃x (Fx → Gx) biçiminde sembolleştirmek yanlış olurdu. ∃x (Fx → Gx) önermesi, örneğin, en az bir
nesnenin F özelliğine sahip olmadığı bir modelde yorumlandığında doğru olur:
Bu önerme modelin evreni olan {a, b, c, ...} kümesinde açıldığında, (Fa → Ga) ∨
(Fb → Gb) ∨ (Fb → Gb) ∨... ifadesi elde edilir. Bu önerme tikel-evetlemelerden
oluştuğundan, bir bileşenin doğru olması durumunda, tüm ifade doğru olur. Önbileşeni yanlış olan bir koşul önermesi doğru olduğundan, eğer bir eleman bile
F özelliğini taşımasa, o elemana ait bileşen, dolayısıyla tüm ifade doğru olurdu.
Örneğin, “Bazı insanlar dört-ayaklıdır” önermesini düşünelim. Bu önermeyi, F
yüklemini “insandır”, G yüklemini de “dört-ayaklıdır” kabul ederek, ∃x (Fx →
Gx) biçiminde sembolleştirdiğimizi varsayalım. ∃x (Fx → Gx) önermesinin doğru
olması için, en az bir a nesnesi için (Fa → Ga) olması yeterlidir. Şimdi, a nesnesi elimdeki kalem olsun. Bu kalem ∃x (Fx → Gx) önermesini, dolayısıyla “Bazı
insanlar dört-ayaklıdır” önermesini doğru yapmaya yeterdi! Çünkü elimdeki kalem, a, insan olmadığından, Fa yanlıştır. Dolayısıyla, (Fa → Ga) doğrudur. Bir tek
nesnenin bile (Fx → Gx) formülünü sağlaması,∃x (Fx → Gx) önermesinin doğru
olması için yeterli olduğundan, ∃x (Fx → Gx) doğrudur. Oysa “Bazı insanlar dörtayaklıdır” önermesi yanlıştır. Dolayısıyla, “Bazı insanlar dört-ayaklıdır” önermesi
∃x (Fx → Gx) biçiminde sembolleştirilemez.

“Bazı F ler G değildir” önermesi “Bazı şeyler, F dir ve G değildir” ya da, daha
açık bir ifade ile, “Bazı şeyler için, o şey bir F dir ve bir G değildir” biçiminde
yorumlanır ve ∃x (Fx ∧ ~ Gx) biçiminde sembolleştirilir. Bir önceki paragraftaki
açıklamaya göre, “Bazı F ler G değildir” önermesinin ∃x (Fx → ~ Gx) biçiminde
sembolleştirilemeyeceği anlaşılabilir.

Her F G dir: ∀x (Fx → Gx)

Hiçbir F G değildir: ∀x (Fx → ~ Gx)

Bazı F ler G dir: ∃x (Fx ∧ Gx)

Bazı F ler G değildir: ∃x (Fx ∧ ~ Gx)

Bir gündelik dil önermesini, aşağıdaki adımları izleyerek sembolleştireceğiz:
1. adımda, gündelik dil önermesinde geçen tikel ve tümel-niceleme ifadelerinin ve önerme eklemlerinin eş anlamlıları, standart niceleme ifadeleriyle
ve önerme eklemleri ile değiştirilerek, noktalama işaretlerine uygun olarak
parantezler yerleştirilir. Önermeler mantığında olduğu gibi, bu işlem sonucunda elde edilen ifade gündelik dil önermesinin standart biçimidir.
2. adımda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve
önerme eklemi sembolleri yerleştirilir.
3. adımda, “x bir insandır”, “Ahmet bir öğrencidir” gibi, X bir değişken veya
ad, Y bir yüklem ifadesi olmak üzere, (XY) biçimindeki gündelik dil formülleri yerine, “{a bir insandır}x” ve “{a bir öğrencidir}Ahmet” ifadeleri
gibi, {Y}X ifadesi konur.
4. adımda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembolleştirme anahtarında verilen yüklem sembolleri konur.
5. adımda, ifadede geçen adlar yerine ad sembolleri konur.
6. adımda, istenirse, kimi parantezler kurallara uygun olarak kaldırılabilir.

1. adımda, tikel ve tümel-niceleme ifadeleri ile önerme eklemlerinin eş anlamlıları standart niceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ile değiştirilerek ve noktalama işaretlerine uygun olarak parantezler yerleştirilerek, Her x (x bir insandır ise x hata yapabilir) ve bazı y (y bir hatadır ve değildir y kolay affedilir.)
ifadesi, önermenin standart biçimi olarak elde edilir.
2. adımda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve
önerme eklemi sembolleri yerleştirilerek
∀x (x bir insandır → x hata yapabilir) ∧ ∃y (y bir hatadır ∧ ~y kolay affedilir)
3. adımda, parantezli yüklem ifadelerinin uygulandıkları değişkenle birlikte
konulmasıyla
∀x ({a birinsandır}x → {a hata yapabilir}x) ∧ ∃y ({a bir hatadır}y ∧ {a kolay
affedilir}y)
ifadesi elde edilir.
4. adımda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembolleştirme anahtarında
bunların karşılığı olarak verilen yüklem sembolleri konarak
∀x (Fx → Gx) ∧ ∃y (Hy ∧ ~Ky)
önermesi elde edilir.
5. adımda, önermede geçen hiçbir ad olmadığından, yine
∀x (Fx → Gx) ∧ ∃y (Hy ∧ ~Ky)
önermesi elde edilir.
6. adımda, kurallara göre hiçbir parantez elenemeyeceğinden, yine aynı önerme elde edilir.

1. adımda, tikel ve tümel-niceleme ifadeleri ile önerme eklemlerinin eş anlamlılarını standart niceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ile değiştirerek ve noktalama işaretlerine uygun olarak parantezler yerleştirerek,
Her x ((x 2 den büyüktür ve x asal sayıdır) ise x tek sayıdır)
ifadesini elde ederiz.
2. adımda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve
önerme eklemi sembolleri yerleştirilerek
∀x ((x 2 den büyüktür ∧ x asal sayıdır) → x tek sayıdır
3. adımda, parantezli yüklem ifadelerinin uygulandıkları değişkenle birlikte
konulmasıyla
∀x (({a 2 den büyüktür}x ∧ {a asal sayıdır}x) → {a tek sayıdır}x)
ifadesi elde edilir.4. adımda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembolleştirme anahtarında
bunların karşılığı olarak verilen yüklem sembolleri konarak
∀x ((Fx ∧ Gx) → Hx)
ifadesi elde edilir.
5. adımda, ad yerine konması gereken bir ad sembolü olmadığından yine aynı
sembolik önerme elde edilir.
6. adımda, kurallara göre tümel-evetlemenin koşul eklemine göre işlem önceliği olduğundan, tümel-evetlemeye ait parantez kaldırılarak
∀x (Fx ∧ Gx → Hx)
önermesi elde edilir

Temel bir kategorik önerme olan öncül önermesinin sembolleştirmesi, bildiğiniz
gibi, ∀x (Gx → Hx) sembolik önermesidir. O halde, sonuç önermesini sembolleştirmeye geçebiliriz:
1. adımda, tikel ve tümel-niceleme ifadeleri ile önerme eklemlerinin eş anlamlılarını standart niceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ile değiştirerek ve noktalama işaretlerine uygun olarak parantezler yerleştirerek,
Her x ((x canlıdır ise değildir (x ilktir ve x canlıdır))
ifadesini elde ederiz.
2. adımda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve
önerme eklemi sembolleri yerleştirerek
∀x ((x canlıdır ( → ~(x ilktir ∧ x canlıdır))
ifadesini elde ederiz.
3. adımda, yüklemler yerine küme parantezli yüklem ifadelerini ve uygulandıkları değişkenleri koyarak
∀x (({a canlıdır}x → ~({a ilktir}x ∧ {a canlıdır}x))
ifadesini elde ederiz.
4. adımda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembolleştirme anahtarında verilen karşılıkları konarak,
∀x ((Gx → ~(Fx ∧ Gx))
sembolik önermesi elde edilir.
5. adımda, önermede hiçbir ad geçmediğinden, yine aynı önerme elde edilir.
6. adımda, kurallara göre hiçbir parantez elenemeyeceğinden, yine
∀x ((Gx → ~(Fx ∧ Gx))
önermesi elde edilir

Sembolleştireceğimiz “Bazı başarılı öğrenciler, arkadaşları tarafından sevilmeyen öğrencilerdir. Çünkü Ahmet başarılı ama arkadaşları tarafından sevilmeyen
bir öğrencidir” çıkarımının öncülü “Ahmet başarılı ama arkadaşları tarafından
sevilmeyen bir öğrencidir” önermesi, sonucu da “Bazı başarılı öğrenciler, arkadaşları tarafından sevilmeyen öğrencilerdir” önermesidir. İlk ünitede çıkarımları
ele alırken belirttiğimiz gibi, öncül yani, sonuca dayanak oluşturan önerme, bazen
sonuçtan sonra belirtilir.
“Ahmet başarılı ama arkadaşları tarafından sevilmeyen bir öğrencidir” önermesinde hiçbir niceleme ifadesi geçmemektedir. Buna rağmen, önerme bu kısımda edindiğimiz yönteme göre sembolleştirilebilir:
1. adımda, tikel ve tümel-niceleme ifadeleri ile önerme eklemlerinin eş anlamlılarını standart niceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ile değiştirmemiz ve
noktalama işaretlerine uygun olarak parantezler yerleştirmemiz gerekmektedir. Önermede hiçbir niceleme ifadesi geçmediğinden, sadece “ama” ifadesi
yerine, standart karşılığı olan “ve” önerme eklemini koyarak ve “arkadaşları
tarafından sevilmeyen” tümceciğini tümel-evetleme ile ekleyerek,
Ahmet başarılıdır ve (değildir Ahmet arkadaşları tarafından sevilir ve Ahmet bir öğrencidir)
ifadesi elde edilir.
2. adımda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyicileri ve
önerme eklemi sembollerini yerleştirmemiz gerekmektedir. Hiçbir niceleme ifadesi geçmediğinden, sadece önerme eklemleri yerine önerme eklemi
sembollerini koyarak,
Ahmet başarılıdır ∧ (~ Ahmet arkadaşları tarafından sevilir ∧ Ahmet bir
öğrencidir)
ifadesini elde ederiz.
3. adımda, yüklemler yerine küme parantezli yüklem ifadelerini ve uygulandıkları ad sembolünü koyarak,
{a başarılıdır} Ahmet ∧ (~{a arkadaşları tarafından sevilir} Ahmet ∧ {a bir
öğrencidir} Ahmet)
ifadesini elde ederiz.4. adımda, yüklem ifadeleri yerine sembolleştirme anahtarındaki karşılıkları
olan yüklem sembollerini koyarak,
F Ahmet ∧ (~H Ahmet ∧ G Ahmet)
ifadesini elde ederiz.
5. adımda, “Ahmet” adı yerine, sembolleştirme anahtarında verilen “A” sembolünü koyarak,
FA ∧ (~HA ∧ GA)
önermesini elde ederiz.
6. adımda, kurallara göre hiçbir parantez elenemeyeceğinden, yine
FA ∧ (~HA ∧ GA)
önermesini elde ederiz.

1. adımda,
Bazı x ((x başarılıdır ve x öğrencidir) ve (değildir x arkadaşları tarafından
sevilir ve x öğrencidir))
ifadesi elde edilir.
2. adımda, birinci adımda elde ettiğimiz ifadede niceleme ifadeleri ve önerme
eklemleri yerine niceleyicileri ve önerme eklemi sembollerini koyarak,
∃x ((x başarılıdır ∧ x öğrencidir) ∧ (~x arkadaşları tarafından sevilir ∧ x
öğrencidir))
ifadesi elde edilir.
3. adımda, yüklemler yerine küme parantezli yüklem ifadelerini ve uyguladıkları ad sembölünü koyarak,
∃x (({ a başarılıdır} x ∧ { a başarılıdır} x) ∧ (~{a arkadaşları tarafından sevilir} x ∧ ( { a öğrencisidir} x))
ifadesi elde edilir.
4. adımda, yüklem ifadeleri yerine sembolleştirme anahtarındaki karşılıkları
olan yüklem sembollerini koyarak,
∃x ((Fx ∧ Gx) ∧ (~Hx ∧ Gx))
ifadesini elde ederiz.
5. adımda, yerine ad sembolü konması gereken bir ad geçmediğinden yine
aynı ifade elde edilir.
Sonuç olarak, “Bazı başarılı öğrenciler, arkadaşları tarafından sevilmeyen öğrencilerdir. Çünkü Ahmet başarılı ama arkadaşları tarafından sevilmeyen bir öğrencidir” çıkarımının niceleme mantığındaki sembolik karşılığı
FA ∧ (~HA ∧ GA) ∴ ∃x ((Fx ∧ Gx) ∧ (~Hx ∧ Gx))
sembolik çıkarımıdır.

Gündelik dile çevirme işlemi, sembolleştirme işleminin tersi olduğundan,
sembolik bir önermeyi gündelik dile çevirirken, sembolleştirmede izlediğimiz
adımları tersine çeviririz. Gündelik dile çeviri adımlarını açıkça sıralayalım:
1. adımda, en dıştaki parantezler hariç, okuma kolaylığı sağlamak için kaldırılmış olan parantezler eklenir.
2. adımda, ad sembolleri yerine, sembolleştirme anahtarında verilen adlar
konur.
3. adımda, ifadede geçen her yüklem sembolü yerine, sembolleştirme anahtarında verilen yüklem ifadesi küme parantezleri içine konur. Hemen yanına
yüklemin uygulandığı değişken veya ad konur.
4. adımda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesinde
a yerine X değişken veya ad sembolünün konmasıyla elde edilen Y(X) ifadesi konur.
5. adımda, niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerine gündelik dildeki
niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri konur.
6. adımda, doğal bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama işaretleri konur ve istenirse kimi niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri eşanlamlı başka ifadelerle değiştirilir.

1. adımda, verilen sembolik önermede, okuma kolaylığı sağlamak için kaldırılmış parantez olmadığından bu adımda yine ∃x ((Fx ∧ Gx) ∧ Hx) önermesi elde edilir.
2. adımda, önermede ad sembolü olmadığından, bu adımda yapılması gereken bir şey yoktur.
3. adımda, yüklem sembolleri yerine, sembolleştirme anahtarında verilen
yüklem ifadelerini küme parantezleri içine koyarak ve bu ifadelerin yanına
yüklemin uygulandığı değişkenleri koyarak,
∃x (({a ilkçağda yaşamıştır}x ∧ {a filozoftur}x) ∧ {a Anadolu’ludur}x)
ifadesini elde ederiz.
4. adımda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesinde
a yerine X değişken veya ad sembolünün konmasıyla elde edilen Y(X) ifadesini koyarak,
∃x ((x ilkçağda yaşamıştır ∧ x filozoftur) ∧ x Anadolu’ludur)
ifadesini elde ederiz.
5. adımda, niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerine niceleme ifadelerini ve önerme eklemlerini koyarak,
Bazı x ((x ilkçağda yaşamıştır ve x filozoftur) ve x Anadolu’ludur)
ifadesini elde ederiz.
6. adımda, doğal bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama işaretleri koyarak ve niceleme ifadesini ve önerme eklemlerini eşanlamlı başka ifadelerle değiştirerek,
İlkçağda yaşamış bazı filozoflar Anadolu’ludur
gündelik dil önermesini elde ederiz.

1. adımda, verilen sembolik önermede, (Fx ∨ Hx) tikel-evetleme önermesinin parantezleri, okuma kolaylığı sağlamak için kaldırılmıştır. Bu parantezleri ekleyerek,
∃x (Gx ↔ (Fx ∨ Hx))
önermesini elde ederiz.
2. adımda, önermede ad sembolü olmadığından, bu adımda yapılması gereken bir şey yoktur.
3. adımda, yüklem sembolleri yerine, sembolleştirme anahtarında verilen
yüklem ifadelerini küme parantezleri içine koyarak ve bu ifadelerin yanına
yüklemin uygulandığı değişkenleri koyarak,
∀x ({a’nın kuyruğu vardır}x ↔ ({a bir köpektir}x ∨ {a bir kedidir}x))
ifadesini elde ederiz.
4. adımda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesinde
a yerine X değişken veya ad sembolünün konmasıyla elde edilen Y(X) ifadesini koyarak,
∀x (x’in kuyruğu vardır ↔ (x bir köpektir ∨ x bir kedidir))
ifadesini elde ederiz.