ÖLÇME SONUÇLARI ÜZERİNDE İSTATİSTİKSEL YÖNTEMLER

 Sınav sonuçlarına uygulanacak betimsel istatistikler ve puanlara ait grafikler, öğretmenin ders verdiği öğrencilerini daha iyi tanımasına, öğretim sürecinde anlaşılması güç olan konuların saptanmasına yardımcı olur. Bu nedenle öğretmenin geri bildirim yapmasına katkısı olur. Ayrıca, sınav sonuçları üzerinde yapılacak istatistiksel işlemler, öğrencilere not vermede de kullanılabilir.  

 Ölçme sonuçlarının daha kolay yorumlanması için yapılması gereken işlemler; · Puanların sıraya konulması, · Puanların grafikle gösterilmesidir.

 Ölçme sonuçlarının büyüklük sırasına konulması, sınavdan alınan en düşük ve en yüksek puanların neler olduğunun ilgili bireyler tarafından kolayca görülmesini sağlar.

  Puanların sıralı bir şekilde verilmesi ile sınavdan alınan en düşük ya da en yüksek puanların yanında, bu puanlara yakın olan ikinci üçüncü vs. puanların da görülmesi sağlanır.

  Puanlar karışık bir sıra ile verildiğinden alınan en düşük en yüksek puanların neler olduğu çok iyi görülememektedir. Bu nedenle de sınıfın başarısı hakkında çok yüzeysel bilgi sahibi olunabilir.

  Bu verileri biraz daha anlamlı hale getirmenin yolu bunları sıra ile vermektir.

 Puanların hangi puanlar etrafında yığıldığı, yani ağırlık merkezi daha açık görülmektedir. Aynı zamanda öğrencilerin genel olarak başarısı hakkında da bir fikir sahibi olunabilir.

 Başarı sürekli bir değişken olduğundan histogram, çizgi, frekans poligonu (çokgeni) gibi grafik türlerinden biri kullanılabilir.

  Sınav sonuçları başarı göstergesi olarak kullanıldığından, gerçekte sürekli değişkenler olmasına rağmen elde edilen puanlar tanım itibarı ile kesiklidirler. Bu nedenle anılan grafik türlerinin kullanılabilmesi için sınav puanlarının yapay olarak sürekli hale getirilmesi gerekir.

 Puanları sürekli hale getirmenin yollarından biri, her puanın yarım (0,5) altını ve yarım üstünü almaktır. Örneğin, 24 puanının sınırları 24-0,5=23,5 ve 24+0,5=24,5’tir.

 Test puanları; · Grup sayısının belirlenmesi, · Grup aralık katsayısının hesaplanması, · Gruplara düşen frekansların bulunması, · Grafiğin çizilmesidir.

 Grup aralık katsayısı, puanların gruplandırılacağı aralığın genişliğini verir.

 Grup aralık katsayısı, puanların en büyüğü ile en küçüğü arasındaki fark alınarak, birinci aşamada belirlenen grup sayısına bölünerek hesaplanır.

 Grup aralıklarının alt sınırının 0,5 puan altı ve üst sınırının 0,5 puan üstü alınarak puanlar sürekli hale getirilir (gerçek grup aralıkları diye adlandırılır). Sıralı ve frekanslı verilerdeki puanlardan kaçar tanesinin grup aralıklarına düştüğü sayılarak her grubun frekans değerleri bulunur.

Cevap: Başarı gibi sürekli değişkenlerde histogram, çizgi, frekans poligonu (çokgeni), cinsiyet gibi kesikli değişkenlerde pasta ve bar gibi grafik türlerinden biri kullanılmalıdır. 

 Betimleyici (özetleyici, tanımlayıcı) istatistikler, puan dağılımının yapısı hakkında bilgi veren istatistiklerdir.

  Bu istatistiklere bakarak puan dağılımlarının basıklığı ya da sivriliği, çarpıklığı ya da normalliği konusunda fikir sahibi olunabilir.

Cevap: İki grupta ele alınırlar. Bunlar; · Merkezi Yığılma Ölçüleri, · Merkezi Dağılım Ölçüleridir.

 Bir puan dağılımının merkezi yığılma ölçüleri denildiğinde, puanların ağırlık merkezini gösteren istatistikler akla gelmektedir. Bu istatistikler, tepe değer (mod), ortanca (medyan) ve aritmetik ortalama ile aritmetik ortalamanın değişik biçimleri olan ağırlıklı ortalama, harmonik ortalama gibi istatistiklerdir.

 Merkezi yığılma ölçülerinin aldığı değerlere göre test puanları dağılımının normal, sağa ya da sola çarpık dağılım gösterip göstermediği konusunda genel olarak bilgi sahibi olunabilir.

 Merkezi yığılma ölçülerinin aldığı değerlere göre test puanları dağılımının normal, sağa ya da sola çarpık dağılım gösterip göstermediği konusunda genel olarak bilgi sahibi olunabilir.

 Tepe değer, bir puan dağılımında en çok tekrarlanan puandır; ya da frekansı en çok olan puandır.

 Birden çok tepe değerli dağılımların da ağırlık merkezinin hangi puana yakın olduğunu belirtmek gittikçe zorlaşır. Bu nedenle tepe değer çok yüzeysel bir merkezi yığılma ölçüsü olarak bilinir.

  Puan dağılımının ağırlık merkezi olarak tepe değerden daha fazla bilgi veren istatistik ortancadır.

  Kelime anlamına bakıldığında ortanca sıralı verilerde ortaya (%50’inci sıraya) gelen puandır. Puanlar büyüklük sırasına dizildiğinde puan dağılımını iki eşit parçaya ayıran puan, dağılımın ağırlık merkezini tepe değere göre daha iyi göstermektedir. Özellikle sıralı verilerde ortada yer almayan bir tepe değer, ağırlık merkezini belirtmede çok yanıltıcı olur.

 Eğer ortancanın bulunacağı puan sayısı çift ise puan dağılımını iki eşit parçaya ayıracak tek bir puan yoktur. Örneğin puan sayısı sekiz olan bir dağılımda puanları iki eşit sayıda ayıracak tek bir puan yoktur. Tam ortaya gelecek olan puan dördüncü ve beşinci sıradaki puanın arasına gelir. Bu durumda ortanca dördüncü ve beşinci sıradaki puanların aritmetik ortalamalarının alınmasıyla hesaplanır.

  Puan dağılımındaki puan sayısının tek olması durumunda ortancanın hesaplanması daha kolaydır. Çünkü puanlar sıralandığında dağılımı iki eşit parçaya bölen tek bir puan bulunur. Bir puan dağılımında yedi puan olduğunda, dördüncü sıradaki puanın sağında ve solunda eşit sayıda (üçer tane) puan olacağından ortancanın kolayca hesaplanması mümkündür.

 Dağılımda puan sayısı çift olduğu için ortadaki iki puanın (12 ve 13) ortalaması alınır. Dolayısıyla Ortanca= (12+13)/2=12,5 dir.

  Bu durumda dağılımındaki puan sayısının tek ya da çift olması da dikkate alınarak aşağıdaki formül ile ortanca hesaplanır. Cevap: Xort=Aort +[(n/2-tfA)/tfB].a bu formülde Xort: Ortanca değeri. Aort: Ortancanın bulunduğu aralığın alt sınırının değeri. n: Veri sayısı tfA: Ortancanın bulunduğu aralığa kadar olan toplam frekans sayısı tfB : Ortancanın bulunduğu aralığın frekans sayısı a : Grup aralık katsayısı

 Toplam puanların puan sayısına bölünmesiyle elde edilir.

 Aritmetik ortalama=Puanların toplamı/puan sayısı, Aritmetik ortalama=1000/25, Aritmetik ortalama=40.

 Merkezi yığılma ölçülerinin birbirlerine göre değerleri puan dağılımının sağa ya da sola çarpıklığı ile simetrik olup olmadığını gösterebilir. Merkezi yığılma ölçüleri arasındaki farklar açıldıkça dağılımın çarpıklaştığı, farklar kapandıkça da dağılımın simetrikleştiği anlaşılır.

  Öğrenci başarılarının gösterildiği bir dağılımda sola çarpıklık olduğu ve öğrenci başarılarının yüksek olduğu anlaşılmaktadır. Aksi durumda, başarısız öğrencilerin daha çok olduğu ve çarpıklığın sağa doğru olduğu görülmektedir. Çarpıklığın olmadığı dağılımın simetrik olduğu durumlarda başarı ve başarısız öğrencilerin oranlarının eşitliği söz konusudur. Merkezi yığılma ölçüleri birbirine eşittir.

 Merkezi dağılım ölçüleri puanların ağırlık merkezlerine göre hangi aralıkta dağıldığının ölçülerini veren istatistiklerdir.

  Dağılım ölçülerinin türleri, · Dizi genişliği (Ranj) · Çeyrek kayma · Standart kayma (sapma) ve varyansdır.

 Dizi genişliği puanların hangi aralıkta değişkenlik gösterdiğini belirten istatistiklerdir.

 En büyük puan ile en düşük puan arasındaki fark ile hesaplanır.

  İki puan arasındaki fark büyüdüğü ölçüde puanların geniş bir ranjda dağıldığı, yani heterojenleştiği; fark küçüldüğü ölçüde puanların birbirine çok yakın değerlerde olduğu, yani homojenleştiği anlaşılır.

 Puan dağılımında bulunan farklı tek bir puan bile dize genişliğini artırabilir. Bu nedenle, dağılımın değişkenliği hakkında bilgi toplamada dizi genişliği yetersiz kalabilir. Dizi genişliğinin standart bir değerinin olmaması nedeniyle, yorumlanması zordur.

 Puan dağılımının değişkenliğinin ölçüsü olarak dizi genişliğinin yetersizliğini bir ölçüde çeyrek kayma giderebilir.

 Çeyrek kayma, küçükten büyüğe doğru sıralanan bir puan dağılımında %75’inci (üçüncü çeyrek) ile %25’inci (birinci çeyrek) puan arasındaki farkın yarısına eşittir.

  Aşırı uç puanların olmasından kaynaklanan olumsuzluğun bir ölçüde giderilmesi sağlanmış olur.

 Çeyrek kaymanın da dizi genişliği gibi standart bir değeri yoktur. Bu nedenle yorumlanması güçtür.

  Dizi genişliği ve çeyrek kaymadan daha iyi bir merkezi dağılım ölçüsü standart sapma ve karesi olan varyanstır.

 Varyans değişkenlik (variation) anlamına gelmektedir. Puanların varyansı, puanların değişkenliğinin bir ölçüsünü verir. Bu nedenle standart kayma da aynı anlama gelmektedir. Standart kayma, bir merkezi dağılım ölçüsü olarak puanların merkezi yığılma ölçüsünden uzaklıklarının bir ortalama değeri anlamını taşımaktadır.

 Bağıl değişkenlik katsayısı standart kayma ile aritmetik ortalamanın birbirine oranlarını gösteren bir katsayıdır.

  Bağıl değişkenlik katsayısı (V)=Sx/X .100 bu denklemde Sx standart kayma X ise aritmetik ortalamadır.

 Bağıl değişkenlik katsayısı (V)=5/25x100=%20.

  Katsayının 20 ile 25 arasında olması puan dağılımının normal dağıldığına işarettir.

 Bağıl değişkenlik katsayısının 20’den daha küçük çıkması, standart kaymanın küçük, aritmetik ortalamanın büyük olması ile mümkündür. Standart kaymanın küçük olması ise puanların birbirine yakın (homojen) ve dağılımın dar alanda olduğunu gösterir; bu da puan dağılımının normalden daha sivri olduğu anlamına gelir.

 Bağıl değişkenlik katsayısının 25’ten büyük olması standart kaymanın ortalamaya göre büyümesi ile mümkündür. Bu durum, puanlar arası farkın çok (heterojen) olduğunu; dağılımın ise daha basık olduğunu gösterir.

 Öğrencilerin sınavdan aldıkları puanlar üzerinde herhangi bir işlem yapılmadığından bunlara ham puan adı verilir.

 Ham puanların tek başına yorumlanabilmesi, bunları standart puanlara dönüştürmekle mümkündür.

  En yaygın olarak kullanılan standart puanlar Z puanı ve T puanıdır.

  Ham puanların ortalamasını ve standart kaymasını bilindik bir puan dağılımına dönüştürmek, puanları standartlaştırmak demektir.

  Ham puanların ortalamasını sıfır (0,00) ve standart kaymasını bir (1,00) olacak şekilde yapılan doğrusal dönüştürmeye z puanı adı verilir.

 Z puanı aşağıdaki formüle göre hesaplanmaktadır. Z=(Xi-X)/S2 x bu formülde Xi: herhangi bir i kişisinin ham puanı, X: Ham puanların aritmetik ortalaması, S 2 x: Ham puanların standart kaymasıdır.

 Z puanı normal dağılım özelliği taşıyan bir puan dağılımıdır. Bu nedenle teorik dağılım özelliklerine sahiptir. Dağılımın standart kaymasının (1,00) birim olarak alınması ve ortalamadan itibaren her birim uzaklığa ait alanların biliniyor olmasıdır.

  Bir öğrencinin Z puanı pozitif olduğundan sınıf ortalamasının üzerinde bir başarı gösterdiğini söylemek mümkündür.

  Ham puanların standart kayması büyük ise öğrencinin ham puanının ortalamadan daha yüksek olduğunu; küçük ise de ortalamaya daha yakın olduğunu söylemek mümkündür.

 Puanı 35 olan kişi için; Z=(35-40)/2 Z=-2,5 Puanı 50 olan kişi için; Z=(50-40)/2 Z=5 dir.

 Z puanında ortalama sıfırken, T puanında ortalama elli (50,00)’dir. Standart kayma da Z puanında birken (1,00), T puanında on (10,00)’dur.

 T puanı aşağıdaki formüle göre hesaplanmaktadır, T=10 Z+50

 Bu iki öğrencinin başarıları karşılaştırıldığında, sınıfa göre standart kayması daha düşük olan puan dağılımdaki öğrencinin daha başarılı olduğu söylenebilmektedir.

 Notu 55 olan bir kişi için Z=(55-50)/5 Z=1 T=10 1+50 T=60 Notu 40 olan bir kişi için Z=(40-50)/5 Z=-2 T=10 (-2)+50 T=30

 Notu 75 olan bir kişi için Z=(75-70)/10 Z=0,5 T=10 0,5+70 T=75 Notu 60 olan bir kişi için Z=(60-70)/10 Z=-1 T=10 (-1)+70 T=60