Ağ Problemleri: En Kısa Yol Problemi ve En Küçük Kapsayan Ağaç Problemi

Yöneylem araştırmasında ağ problemleri; Ulaştırma, elektrik, internet, komünikasyon
ağları, petrol ve doğal gaz dağıtım hatları ve benzeri ağlar da ortaya çıkan sorunlarla ilgilenir.

Düğüm noktaları genellikle çemberlerle gösterilir ve büyük harflerle(A, B, C,...)  işaretlenir.

Bu noktalara ağın düğüm noktaları veya tepe noktaları denir

Yönlü kenar, iki tepe noktası arasındaki kenar
boyunca sadece bir yönde akışa izin veren yönlü
çizgidir. Kenarın yönü okla belirtilir (→), ve AB
(veya A-B) şeklinde işaretlenmiş bir kenar, yönün
A noktasından B noktasına doğru yönlendirildiğini gösterir

Yönlendirilmemiş kenar, bir kenar boyunca
her iki yönde akışa izin veren çizgidir. Yönlendirilmemiş kenarlar, üzerinde ok olmayan çizgilerle
veya birbirine ters yönlerde yönlendirilmiş bir çift
yönlü kenarla gösterilebilir

Döngü, başlangıç ve bitiş noktaları aynı noktada olan yola denir. 

Ağaç, Döngülerin olmadığı bir ağa ağaç denir. 

Dijkstra Algoritması
Adım 1. Başlangıç düğüm noktasını seç, bu düğüm noktasını kalıcı kümeye al ve Adım 2’ye git.
Adım 2. Kalıcı kümeye en son alınan düğüm noktasına kalıcı kümede bulunanlar dışında bağlantısı bulunan düğüm noktalarını, bu noktalardan başlayan kenarları ve bu kenarlara karşı gelen uzaklıkları belirle.
Bu yeni kenara karşı gelen uzaklık değerini, bu kenarın bağlandığı ve kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına
kadar daha önce hesaplanmış olan uzaklığa kümülatif olarak ekle. Uzaklıklar sütunundaki tüm uzaklıklar
içinde en küçük uzaklığı seç. Bu uzaklığa karşı gelen düğüm noktasını kalıcı kümeye ekle, mevcut listeden bu
düğüm noktasına gelen tüm diğer kenarları ve ilgili uzaklık bilgilerini kaldır ve Adım 3’e git.
Adım 3. Kalıcı kümeyi kontrol et. Eğer henüz tüm düğüm noktaları kalıcı kümeye alınmamışsa Adım
2’ye git, diğer durumda, yani eğer mevcut ağdaki son düğüm noktası da kalıcı kümeye alınmış ise algoritmayı
sonlandır ve toplam en küçük uzaklığı, en son kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına bağlanan kenarın sahip
olduğu toplam uzaklık olarak belirle. Kalıcı kümeye alınan en küçük uzaklıklara sahip düğüm noktalarını
sondan başa doğru sıralayarak en kısa yolu belirle.

Doğru olan II numaradır.

Dijkstra Algoritması
Adım 1. Başlangıç düğüm noktasını seç, bu düğüm noktasını kalıcı kümeye al ve Adım 2’ye git.
Adım 2. Kalıcı kümeye en son alınan düğüm noktasına kalıcı kümede bulunanlar dışında bağlantısı bulunan düğüm noktalarını, bu noktalardan başlayan kenarları ve bu kenarlara karşı gelen uzaklıkları belirle.
Bu yeni kenara karşı gelen uzaklık değerini, bu kenarın bağlandığı ve kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına
kadar daha önce hesaplanmış olan uzaklığa kümülatif olarak ekle. Uzaklıklar sütunundaki tüm uzaklıklar
içinde en küçük uzaklığı seç. Bu uzaklığa karşı gelen düğüm noktasını kalıcı kümeye ekle, mevcut listeden bu
düğüm noktasına gelen tüm diğer kenarları ve ilgili uzaklık bilgilerini kaldır ve Adım 3’e git.
Adım 3. Kalıcı kümeyi kontrol et. Eğer henüz tüm düğüm noktaları kalıcı kümeye alınmamışsa Adım
2’ye git, diğer durumda, yani eğer mevcut ağdaki son düğüm noktası da kalıcı kümeye alınmış ise algoritmayı
sonlandır ve toplam en küçük uzaklığı, en son kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına bağlanan kenarın sahip
olduğu toplam uzaklık olarak belirle. Kalıcı kümeye alınan en küçük uzaklıklara sahip düğüm noktalarını
sondan başa doğru sıralayarak en kısa yolu belirle

Dijkstra Algoritması
Adım 1. Başlangıç düğüm noktasını seç, bu düğüm noktasını kalıcı kümeye al ve Adım 2’ye git.
Adım 2. Kalıcı kümeye en son alınan düğüm noktasına kalıcı kümede bulunanlar dışında bağlantısı bulunan düğüm noktalarını, bu noktalardan başlayan kenarları ve bu kenarlara karşı gelen uzaklıkları belirle.
Bu yeni kenara karşı gelen uzaklık değerini, bu kenarın bağlandığı ve kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına
kadar daha önce hesaplanmış olan uzaklığa kümülatif olarak ekle. Uzaklıklar sütunundaki tüm uzaklıklar
içinde en küçük uzaklığı seç. Bu uzaklığa karşı gelen düğüm noktasını kalıcı kümeye ekle, mevcut listeden bu
düğüm noktasına gelen tüm diğer kenarları ve ilgili uzaklık bilgilerini kaldır ve Adım 3’e git.
Adım 3. Kalıcı kümeyi kontrol et. Eğer henüz tüm düğüm noktaları kalıcı kümeye alınmamışsa Adım
2’ye git, diğer durumda, yani eğer mevcut ağdaki son düğüm noktası da kalıcı kümeye alınmış ise algoritmayı
sonlandır ve toplam en küçük uzaklığı, en son kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına bağlanan kenarın sahip
olduğu toplam uzaklık olarak belirle. Kalıcı kümeye alınan en küçük uzaklıklara sahip düğüm noktalarını
sondan başa doğru sıralayarak en kısa yolu belirle.

Dijkstra Algoritması
Adım 1. Başlangıç düğüm noktasını seç, bu düğüm noktasını kalıcı kümeye al ve Adım 2’ye git.
Adım 2. Kalıcı kümeye en son alınan düğüm noktasına kalıcı kümede bulunanlar dışında bağlantısı bulunan düğüm noktalarını, bu noktalardan başlayan kenarları ve bu kenarlara karşı gelen uzaklıkları belirle.
Bu yeni kenara karşı gelen uzaklık değerini, bu kenarın bağlandığı ve kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına
kadar daha önce hesaplanmış olan uzaklığa kümülatif olarak ekle. Uzaklıklar sütunundaki tüm uzaklıklar
içinde en küçük uzaklığı seç. Bu uzaklığa karşı gelen düğüm noktasını kalıcı kümeye ekle, mevcut listeden bu
düğüm noktasına gelen tüm diğer kenarları ve ilgili uzaklık bilgilerini kaldır ve Adım 3’e git.
Adım 3. Kalıcı kümeyi kontrol et. Eğer henüz tüm düğüm noktaları kalıcı kümeye alınmamışsa Adım
2’ye git, diğer durumda, yani eğer mevcut ağdaki son düğüm noktası da kalıcı kümeye alınmış ise algoritmayı
sonlandır ve toplam en küçük uzaklığı, en son kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına bağlanan kenarın sahip
olduğu toplam uzaklık olarak belirle. Kalıcı kümeye alınan en küçük uzaklıklara sahip düğüm noktalarını
sondan başa doğru sıralayarak en kısa yolu belirle.

Dijkstra Algoritması
Adım 1. Başlangıç düğüm noktasını seç, bu düğüm noktasını kalıcı kümeye al ve Adım 2’ye git.
Adım 2. Kalıcı kümeye en son alınan düğüm noktasına kalıcı kümede bulunanlar dışında bağlantısı bulunan düğüm noktalarını, bu noktalardan başlayan kenarları ve bu kenarlara karşı gelen uzaklıkları belirle.
Bu yeni kenara karşı gelen uzaklık değerini, bu kenarın bağlandığı ve kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına
kadar daha önce hesaplanmış olan uzaklığa kümülatif olarak ekle. Uzaklıklar sütunundaki tüm uzaklıklar
içinde en küçük uzaklığı seç. Bu uzaklığa karşı gelen düğüm noktasını kalıcı kümeye ekle, mevcut listeden bu
düğüm noktasına gelen tüm diğer kenarları ve ilgili uzaklık bilgilerini kaldır ve Adım 3’e git.
Adım 3. Kalıcı kümeyi kontrol et. Eğer henüz tüm düğüm noktaları kalıcı kümeye alınmamışsa Adım
2’ye git, diğer durumda, yani eğer mevcut ağdaki son düğüm noktası da kalıcı kümeye alınmış ise algoritmayı
sonlandır ve toplam en küçük uzaklığı, en son kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına bağlanan kenarın sahip
olduğu toplam uzaklık olarak belirle. Kalıcı kümeye alınan en küçük uzaklıklara sahip düğüm noktalarını
sondan başa doğru sıralayarak en kısa yolu belirle.

Dijkstra Algoritması
Adım 1. Başlangıç düğüm noktasını seç, bu düğüm noktasını kalıcı kümeye al ve Adım 2’ye git.
Adım 2. Kalıcı kümeye en son alınan düğüm noktasına kalıcı kümede bulunanlar dışında bağlantısı bulunan düğüm noktalarını, bu noktalardan başlayan kenarları ve bu kenarlara karşı gelen uzaklıkları belirle.
Bu yeni kenara karşı gelen uzaklık değerini, bu kenarın bağlandığı ve kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına
kadar daha önce hesaplanmış olan uzaklığa kümülatif olarak ekle. Uzaklıklar sütunundaki tüm uzaklıklar
içinde en küçük uzaklığı seç. Bu uzaklığa karşı gelen düğüm noktasını kalıcı kümeye ekle, mevcut listeden bu
düğüm noktasına gelen tüm diğer kenarları ve ilgili uzaklık bilgilerini kaldır ve Adım 3’e git.
Adım 3. Kalıcı kümeyi kontrol et. Eğer henüz tüm düğüm noktaları kalıcı kümeye alınmamışsa Adım
2’ye git, diğer durumda, yani eğer mevcut ağdaki son düğüm noktası da kalıcı kümeye alınmış ise algoritmayı
sonlandır ve toplam en küçük uzaklığı, en son kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına bağlanan kenarın sahip
olduğu toplam uzaklık olarak belirle. Kalıcı kümeye alınan en küçük uzaklıklara sahip düğüm noktalarını
sondan başa doğru sıralayarak en kısa yolu belirle.

Dijkstra Algoritması
Adım 1. Başlangıç düğüm noktasını seç, bu düğüm noktasını kalıcı kümeye al ve Adım 2’ye git.
Adım 2. Kalıcı kümeye en son alınan düğüm noktasına kalıcı kümede bulunanlar dışında bağlantısı bulunan düğüm noktalarını, bu noktalardan başlayan kenarları ve bu kenarlara karşı gelen uzaklıkları belirle.
Bu yeni kenara karşı gelen uzaklık değerini, bu kenarın bağlandığı ve kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına
kadar daha önce hesaplanmış olan uzaklığa kümülatif olarak ekle. Uzaklıklar sütunundaki tüm uzaklıklar
içinde en küçük uzaklığı seç. Bu uzaklığa karşı gelen düğüm noktasını kalıcı kümeye ekle, mevcut listeden bu
düğüm noktasına gelen tüm diğer kenarları ve ilgili uzaklık bilgilerini kaldır ve Adım 3’e git.
Adım 3. Kalıcı kümeyi kontrol et. Eğer henüz tüm düğüm noktaları kalıcı kümeye alınmamışsa Adım
2’ye git, diğer durumda, yani eğer mevcut ağdaki son düğüm noktası da kalıcı kümeye alınmış ise algoritmayı
sonlandır ve toplam en küçük uzaklığı, en son kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına bağlanan kenarın sahip
olduğu toplam uzaklık olarak belirle. Kalıcı kümeye alınan en küçük uzaklıklara sahip düğüm noktalarını
sondan başa doğru sıralayarak en kısa yolu belirle

Dijkstra Algoritmasının Adımları :
Adım 1. Başlangıç düğüm noktasını seç, bu düğüm noktasını kalıcı kümeye al ve Adım 2’ye git.
Adım 2. Kalıcı kümeye en son alınan düğüm noktasına kalıcı kümede bulunanlar dışında bağlantısı bulunan düğüm noktalarını, bu noktalardan başlayan kenarları ve bu kenarlara karşı gelen uzaklıkları belirle.
Bu yeni kenara karşı gelen uzaklık değerini, bu kenarın bağlandığı ve kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına
kadar daha önce hesaplanmış olan uzaklığa kümülatif olarak ekle. Uzaklıklar sütunundaki tüm uzaklıklar
içinde en küçük uzaklığı seç. Bu uzaklığa karşı gelen düğüm noktasını kalıcı kümeye ekle, mevcut listeden bu
düğüm noktasına gelen tüm diğer kenarları ve ilgili uzaklık bilgilerini kaldır ve Adım 3’e git.
Adım 3. Kalıcı kümeyi kontrol et. Eğer henüz tüm düğüm noktaları kalıcı kümeye alınmamışsa Adım
2’ye git, diğer durumda, yani eğer mevcut ağdaki son düğüm noktası da kalıcı kümeye alınmış ise algoritmayı
sonlandır ve toplam en küçük uzaklığı, en son kalıcı kümeye alınan düğüm noktasına bağlanan kenarın sahip
olduğu toplam uzaklık olarak belirle. Kalıcı kümeye alınan en küçük uzaklıklara sahip düğüm noktalarını
sondan başa doğru sıralayarak en kısa yolu belirle.

En Küçük Kapsayan Ağaç Algoritması
Adım 1. Bize verilen düğüm noktalarından herhangi birini ve bu düğüm noktasına en yakın düğüm
noktasını belirleyerek bu iki düğüm noktasını bir kenarla birleştir.
Adım 2. Henüz bağlantı kurulmamış tüm düğüm noktaları içinden, bir birine bağlanmış tüm
düğüm noktalarına en kısa uzaklık değerine sahip
olanı seç ve aralarındaki uzaklık değerinin en kısa
olduğu düğümleri bir kenarla birleştir. Aralarındaki
uzaklık değerlenin en küçük olduğu düğüm noktaları
çifti birden fazla olabildiği durumlarda bu çifti keyfi
olarak seçebilirsiniz. Bu seçim en iyi çözüm değerini
değiştirmez ama belki alternatif en küçük kapsayan
ağaç oluşmasına olanak sağlayabilir.
Adım 3. Eğer henüz bağlantı kurulmamış düğüm
noktası varsa Adım 2’ye git, diğer durumda algoritmayı sonlandır: en iyi çözüm bulunmuştur.

Kapsayan ağaç probleminde, tesadüfü bir düğümden başlanır, sonra en yakın düğüm bağlanır, bütün düğümler bir başka düğüme bağlanırken en kısa mesafeli kenar kullanılır.

Tesadügü bir başlangıç düğümü seçilerek en kısa kenar bağlanır, bütün düğümlerde en kısa kenar bağlanır kuralı uygulandığında çözüm: 

Şeklinde bulunur.

En Küçük Kapsayan Ağaç Algoritması
Adım 1. Bize verilen düğüm noktalarından herhangi birini ve bu düğüm noktasına en yakın düğüm
noktasını belirleyerek bu iki düğüm noktasını bir kenarla birleştir.
Adım 2. Henüz bağlantı kurulmamış tüm düğüm noktaları içinden, bir birine bağlanmış tüm
düğüm noktalarına en kısa uzaklık değerine sahip
olanı seç ve aralarındaki uzaklık değerinin en kısa
olduğu düğümleri bir kenarla birleştir. Aralarındaki
uzaklık değerlenin en küçük olduğu düğüm noktaları
çifti birden fazla olabildiği durumlarda bu çifti keyfi
olarak seçebilirsiniz. Bu seçim en iyi çözüm değerini
değiştirmez ama belki alternatif en küçük kapsayan
ağaç oluşmasına olanak sağlayabilir.
Adım 3. Eğer henüz bağlantı kurulmamış düğüm
noktası varsa Adım 2’ye git, diğer durumda algoritmayı sonlandır: en iyi çözüm bulunmuştur.

En Küçük Kapsayan Ağaç Algoritmasının Adımları:
Adım 1. Bize verilen düğüm noktalarından herhangi birini ve bu düğüm noktasına en yakın düğüm
noktasını belirleyerek bu iki düğüm noktasını bir kenarla birleştir.
Adım 2. Henüz bağlantı kurulmamış tüm düğüm noktaları içinden, bir birine bağlanmış tüm
düğüm noktalarına en kısa uzaklık değerine sahip
olanı seç ve aralarındaki uzaklık değerinin en kısa
olduğu düğümleri bir kenarla birleştir. Aralarındaki
uzaklık değerlenin en küçük olduğu düğüm noktaları
çifti birden fazla olabildiği durumlarda bu çifti keyfi
olarak seçebilirsiniz. Bu seçim en iyi çözüm değerini
değiştirmez ama belki alternatif en küçük kapsayan
ağaç oluşmasına olanak sağlayabilir.
Adım 3. Eğer henüz bağlantı kurulmamış düğüm
noktası varsa Adım 2’ye git, diğer durumda algoritmayı sonlandır: en iyi çözüm bulunmuştur.