Ünite 2: Matematiğin Temellerinden Anlambilime: Frege

Tarihsel Arka Plan

Analitik felsefenin ortaya çıkışı, her şeyden önce 19. yüzyılda hâkim olan Kantçı metafizik anlayışının eleştirisi ile olanaklı olmuştur. Kant 1781 yılında yayımladığı Kritik der Reinen Vernunft adlı eserinde, metafiziğin olanaklı olup olmadığını sorgulamış ve aklın kendi sınırları içerisinde neyi bilip bilemeyeceği sorusuna bir yanıt aramıştır. Kritik terimi, Antik Yunanca’da sınır çizmek kökünden türemiş bir sözcüktür. Bir anlamda Kant akla, aklın içinden bir sınır çizmeye çalışmıştır. Kant, aklın sınırları içerisinde bir tür metafiziğin olanaklı olduğunu düşünüyordu. Kantçı metafiziğin merkezinde ise Kant’ın sentetik a priori olarak adlandırdığı yargılar yer alıyordu. Kant’a göre matematiğin yargıları ve kuramsal fiziğin temelinde yer alan yargılar evrensel zorunluluğa ve nesnel geçerliliğe sahip sentetik a priori yargılardı. Kantçı metafiziğin eleştirisi üzerinden dilin ve dilin mantığının felsefenin odağına yerleşmesi süreci, analitik felsefenin doğduğu süreç olarak kabul edilebilir. Bir bakıma, Kant’ın eleştirileri üzerinden bir tür metafiziğin elenmesinin ardından Kant’ın savunduğu biçimiyle metafiziğin elenmesi, analitik felsefenin gelişimi açısından belirleyici olmuştur. Metafikteki bu elenmeyi anlayabilmek için 19. Ve 20. yy’da matematik ve bilim alanlarında yaşanan değişimlere bakmak gerekmektedir. Euklidesçi olmayan geometrilerin keşfedilmesi, Einstein’ın özel ve genel görelik kuramını ortaya koyması, bu gelişmelerden en önemlileridir. Gottlob Frege’nin çalışmalarında Matemati¤in mantığa indirgenebileceği ve bu itibarla da matematiğin önermelerinin analitik olduğunun gösterilmesi diğer bir gelişmedir.

Sentetik A Priori Tartışması

Kant’ın Yargıları Sınıflandırması

Kant önermelerin değil, yargıların sınıflandırılmasından söz etmiştir. Kant’a göre yargı, düşünme yetisinin bir edimidir. Dil felsefesinin gelişim süreci içerisinde Kant’ın yargılara ilişkin sınıflandırması, önermelere uygulanmıştır. Kant, kendi sınıflandırrmasını iki farklı boyutta gerçekleştirmiştir. Birinci boyut, bilgibilimle; ikinci boyut ise anlambilimle ilgili olarak görülebilir. Birinci boyuta göre, bir yargının doğruluğuna karar verebilmek için ampirik deneyime ihtiyaç yoksa bu yargı, a priori; eğer ihtiyaç varsa, a posteriori olarak adlandırılır. İkinci boyuta göre ise yargıda, özne konumunda olan kavram içerisinde yüklem konumunda olan kavram içeriliyorsa söz konusu yargı, analitik; içerilmiyorsa, sentetik olarak adlandırılır. Böylece dört çeşit yargıya ulaşılmaktadır. Dört farklı yargı türü belirlemiştir. Analitik olan bir yargının doğrulanması için, deneyime başvurmamıza ihtiyaç yoktur. Dolayısıyla, bilgibilimsel açıdan bu yargı, a priori’dir. Kant’a göre herhangi bir yargının analitik ve a priori olabilmesi, adı üstünde bir yargı olabilmesine, yani bir yargı edimi ile kavranılmasına bağlıdır.

Kant’ın transandantal felsefesi dâhilinde ilginç ve yeni olan, sentetik ve a priori yargılardır. Kant’a göre analitik yargılar, sahip olduğumuz bir kavramda içerilen bilgiyi açıklayıcı bir özelliktedir. Sentetik yargılar ise bilgimizi genişletir. Sentetik a priori yargılar, hem bilgimizi genişletmekte hem de duyu deneyimine ihtiyaç göstermeksizin doğru olabilmektedir.

Kant’a göre, öncelikle matematiğin yargıları sentetik ve a priori’dir. Sentetik a posteriori yargıların doğru olabilmesi için, özne ve yüklem konumundaki kavramları birbirine bağlayan üçüncü bir şeye, deneyimde mevcut bir nesneye ihtiyaç vardır. Kant’ın yaşadığı dönemde Euklides’in geometrik aksiyomları Kabul edilmekteydi. Kant geometrik yargıları yani Euklides’in aksiyonlarını a priori olarak Kabul etmektedir. 19.yy’ın ilk yarısında Euklidesçi olmayan geometriler keşfedilince Kant’ın da kuramı da sarsıldı.

Euklidesçi Olmayan Geometriler

Euklides’in beş aksiyomu şu şekildedir;

1. Bir noktadan bir başka noktaya doğru bir çizgi çizilebilir (veya iki noktadan bir doğru geçer).
2. Bir doğru çizgi üzerinde sonlu ve sürekli bir doğru parçası çizilebilir (veya iki nokta arasındaki sürekli doğru sonludur).
3. Belli bir noktayı merkez ve herhangi bir uzunluğu yarıçap olarak alarak bir çember çizilebilir (veya bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri, bir çemberdir).
4. Tüm dik açılar birbirine eşittir.
5. İki doğru bir doğru ile kesildiğinde, kesenin bir tarafında oluşan iki iç açının toplamı 180 dereceden küçükse, bu iki doğru bu 180 dereceden küçük açıların bulunduğu tarafta kesişir.

Sonraki geometriciler beşinci aksiyomun doğru olduğunu düşünmüyorlardır. Proclus Unsurlar üzerine bir şerh kaleme aldı ve beşinci aksiyomun ilk dördünden türetilmesine ilişkin çabalara yer verdi. Beşinci aksiyoma eşdeğer şu aksiyomu önerdi: Bir doğru ve bu doğru üzerinde olmayan bir nokta verildiğinde, bu noktadan geçen ve doğruya paralel olan bir ve yalnız bir doğru çizilebilir. Bunun adı Playfair’in aksiyomuydu. 1697 yılında Girolomo Saccheri tarafından beşinci postulayı reddeden bir aksiyom geliştirdi. Ona göre Bir düzlem üzerinde sonsuz uzaklıkta bir nokta bulunduğu varsayımı altında; dar açı varsayımı bir çelişkiye yol açıyordu. 1766 yılında Lambert dar açı varsayımı altında, bir üçgenin alanı azaldıkça iç açılar toplamının arttığını gösterdi. Legendre’in ispatı da tıpkı Saccheri’nin ispatı gibi, doğru çizgilerin sonsuz olduğu varsayımına dayanıyordu. Tüm bu sonuçsuz çabalar karşısında D’Alembert, paralel aksiyomuna ilişkin sorunları temel geometrinin skandal olarak adlandırdı. Gauss, 1792 yılından itibaren paralel aksiyomu üzerinde çalışmaya başladı. Farkas Bolyai ve oğlu Janos Bolyai de parallel aksiyom üzerinde çalıştı. Janos Bolyai’nin gerçekleştirdiği sıçrama, yeni bir  geometrinin olanaklı olmasıydı. Rus matematikçi Lobachevsky’de aynı konu üzerinde çalıştı ve Euklides’in paralel aksiyomunu şu şekilde değiştirdi: Bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan o çizgiye iki paralel çizilebilir. Riemann, Euklidesçi olmayan geometrilerin göreli olarak tutarlı olduğunu gösterdi: Euklidesçi olmayan geometriler, ancak Euklidesçi geometri tutarlı ise tutarlı olduğunu savundu. Klein, 1871 yılında Riemann’ın, Euklidesçi olmayan geometrisi de dâhil olmak üzere tüm Euklidesçi olmayan geometriler için birer model ortaya koydu. Klein, temel olarak üç farklı geometri olduğunu gösterdi: Bolyai, Lobachevsky geometrisinde doğru çizgiler iki sonsuz uzaklıkta noktaya sahiptir. Riemann geometrisinde böyle sonsuz uzaklıkta bir nokta bulunmamaktadır. Euklides geometrisinde ise her bir çizgi için üst üste çakışan iki sonsuz uzaklıkta nokta vardır. Beşinci aksyomun tartışmalı olması konusu Kant’ın iddia ettiği gibi, geometrinin aksiyomları evrensel zorunluluğa ve nesnel gerçekliliğe sahip ise bunların hepsinin aynı anda zorunlu ve nesnel geçerli olması gerektiği konusunu gündeme getirdi. Birbiriyle çelişik iki önerme bir ve aynı anda zorunlu ve nesnel geçerli olamazdı. Euklidesçi geometrinin görünün biçimini belirlediğini ve dolayısıyla, nesnel geçerliliğe sahip olduğunu öne sürmüşlerdir. İkinci olarak da Euklidesçi olmayan geometrilerin tutarlı olmayabileceğini yani, zaman içerisinde çelişkiler barındırdığının gösterilebileceğini savunulmuştur. Riemann’ın verdiği göreli tutarlılık ispatı, Euklidesçi geometrilerin Euklides geometrisi kadar tutarlı olduğunu ortaya koyarak ikinci eleştiriyi ortadan kaldırmıştır. Bu iki aşamada ortaya konulmuştur. Euklidesçi olmayan geometrilerin modelleri bulunmuş ve söz konusu geometrilerinde matematiksel alanda nesnel bir geçerliliği olduğu görülmüştür. İkinci aşama ise Einstein’ın genel görelilik kuramını ortaya koyması ile gerçekleşmiştir. Einstein, fizik yasalarını betimlenmesinde Euklidesçi olmayan bir geometrinin daha uygun olduğunu ifade etmiştir. Tüm bu gelişmelerin sonucunda, geometrinin aksiyomlarının, sentetik a priori yargılar olduğu düşüncesi savunulamaz bir hale gelmiştir. Hilbert ve Poincaré’nin çalışmaları sonucu; Tanımsal olmaları itibariyle de geometrinin aksiyomları, analitik olması gerektiği sonucuna ulaşılmıştır. Kant, kendi düşüncesi içerisinde Platoncu ideaların ve söz konusu bu idealara ilişkin bilgi sahibi olmamızın aracı olarak entelektüel görü nün bir eleştirisini sunmuştur. Kant’ın metafiziğin olanaklılığına ilişkin eleştirisinin merkezinde, Platonculuğun bir eleştirisi yer almaktadır. Görü ile nesneler ile dolaysız olarak temas ettiğimiz bir mekân ya da ara yüz kast edilmektedir. Söz konusu nesnelerin duyusal alanda mevcut olmamaları durumunda söz konusu görü entelektüel sıfatını almaktadır. Kant, matematiksel yargıları temellendirmeye çalışırken, kavramsal bilgiye karşıt olarak yine görüsel bilgiden yararlanmış ve matematiğin saf görüye dayandığını savunmuştur. Netice olarak, sentetik a priori yargılar, saf görüde inşa olunan nesnelerin dolaysız bilgisine dayanmaktadır. Gelişimler, geometrinin aksiyomlarının örtük tanımlar olduğunu ortaya koymaktadır. Bu da, iki bakımdan çok önemlidir: Bu yaklaşım, matematiğin mantıksal olana indirgenmesi bakımından büyük önem taşımaktadır. Aritmetiğin dilsel mantıksal olana indirgenmesi sürecinde en önemli katkı hiç şüphesiz Gottlob Frege’den gelmiştir.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925)

Frege, çalışmalarının odağını, mantığa ve bununla bağlantılı olarak felsefeye kaydırmış bir matematikçidir. Analitik felsefenin kurucusu olarak da anılır. Aritmetiği mantığa indirgeyerek sağlam bir temele oturtmak en temel amacıdır. Frege’nin, aritmetiği mantıksal olana indirgeme projesi, hem sayıların tek tek tanımlanmasını hem de sayıların sırasının yakalanmasını içermektedir yazdığı eserinde de tek tek sayıların, saf mantıktan nasıl türetilebileceğini ortaya koymaya çalışmıştır. Kendisi, sıra kavramının mantıksal sonuç kavramına indirgenebileceğini göstermeye çalışmıştır. Frege, matematiğin mantığa dayandığını ve mantığın içerisinden geliştiğini göstermeye çalışıyordu. Bunun gösterilebilmesi için mantığın o günkü halinden çok ileriye götürülmesi gerekmekteydi. Klasik mantık, mantık değişmezleri ile ilgili bir ilerleme sağlamış olsa da özellikle tüm ve bazı gibi ifadeleri içeren önermelerin ele alınışı, yeterince ayrıntılı değildi. Frege’nin geliştirdiği niceleme mantığı, tüm bu sorunları kökünden halletmiş ve modern mantığın gelişiminde yeni bir başlangıç olmuştur. Frege’nin geliştirdiği mantık içerisinde en karmaşık matematiksel ifadeler temsil edilebilmiş ispatlar kendi ifade ettiği anlamda görüsel herhangi bir unsurun sızmasına izin vermeyen bir biçimde mantıksal araçlarla ele alınabilmiştir. 20. yüzyılda, mantık alanında sağlanan ilerlemelerin tamamı, Frege’nin niceleme mantığına dayanır. Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead’ın mantıksal kavramları ele aldıkları ve biçimselleştirdikleri ünlü yapıtları Principia Mathematica, Bertrand Russell’ın belirli betimleyiciler kuramı, matematiksel mantığın ve hesap kuramının gelişiminde bir dönüm noktası olan Kurt Gödel’in tamamlanamazlık teoremleri ve Alfred Tarski’nin nesne dili ile üst dilin birbirinden ayrılmasına dayanan doğruluk kuramı Frege’nin geliştirdiği mantığa dayanmaktadır. Frege’nin daha geniş bağlamdaki amacı ise aritmetiğin mantığın bir alt dalı olduğunu göstermektir. Aritmetiğin doğru önermeleri, birer mantık teoremi olarak ve mantıksal bir dizgenin olanakları içerisinde ispatlanabilir. Frege’e göre sayısal önermelerin çözümlenmesi, kavramların mantık içerisinde nasıl ele alınabileceğini açıklanabileceğiyle ilgilidir. Kendisi bunun için fonksiyonları kullanmaktadır. Örneğin toplama fonksiyonu için 1 + 3 = 4 doğru bir önermedir. Frege, kavramları tıpkı 1 + 3 = 4 denklemdeki gibi açık önermeler cinsinden ele almakta ve onlara tamamlanmamış simgeler adını vermektedir. Açık önermeleri kapalı hale getirmenin bir yolu olan Niceleme ise Frege’in en önemli buluşturdu ve şu şekilde ifade edilebilir: Niceleme, açık önermeleri kapalı hale getirme, yani açık önermeleri doğruluk değeri taşıyan önermelere dönüştürme işlemidir. Frege, geliştirdiği niceleme mantığı  içerisinde karmaşık matematiksel önermeleri ve bu önermeleri içeren mantıksal çıkarımları temsil edebilme olanağına sahip olmuştur. Frege çalışmalarında Sonlu sayal sayılar olarak doğal sayıların, gerçel sayıları ortaya koymaktadır. Frege’nin projesinin son aşaması, Frege’nin mantıksal olarak kabul ettiği aksiyomlardan aritmetiğin yasalarının türetilmesini içermektedir. Frege söz konusu bu türetimleri yaparken, kendisinin Temel Yasa V olarak adlandırdığı bir yasaya müracaat etmiştir. Bu yasa: Bir f(x) fonksiyonunun ve bir diğer g(x) fonksiyonunun değer alanları bir ve aynıdır ancak ve ancak tüm x’ler için f(x) = g(x) ise. Şeklinde özetlenebilir. Frege, bu yasayı mantıksal ve aşikâr kabul etmiş ve bu yasadan Hume’un eşsayılılık ilkesinin ve Peano’nun aritmetiksel aksiyomlarının türetilebileceğini göstermeye çalışmıştır. Temel Yasa V’ten aritmetiğin aksiyomlarının türetilmesi bugün Frege’nin Teoremi olarak anılmaktadır. Russell, buna bir eleştiri olarak kendi kendisinin elemanı olmayan kümelerin kümesinin Frege’nin dizgesi içerisinde tanımlanabileceğini, ancak böyle bir kümenin kendisinin hem elemanı olacağının hem de elemanı olamayacağının gösterilebildiğini, dolayısıyla bir çelişkinin ortaya çıktığını gösterir. Frege bunu daha sonra düzeltir.

Frege analitik felsefenin kurucusu Kabul edilir. Analitik felsefenin temel vasıflarına bakacak olursak bunlar: Dili ve dilin mantığını merkeze almak; metafiziği elemek; felsefî söylemi muğlaklıklardan ve karışıklıklardan arındırmaktır. Frege, geliştirdiği kavram yazısı ve niceleme kuramıyla modern mantığın kurucusudur. Bu itibarla, analitik felsefe üzerindeki etkisi tartışma götürmez. Analitik felsefe, felsefî açıdan önemli konuların dilin ve dilin mantığının sınırları içerisinde çözümlenebileceğini; bu sayede anlaşılır kılınacağını ve çözülebileceğini düşünmek demektir. Bu itibarla Frege’nin sayal sayıların mahiyeti konusunda yaptığı çalışma analitik felsefe bakımından yaşamsal önemdedir.

Özetlemek gerekirse, görü ve görüye dayalı felsefe hâkim olduğu sürece gönül rahatlığıyla felsefenin merkezine dili ve dilin mantığını yerleştirmek söz konusu olamaz.

Öte yandan, felsefenin odağına metafiziksel olanı yerleştirmek isteyen hemen her düşünürün kanıtlamalarının bir yerinde, matematiksel olanın mahiyetine gönderme yaptığını da hatırlamalıyız. Platon, ideaların bilgisinden söz etmek istediğinde öncelikle, örneklerini matematiksel bilgiden ve bu bilgiyi olanaklı kılan matematiksel nesnelerden seçmektedir. Keza Kant, her ne kadar Platoncu bir metafiziğe karşı çıksa da, kendi transandantal metafiziğinin odağına matematiksel nesneleri ve onların inşa mekânı olan saf görüyü yerleştirmektedir. Oysa Frege’nin projesinin temel mesajı, sayının bu anlamlarda bir nesne olmayıp, ikinci derece yüklemler mantığında tanımlanabilen bir kavram olduğudur. Sayıya, metafiziğe de kapı açacak bir biçimde nesnellik atfetmek, dilin mantığını yanlış anlamış olmaktan kaynaklanmaktadır. Aritmetik, mantığa dayanmaktadır ve aritmetiksel önermeler, analitik önermelerdir. Bu açıdan bakıldığında, analitik felsefenin çıkış noktasını Frege’nin projesinin oluşturması anlaşılır olmaktadır. Öte yandan Frege, aritmetiğe ilişkin projesini gerçekleştirme sürecinde sadece modern mantığın kuruluşunu gerçekleştirmemiştir. Günümüz dil felsefesinin temel kavramlarını da yaptığı yan çalışmalarda oluşturmayı başarmıştır. Frege’nin amacı, kapsamlı bir anlam kuramı geliştirmek değildir. Dil felsefesine ilişkin konulara, ana projesinin ilgilendirdiği ölçüde girmiş ancak bu alanlarda yaptığı çalışmalar, dil felsefesinin gelişimi bakımından son derece önemli olmuştur. Frege’nin dil felsefesinin gelişimi bakımından belki de en önemli etkisi, Sinn ve Bedeutung arasında yaptığı ayrım olmuştur. Frege, anlam ve gönderimi, bir ifadenin işaret etme biçiminde belirleyici olan iki farklı cihet olarak sunmuştur. Frege, ilk aşamada özel adların gönderiminden söz etmiştir. Söz konusu adı taşıyan nesnenin kendisi, adın gönderimini oluşturur. Ancak daha sonra, gönderimi ad dışındaki ifadeler için de kullanmıştır.

Sonuç

Metafiziğin elendiği, bilimin mahiyeti, yöntemi ve sınırları konusundaki tartışmaların odakta yer aldığı ve hepsinden önemlisi, dilin ve anlamın, felsefenin merkezine yerleştiği analitik gelenek içerisinde bu felsefecilerin yaklaşımlarınca örneklenen bir gerilim, en başından beri var olmuştur. Frege’nin gerçeklik anlayışının merkezinde, bizim inançlarımızdan ve kanaatlerimizden bağımsız düşünceler yer almaktadır. Söz konusu bu düşünceler, dilde önermelerle ifade edilir. Söz konusu bu önermelerin mantıksal bir biçimi bulunmaktadır ve bu biçim, nesnel bir biçimde unsurlarına ayrılabilir, yani çözümlenebilir.

Buna karşılık Peirce, bizden bağımsız bir gerçekliğe vurgu yapmakla beraber, bu gerçekliği inançlarımıza ve kanaatlerimize göreli bir ideal olarak ortaya koymaktadır. Mantık ya da matematiğin esas itibariyle diğer bilimlerden bir farkı yoktur.