Ünite 3: Düğüm Noktası Yöntemi ve Çevre Akımları Yöntemi

Giriş

Bir elektrik devresinin analizinde Ohm yasası, Kirchhoff yasaları, devre çözüm yöntem ve teoremleri kullanılarak devre üzerindeki akımlar, gerilimler ve güçler hesaplanır.

Kirchhoff’un yasaları (akım yasası ve gerilim yasası) seri, paralel ve seri-paralel devrelere uygulanmaktadır. Ancak, devredeki pasif ve aktif elemanların sayısı arttıkça bu yasalar ile devrelerin çözümünü yapmak zorlaşmaktadır. Bu durumda, devre analizi yöntemleri kullanılır.

Devrelerin çözümünde kullanılan bu yöntemler: Düğüm noktası yöntemi ve çevre akımları yöntemi dir.

Düğüm noktası yöntemi, düğüm noktaları arasındaki gerilim düşümleri temel alınarak yazılan akım denklemlerinin oluşturulduğu ve çözüldüğü bir yöntemdir.

Çevre akımları yöntemi, seçilen göz akımlarının değişken olarak kullanıldığı ve her göz için yazılan gerilim denklemleri ile devrelerin çözüldüğü bir yöntemdir.

Doğru akım devrelerinin çözümünde kullanılan bu yöntemler alternatif akım devrelerine de aynı şekilde uygulanmaktadır.

Düğüm Noktası Yöntemi

Düğüm noktası yöntemindeki en önemli şey, çözümü istenen devrenin düğüm noktalarının yerlerinin ve sayısının doğru olarak belirlenmesidir. Bir elektrik devresinde ikiden fazla ucun birleştiği yere düğüm veya düğüm noktası denir.

Düğüm noktaları belirlendikten sonra Kirchhoff’un akım yasası seçilen her bir düğüme uygulanır ve akım denklemleri yazılarak çözüm gerçekleştirilir. Yazılan denklemlerde değişkenler belirlenen düğüm noktaları arasındaki gerilimlerdir. Kirchhoff’un akım yasasına göre, düğüm noktasına gelen ve düğüm noktasından giden akımlarının cebirsel toplamı sıfırdır. Bir başka deyişle düğüme gelen akımların toplamı düğümden giden akımların toplamına eşittir.

Düğüm denklemleri yazılırken, Kirchhoff’un akım yasasına göre düğüm noktasına gelen akımlar eksi (–), düğüm noktasından giden akımlar artı (+) alınır. Düğüm denklemlerinde, belirlenen düğüm noktalarındaki akımların, düğümden giden akım olarak kabul edilip yazılması denklemlerin çözümünde kolaylık sağlamaktadır. Düğüm denklemleri ile bulunan akımın değeri negatif çıkarsa bu o koldaki akımın düğümden giden değil düğüme gelen akım olduğunu göstermektedir.

Düğüm noktası yöntemi ile devrelerin analizi yapılırken uygulanması gereken işlem basamakları şunlardır:

• Devrenin çözümü için gerekli olan düğüm noktaları belirlenir.
• Düğüm noktalarına V 1 , V 2 … Vn şeklinde düğüm gerilimi isimleri verilir. Bu işlem sırasında, devrede toprak belirlenmiş ise bu düğüm noktasına göre veya aksi durumda seçilen sıfır referans gerilimine sahip düğüm noktasına göre düğüm gerilimleri ifade edilir.
• Düğüm gerilimleri ve Ohm yasası kullanılarak akım denklemleri yazılır.
• Düğüm denklemlerinin sayısı düğüm sayısının bir eksiğidir.
• Denklemler çözülerek düğüm noktalarına ait gerilim değerleri bulunur.
• Bulunan düğüm noktasının gerilim değeri kullanılarak analizi istenen devrenin devre elemanları üzerinden akan akımlar, devre elemanlarının üzerindeki gerilimler ve devrede üretilen ve harcanan güç değerleri hesaplanır.

Aralarında kol bulunan iki düğüm noktası için, bir düğüm noktasına göre giden akım diğer düğüm noktası için gelen akımdır. Şekilde V 1 düğümüne göre I 1 akımı düğümden giden akım, V 2 düğümüne göre gelen akımdır.

Düğüm Noktası Yönteminde Karşılaşılabilecek Özel Durumlar

• Belirlenen düğüm noktası (V 1 ) ile toprak arasında sadece gerilim kaynağı bulunuyorsa, düğüm noktasının gerilim değeri kaynağın gerilim değerine eşittir (V 1 = V).
  
• İki düğüm noktası arasında sadece gerilim kaynağı bulunuyorsa bu durumda düğüm denklemlerinin çözülmesi mümkün değildir. Ek bir denkleme ihtiyaç duyulur. Şekildeki V 1 ve V 2 düğüm noktaları göre yazılan ek denklemler:
  

V 1 için:

–V 1 + V + V 2 = 0 ifadesinden V 1 – V 2 = V

V 2 için,

–V 2 – V + V 1 = 0 ifadesinden V 1 – V 2 = V

elde edilir. Her iki düğüm noktasına göre yazılan denklemler aynıdır.

Çevre Akımları Yöntemi

Çevre akımları yöntemi, düğüm noktası yöntemi gibi Kirchhoff yasaları temel alınarak oluşturulmaktadır. Çevre akımları yönteminin bir devreye uygulanabilmesi için bilinmesi gereken bazı kavramlar şunlardır:

Çevre: Kapalı bir elektrik devresinde akımın geçerek devresini tamamladığı yoldur.

Çevre akımı: Çevreden dolaşan akımdır.

Kol: İki düğüm arasında kalan ve aynı akımın geçtiği devre parçasıdır.

Göz: İçerisinde kol bulunmayan çevrelerdir. Her göz bir çevre ama her çevre bir göz değildir. Eğer seçilen çevrenin içinde kol varsa bu çevre göz olamaz.

Göz akımı: Gözden dolaşan akımdır. Göz akımı çevre akımıdır ama çevre akımı göz akımı değildir.

Çevre akımları yönteminde analizi istenen devrede seçilen her göze Kirchhoff’un gerilim yasası uygulanarak denklemler oluşturulur. Denklemlerde değişken olarak her göz için seçilen göz akımları kullanılmaktadır. Kirchhoff’un gerilim yasasına göre kapalı bir elektrik devresinde, devreye uygulanan gerilim ile devre elemanlarının üzerine düşen gerilim düşümlerinin cebirsel toplamı sıfıra eşittir. Bir başka deyişle, devreye uygulanan gerilim devre elemanlarının üzerindeki gerilim düşümlerinin toplamına eşittir şeklinde de ifade edilir.

Çevre akımları yöntemi ile devrelerin analizi yapılırken aşağıdaki işlem basamakları sırasıyla uygulanmaktadır:

• Devrenin çözümü için gerekli olan gözler belirlenir.
• Her bir göz için bir göz akımı ve yönü seçilir.
• Çözümü istenen devrede eğer göz akımlarının yönleri belirtilmemiş ise keyfi olarak seçilir. Genel olarak akım yönünün saat yönünde olması tercih edilir. Göz denklemlerinin çözülmesi sonucu, seçilen göz akımı yönüne göre göz akımının değeri negatif çıkabilir. Akımın değerinin negatif çıkması seçilen göz akımı yönünün ters olduğunu göstermektedir.
• Her bir göze Kirchhoff’un gerilim yasası uygulanarak göz sayısı kadar denklem yazılır.
• Göz denklemleri yazılırken bir başlangıç noktası seçilir ve tekrar o noktaya gelindiğinde denklemin yazılımı sonlandırılır. Devrenin her elemanının üzerinden sadece bir kere geçilmelidir.
• Denklemler çözülerek göz akımları bulunur.
• Bulunan göz akımları kullanılarak analizi istenen devrenin kol akımları, devre elemanlarının gerilimleri ve devrede üretilen ve harcanan güç değerleri gibi büyüklükler kolaylıkla hesaplanabilir.

Çevre akımları yönteminde, Kirchhoff’un gerilim yasası kullanılarak gerilim denklemi yazılırken hangi göze ait denklem yazılıyorsa o gözdeki akımın yönü referans alınır ve diğer gözdeki akımın yönüne göre ortadaki koldan geçen akım yazılır.

I A ve I B göz akımlarının aynı yönde (ikisi de saat yönünde) seçildiği bir devrede göz denklemlerini yazarken R 1 direncinden geçen akım için:

I A akımın dolaştığı gözde I A göz akımının yönü referans alınarak, birinci göze ait denklemde (I A – I B ), I B akımın dolaştığı gözde I B göz akımının yönü referans alınarak, ikinci göze ait denklemde (I B – I A ) yazılır.

Eğer I A ve I B göz akımlarının yönleri ters seçilirse (I A saat yönünde, I B saat yönünün tersinde) o zaman çevre akımları yöntemine göre R 1 direncinden geçen akım için:

I A göz akımın dolaştığı birinci göz için (I A + I B ), I B göz akımının dolaştığı ikinci gözde ise (I B + I A ) yazılır.

Çevre Akımları Yönteminde Karşılaşılabilecek Özel Durumlar

• Devrenin seçilen gözünde akım kaynağı bulunuyorsa o gözden geçen akımın değeri, akım kaynağının değerine eşittir (I = I A ). Eğer seçilen göz akımının yönü akım kaynağının yönüne ters seçilirse bu durumda I = – I A yazılır. Akım kaynağı bulunan göze Kirchhoff’un gerilim yasası uygulanmaz.
  
• Akım kaynağı devrenin iki gözünün ortasında yer alıyorsa göz denklemleri yazılırken I A ve I B göz akımlarının ve I akım kaynağının yönü dikkate alınmalıdır. I akım kaynağının yönü ile I B göz akımının yönü aynı olduğundan I = I B – I A şeklinde veya I = – (I A – I B ) yazılır. Kirchhoff’un gerilim yasası ile gözlere ait gerilim denklemleri yazılırken, akım kaynağı için kaynağın üzerindeki gerilim değeri yazılır.