Ünite 6: İşlemtablolarıyla Betimsel Analitik

İşlemtablolarıyla Verinin Özetlenmesi

Merkezî eğilim ölçüleri ve değişkenlik ölçüleri verileri özetlemenin en iyi yollarından olmalarına rağmen veriyi ilk bakışta özetleyebilecek ve hakkında bir fikir verebilecek türden istatistiklere de ihtiyaç duyulur. Bu istatistikler; veri setinde kaç adet gözlem değeri olduğu, veri setinin maksimum gözlem değeri, minimum gözlem değeri gibi değerleridir

Veri setine ait kaç gözlem değerinin olduğunun sayılması işlemi, işlemtablolarında farklı biçimlerde yapılabilir:

• Sayma işlemi
• Koşullu sayma işlemi
• Boşluk sayma işlemi
• En büyük değer bulma işlemi
• En küçük değer bulma işlemi

BAĞ_DEĞ_SAY komutu, bir sayı dizisinde yer alan ve sayı içeren hücre sayısını verir. Komut yazımı BAĞ_DEĞ_SAY ( değer1 ; değer2 ; ... ) şeklindedir. BAĞ_DEĞ_SAY komutu ile birden daha çok sütundaki sayı dizilerinde yer alan ve sayı içeren hücre sayısı da bulunabilir. Sütunları belirlemek ve birbirinden ayırmak için “;” noktalı virgül sembolü kullanılır.

EĞERSAY işlevi, verilen bir koşula uygunluk gösteren aralık içindeki hücre sayısını verir. İşlev yazımı EĞERSAY ( aralık ; ölçüt ) biçimindedir.

BOŞLUKSAY işlevi, verilen aralıktaki boş hücrelerin sayısını verir. İşlev yazımı BOŞLUKSAY ( aralık ) biçimindedir.

MAK işlevi, bir veri setindeki en büyük değeri verir. Bu işlev, veri seti içerisinde yer alabilecek muhtemel mantıksal değerleri ve metni yok sayar. Veri setinde sayı yoksa, işlev sıfır değerini verir. İşlev yazımı MAK ( sayı1 ; sayı2 ; ... ) biçimindedir.

MİN işlevi, bir veri kümesindeki en küçük değeri verir. Bu işlev, veri seti içerisinde yer alabilecek muhtemel mantıksal değerleri ve metni yok sayar. Veri setinde sayı yoksa işlev sıfır değerini verir. İşlev yazımı MİN ( sayı1 ; sayı2 ; ... ) biçimindedir.

İşlemtablolarıyla Merkezî Eğilim ve Değişkenlik Ölçüleri

Verilerin derlenmesi, tablo ve grafiklerin oluşturulması ve bazı değerlerinin (minimum, maksimum, toplam veri sayısı, vb. gibi) hesaplanması, ilk aşamada verinin genel özelliklerinin anlaşılabilmesi için çok uygun olmakla birlikte, istatistiksel çıkarsamalar yapılmasına olanak tanımazlar. Bu nedenle araştırmacılar, üzerinde çalıştıkları değişkenlere ilişkin tipik bir değer verme eğiliminde olurlar. Bu tipik değer ilgilenilen değişken hakkında çıkarsamalar yapmak için kullanılır. İstatistikte bu tipik değer ortalama olarak adlandırılır.

Ortalamalar, ilgilenilen veri kümesinin merkezînin nerede olabileceği konusunda bilgi verdikleri için merkezî eğilim ölçüleri adı altında toplanmaktadırlar. Ortalama ile ilgili sırasıyla:

• Aritmetik Ortalama Hesaplama İşlemi
• Kırpılmış Ortalama Hesaplama İşlemi
• Geometrik Ortalama Hesaplama İşlemi
• Harmonik Ortalama Hesaplama İşlemi
• Medyan (Ortanca) Hesaplama İşlemi
• Mod Hesaplama İşlemi
• Varyans ve Standart Sapma Hesaplama İşlemi kavramlarından bahsedilecektir.

Duyarlı ortalamalardan olan, diğer bir deyişle ilgilenilen değişkenin tüm değerleri dikkate alınarak hesaplanan merkezî eğilim ölçülerinden aritmetik ortalama, değişkendeki tüm değerlerin toplamının, toplamı oluşturan gözlem sayısına bölünmesi yoluyla elde edilir. Bir değişkene ait aritmetik ortalama hesaplamak için işlemtablosunda kullanılacak işlev ORTALAMA ( sayı1 ; sayı2 ; …. ) biçimindedir. Belirli bir koşulu sağlayan veya ölçüte uyum sağlayan değerlerin, bir başka deyişle veri setinin kurala bağlı seçilen bir alt kümesinin, aritmetik ortalaması hesaplanmak istenirse EĞERORTALAMA (aralık ; ölçüt ; aralık_ortalaması ) işlev yazımı kullanılabilir. Belirli birden çok koşulu sağlayan veya birden çok ölçüte uyum sağlayan değerlerin, bir başka deyişle veri setinin birden çok koşula veya ölçüte bağlı olarak seçilen bir alt kümesinin, aritmetik ortalaması hesaplanmak istenirse ÇOKEĞERORTALAMA ( aralık_ ortalaması ; ölçüt_aralığı ; ölçüt ; ... ) işlev yazımı kullanılabilir.

Kırpılmış ortalama küçükten büyüğe veya büyükten küçüğe sıralanmış değişken sonuç değerlerinin, belirli bir oranda en yüksek ve en düşük değerleri atıldıktan sonra geriye kalan gözlem değerleri için aritmetik ortalama hesaplama işlemidir. Bir değişkene ait kırpılmış ortalama hesaplamak için işlemtablolarında işlev yazımı KIRPORTALAMA ( dizi ; yüzde ) biçimindedir.

Geometrik ortalama, ilgilenilen değişkenin oran, indeks, yüzde ya da artış oranı olarak ölçüldüğü durumlarda değişkenin ortalamasını hesaplamak için kullanılır. Duyarlı ortalamalar arasında yer alır. Değişken değerlerinin pozitif ve sıfırdan farklı olması gereklidir. İşlemtablosunda geometrik ortalama hesaplamak için işlev yazımı GEOORT ( sayı1 ; sayı2 ; ... ) biçimindedir.

Hesaplanmasında değişkendeki tüm değerlerinin kullanıldığı harmonik ortalama; hız, verim, üretkenlik gibi oranlara dayalı olan nicelikler için hesaplanır. Değişken değerlerinin pozitif ve sıfırdan farklı olması gereklidir. İşlemtablosunda harmonik ortalama hesaplamak için işlev yazımı HARORT ( sayı1 ; sayı2 ; ... ) biçimindedir.

Aritmetik ortalama bir değişkenin değerlerini özetlemek için kullanışlı olmasına rağmen değişkende bulunan çok büyük veya çok küçük değerlerden etkilenir. Medyan, değişkende bulunan çok büyük veya çok küçük değerlerden etkilenmeyeceğinden tercih edilmesi gereken ortalama olmalıdır. Bir değişkenin medyan değeri hesaplanırken, o değişkenin tüm değerleri hesaplamaya dahil edilmez. Medyan, değişkene ilişkin sıralanmış değerlerin tam ortasında yer alan sonuç değerini ( orta değeri ) verir. Orta değer, değişken değerleri sayısı tek ise küçükten büyüğe doğru sıralanmış değişken değerlerinin tam ortadaki değerine eşit olacaktır. Eğer çiftse ortadaki iki değerin aritmetik ortalaması olacaktır. İşlemtablolarında medyan hesaplamak için işlev yazımı ORTANCA ( sayı1 ; sayı2 ; ... ) biçimindedir.

Bir değişkende en çok tekrarlanan gözlem değerine mod denir. Hesaplanması en kolay ortalama türüdür. Hesaplanmasında değişkene ilişkin tüm gözlem değerlerinden yararlanılmadığı için duyarlı olmayan ortalamalar arasında yer alır. Işlemtablosunda mod hesaplamak için işlev yazımı ENÇOK_OLAN.ÇOK ( sayı1 ; sayı2 ; ... ) biçimindedir.

Aritmetik ortalama yardımıyla hesaplanan varyans ve standart sapma en sık kullanılan değişkenlik ölçüleridir. Terimlerin aritmetik ortalamadan olan karesel farklarının ortalaması alınarak varyans elde edilir. Varyansın karekökü alınarak standart sapma elde edilir. Bir değişkendeki gözlem değerlerinin birbirine yakınlığı standart sapma ile ifade edilir. Bir değişkene ilişkin varyansı hesaplamak için işlemtablolarındaki işlev yazımı iki farklı şekilde gerçekleşir. VAR.P ( sayı1 ; sayı2 ; ... ) işlevi ana kütleye ilişkin varyansı hesaplarken, VAR.S ( sayı1 ; sayı2 ; ... ) işlevi örnekleme ilişkin varyansı hesaplar. Bir değişkene ilişkin standart sapmayı hesaplamak için işlemtablolarındaki işlev yazımı iki farklı şekilde gerçekleşir. STDSAPMA.P ( sayı1 ; sayı2 ; ... ) işlevi ana kütleye ilişkin varyansı hesaplarken, STDSAPMA.S ( sayı1 ; sayı2 ; ... ) işlevi örnekleme ilişkin varyansı hesaplar.

İşlem Tablolarıyla Olasılık ve Bazı Olasılık Dağılımları

İstatistiksel çıkarım denilen, bir durumun ortaya çıkma veya gerçekleşme şansının hesaplanmasında ise olasılık kuramından yararlanılır.

İstatistiğin birçok alanında verilen bir durum için olası bütün seçenekleri ortaya koymak ya da en azından kaç tane farklı seçenek bulunduğunu belirtmek gerekir. Faktöriyel, permütasyon ve kombinasyon bu durumla ilgili kavramlardır. İşlemtablolarında faktöriyel hesaplamak için ÇARPINIM ( sayı ) işlev yazımı kullanılır.

Permütasyon, n sayıda elemandan oluşan bir kümenin herhangi bir alt kümesinden yapılan her farklı sıralamadır. Permütasyonda, sıralanan nesnelerin dizildiği sıraya dikkat edilmesi gerekir. İşlemtablolarında permütasyon hesaplamak için PERMÜTASYON ( sayı ; sayı_seçilen ) işlev yazımı kullanılır.

n sayıda nesne arasından r adet nesnenin diziliş sırası dikkate alınmadan kaç farklı biçimde seçilebileceğinin belirlenmesine ilişkin problemler ile karşılaşılabilir. Bu durumda yapılabilecek düzenleme sayısı kombinasyon yardımı ile bulunur. Kombinasyon ile permütasyon arasındaki fark, nesnelerin diziliş sıralaması permütasyonda önemli iken, kombinasyonda önemli olmamasıdır. İşlemtablosunda kombinasyon hesaplamak için KOMBİNASYON ( sayı ; sayı_seçilen ) işlev yazımı kullanılır.

Tüm denemelerin aynı koşullarda tekrarlandığı ve her tekrarda birbirinden bağımsız iki olaydan birinin meydana geldiği denemeler Binom dağılımı ile ilgilidir. Binom dağılımı değerleri sayma yoluyla elde edilen ve sonuçları başarılı-başarısız, var-yok, ölü-sağ, pozitif-negatif gibi ikili biçimde değer alan nitel değişkenlere ilişkin bir dağılımdır.

Binom denemesi şu özellikleri gösterir:

• Yapılacak n adet deneme daima aynı koşullarda tekrarlanmalıdır.
• Yapılacak her denemenin sonunda var olan iki sonuçtan birisi ortaya çıkmalıdır. Bu sonuçlardan birisi ilgilenilen durum, diğeri ise bunun tümleyeni olan ilgilenilmeyen durumdur.
• Tek bir denemede ilgilenilen durumun ortaya çıkma olasılığı p ve bunun tersi durumunun olasılığı q tüm denemelerde aynı kalmalıdır.
• Denemeler birbirinden bağımsız yapılmalıdır. Bir denemenin sonucu diğer bir denemenin sonucunu etkilememelidir.
• X kesikli rassal değişkeni n bağımsız denemede gözlenen istenen durum sayısını belirtir.

İşlemtablolarında Binom dağılımına ilişkin hesaplama BİNOM.DAĞ ( başarı_sayısı ; denemeler; başarı_olasılığı ; kümülatif ) işlev yazımı ile yapılabilir. Başarı_sayısı, denemelerdeki başarı sayısıdır, gereklidir. Denemeler, bağımsız deneme sayısıdır, gereklidir. Başarı_olasılığı, her denemedeki başarı olasılığıdır, gereklidir. Kümülatif, işlevin biçimini belirleyen mantıksal değerdir, gereklidir. Kümülatif DOĞRU ise BİNOM.DAĞ, en çok başarı_sayısı başarı olasılığı olan kümülatif olasılık fonksiyonu üzerinden hesaplama yapar, YANLIŞ ise, başarı_sayısı başarı olasılığı olan yukarıda verilen olasılık fonksiyonu üzerinden hesaplama yapar.

İstatistik teorisinde kullanılan temel olasılık dağılımlarından tartışmasız en önemli dağılımlardan biri olan Normal dağılım günlük hayatta en çok karşılaşılan istatistiksel dağılımdır. Normal dağılım gösteren bir değişken, şu özelliklere sahiptir:

• Dağılımın grafiği çan eğrisi şeklinde ve ana kütle aritmetik ortalaması parametresine göre simetrik bir görünümdedir.
• Eğri - ? ile + ? arasında süreklilik gösterir.
• Eğrinin altında kalan alan 1’e eşittir.
• Normal dağılım nicel değişkenlerin dağılım biçimidir
• Aritmetik ortalaması ve standart sapması belli bir normal dağılımda ana kütle aritmetik ortalaması ve ana kütle standart sapması değerleri arasında değişmez ilişkiler vardır.

İşlemtablolarında Normal dağılıma ilişkin hesaplama NORM.DAĞ ( x; ortalama; standart_ sapma; kümülatif ) işlev yazımı ile yapılabilir;

• x , dağılımı bulunmak istenen değer, gereklidir.
• Ortalama, dağılımın aritmetik ortalaması, gereklidir.
• Standart_sapma , dağılımın standart sapması, gereklidir.
• Kümülatif , işlevin biçimini belirleyen mantıksal değerdir, gereklidir.

Kümülatif DOĞRU’ysa NORM.DAĞ işlevi kümülatif dağılım işlevini verir; YANLIŞ’sa olasılık kütle işlevini verir.