Ünite 2: Tek Değişkenli Fonksiyonlar

Fonksiyon Kavramı ve Fonksiyonla İlişkili Temel Kavramları Tanımlamak

İktisadi olayları incelerken arz ve talep fonksiyonu, üretim fonksiyonu, tüketim fonksiyonu gibi birçok tanımı daha iyi anlayabilmek için fonksiyonları iyice öğrenilmesi ve daha sonrada iktisatta kullanılmasına yönelik uygulamalar yapabilmeliyiz.

Fonksiyonel bir ilişkide değişik değerler alabilen niceliklere değişken adı verilir. Bir değişkenin veri değerindeki değişme, başka bir değişkende bir değişmeye yol açıyorsa veri değişken diğer değişkenin bir fonksiyonudur ve aralarında fonksiyonel bir ilişki vardır. İktisadi anlamda girdinin çıktıya nasıl bağlı olduğunu ifade eden ilişki türüdür. Fonksiyonel ilişkiyi bir fonksiyon şeklinde ifade edebilmekle birlikte grafikle de ifade edilebilir.

Bir kümenin elemanları, başka bir kümenin elemanları ile bazı kurallar çerçevesinde ilişki içerisinde ise oluşturulan ilişkiye fonksiyon adı verilir. Yani bir kümenin her elemanı diğer kümenin tek bir elemanı ile eşleşiyorsa buna fonksiyon adı verilmektedir. Boş olmayan A ve B kümeleri verilsin. A kümesinden B kümesine tanımlanan bir f bağıntısı aşağıdaki koşulları sağlarsa f’ye A’dan B’ye fonksiyondur denir.

• f bağıntısı altında A’nın her elemanı B’nin en az bir elemanı ile eşlenmelidir.
• f bağıntısı altında A’nın her elemanı B’nin birden fazla elemanı ile eşlenmemelidir.

X kümesinin her elemanı Y kümesinin yalnızca bir elemanı ile eşleştiren f fonksiyonu

f : X › Y

şeklinde gösterilir. Bu durumda X kümesi fonksiyonun tanım kümesi Y kümesi ise değer kümesidir. Bağımsız değişken olan X’e girdi, bağımlı değişken olan Y’ye de çıktı olarak adlandırılır. İktisatta ise y değişkenine içsel değişken, x’e dışsal değişken denir.

Fonksiyonları görsel olarak görmek için grafikleri çizilebilir. Grafik çizebilmek için y=f(x) şeklindeki bir fonksiyonda (x,y) şeklinde sıralı ikililer oluşturulup yatay eksen (apsis) ve dikey eksen(ordinat)’e değerlerine göre grafik çizilir.

Fonksiyonların Matematiksel Özelliklerini Açıklamak

Fonksiyonları grafikler kullanılarak inceleyebileceğimiz gibi, matematiksel özelliklerini kullanarak iktisadi açıdan da yorumlayabiliriz. Bunun için fonksiyonların temel özelliklerini bilmemiz gerekir.

y=f(x) formundaki bir fonksiyonun x ₂ >x ₁ koşulunu sağlayan fonksiyonun argümanları olsun.

• f(x ₂ ) ? f(x ₁ ) ise fonksiyon artandır.
• f(x ₂ ) > f(x ₁ ) ise fonksiyon kesin artandır.
• f(x ₂ ) ? f(x ₁ ) ise fonksiyon azalandır.
• f(x ₂ ) < f(x ₁ ) ise fonksiyon kesin azalandır.

Bu tanımlamalardan bir fonksiyonun kesin artan veya azalan bir fonksiyon olduğunu söyleyemeyiz.

Eğer bir fonksiyon azalıyor ya da artıyorsa bu tür fonksiyonlara monoton fonksiyon denir. Eğer ki, belli bir aralıkta kesin artıyor ve başka bir aralıkta kesin azalıyorsa bu tür fonksiyonlara ise monoton olmayan fonksiyon denmektedir.

f: X›Y, x’ten y’ye giden bir fonksiyon olsun. Eğer her x ₁ ,x ₂ ? X için f(x ₁ )= f(x ₂ ) eşitliği x ₁ =x ₂ eşitliği gerektiriyorsa yani X’in iki değişik elemanı Y’nin aynı elemanına gidemiyorsa o zaman f fonksiyonuna birebir fonksiyon adı verilir.

Herhangi bir fonksiyonun tersi alınabilir. y=f(x) fonksiyonunun tersi y=f ^-1 (x) şeklinde gösterilir. Yani fonksiyonun tersi dendiğinde x’i y cinsinden ifade etmek demektir. Bunu küçük bir örnekle daha anlaşılır bir şekilde ifade edersek y=3+6x şeklindeki bir fonksiyonun tersini bulmak için x’i yalnız bırakmak lazım yani y=6x+3 eşitliğinde 3’ü y’nin olduğu tarafa işaret değiştirerek atılır,

6x=y-3 eşitliğinde x’i yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafı 6’ya böleriz,

Böylece elde edilen eşitlikte x’in yerine y ve y’nin yerine de x yazılırsa,

eşitliği elde edilir. Burada unutmamak gerekir ki,

olduğunu da unutmamak gerekir.

İktisadi analizde bir fonksiyonun minimum ya da maksimum değerlerini belirlemek çok önemlidir. Örneğin bir ürünün kârını maksimize etmek için hangi fiyattan satılması gerektiğini belirlemek gibi. Yerel maksimum ve yerel minimum kavramları bir noktanın civarındaki fonksiyon değerlerinin davranışıyla ilgili bir kavramdır. Yerel maksimum noktasındaki fonksiyon değeri o noktaya yakın noktalardaki fonksiyon değerlerinden daima büyük, yerel minimum noktası ise bu durumun tam tersidir. Yani fonksiyonun maksimum en yüksek değerine ulaştığı aralığa yerel maksimum, en düşük değerine de yerel minimum denir. Bu noktalar aynı zamanda fonksiyonun extremum noktaları olarak adlandırılır.

y=f(x) fonksiyonunun [x ₁ ,y ₁ ] kapalı aralığında ortalama değişim oranı,

formülüyle hesaplanır. Ortalama değişim oranı ile ilişkili özellikler,

• Doğrusal bir fonksiyonun ortalama değişim oranı sabittir.
• Doğrusal bir fonksiyonun ortalama değişim oranı doğrunu eğimine eşittir.
• y=ax+b şeklindeki doğrusal bir fonksiyonun ortalama değişim oranı a’ya eşittir.
• Doğrusal olmayan bir fonksiyonun ortalama değişim oranı sabit olmayıp hesaplanmak istenen aralığa göre değişkenlik gösterir.

İktisatta önemli olan konulardan biride azalan marjinal fayda konusudur. Örneğin aç olduğumuzda yediğimiz ilk kaşık yemek ile sonraki kaşıklarda farklı bir fayda olacaktır. Bu fayda artacak ama azalarak artacağından bunu doğrusal bir fonksiyonla ifade edemeyiz. Bunu ancak bükümlü bir bir grafik şeklinde olacaktır. Bu grafikte y eksenini fayda ve x eksenini de kullanılan veya tüketilen ürünü ifade edecek şekilde elde edilen grafikle ifade edilen ve matematikte “bükeylik” olarak ifade edilen kavramdır. Bu bükeylik yukarı doğru ise konveks, aşağı doğru ise konkav fonksiyon olarak adlandırılır.

Doğrusal Fonksiyonları Tanımlamak ve İktisatta kullanılmasına Uyarlamak

İktisatta sık karşılaştığımız fonksiyon çeşidi olan doğrusal fonksiyon y=ax+b biçimindeki fonksiyondur. Doğrusal denmesinin nedeni ise Kartezyen düzlemde düz bir grafiğe sahip olmasıdır. Fonksiyondaki a değeri x’teki bir birimlik değişimin fonksiyona etkisini ölçmekle birlikte fonksiyonun eğimini ifade ettiğini daha önce belirtmiştik. a değeri pozitifse grafik sağ-yukarı’ya doğru iken negatif olduğunda ise sağ-aşağı doğru çizilir. a değeri arttıkça eğim artacağından grafik dikleşecektir. Eğer a=0 ise o zaman sabit fonksiyon olmuş olup grafik x eksenine paralel olmuş olur. Bu üç durumla ilgili görsel olarak incelemek isterseniz (S: 42, Şekil 2.5)’e bakabilirsiniz.

Doğrusal fonksiyonun eğimi: tek değişkenli doğrusal fonksiyonun eğimi fonksiyonun argümanındaki bir birimlik değişim grafikte oluşan değişimi ifade eder. y=ax+b biçimindeki bir fonksiyonun eğimi

formülüyle bulunur.

Nokta-Eğim formülü : Üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları ve eğimi bilinen bir doğrunun fonksiyonel biçimi rahatlıkla belirlenebilir. (x ₁ ,y ₁ ) noktalarından geçen ve eğimi a olan doğrunun denklemi

y - y ₁ = a(x - x ₁ )

formülü ile hesaplanır.

Nokta-Nokta formülü : Doğru üzerinde bulunan iki farklı noktası verilen doğru denklemini elde etmek için sırasıyla uygulanması gereken adımlar

• Her iki nokta kullanılarak doğrunun eğimi bulunur.
• Herhangi iki noktadan biri kullanılarak doğru denklemi elde edilir.

Doğrusal fonksiyonları iktisadi uygulamalarda uygulamak için ilk önce tüketim fonksiyonundan başlarsak; Keynesyen makroekonomik teoride, tüketim harcamaları(C) ve harcanabilir gelir(Y _d ) ile ifade edilir. tüketim fonksiyonu doğrusal varsayılırsa

C = a + bY _d

şeklinde ifade edilir. Tüketim fonksiyonunu analiz edersek

• Eğimi ifade eden b, iktisatta marjinal tüketim eğilimi olarak adlandırılır. Harcanabilir gelirdeki bir birimlik değişimin tüketimi kaç birim etkileyeceğini belirler.
• Marjinal tüketim eğilim 0 ile 1 arasında değer alır. Bunun anlamı harcanabilir gelir arttığında tüketiminde artacağı ancak tüketimdeki artışın gelir kadar olmayacağıdır.
• Fonksiyonun kesişme noktası olan a ise iktisatta otonom harcamalar olarak bilinir. Bu da gelirin olmaması durumunda zaruri olan harcamaları temsil eder.

Arz ve talep fonksiyonları : Bir malın talep edilen miktarı piyasa fiyatına bağlıdır. Bu ilişki Q=f(P) şeklinde gösterilirken Q, miktarı ve P’de fiyatı temsil eder. Arz ve talep fonksiyonları rahatlıkla çizilebilir. Bu fonksiyonlar çizilirken arz fonksiyonunda fiyat ile miktar arasında doğru bir ilişki olurken, talep fonksiyonunda fiyat ile miktar arasında ters bir ilişki vardır. Bu durumu görsel olarak inceleyebilmek için (S:44, Şekil 2.6)’yı inceleyebilirsiniz. Bu durumu daha basit bir şekilde ifade etmek istersek, fiyat arttıkça o mala olan talep azalırken satıcılarda fiyatı artan bir maldan daha fazla kar elde edebilmek için o malı daha fazla satmak isteyeceklerdir.

Piyasa dengesi : Arz ve talebin eşit oldukları yerde piyasa dengesi sağlanmış olur. Bu durum arz ve talep miktarlarının birbirine eşit oldukları yani arz ve talep fonksiyonlarının kesiştikleri noktada piyasa dengeye gelmiş olur. Piyasa dengesinin sağlandığı bu noktadaki fiyatı iktisatçılar (P ^e ) ile gösterirken ürün miktarını ise (Q ^e ) ile gösterilir. Piyasa dengesindeki fiyatı ve miktarı bulabilmek için arz ve talep fonksiyonlarını birbirine eşitleyerek piyasa dengesindeki fiyatı ve miktarı bulmuş oluruz.

Esneklik: Firmalar için en önemli durum olan fiyat değiştiğindeki toplam hasılanın bundan nasıl etkileneceğini bilebilmektir. Negatif eğimli olan talep fonksiyonunda fiyat düştüğü zaman talep edilen miktar artar demek kolay olsa da toplam hasılanın bu durumdan nasıl etkileneceğini talep ve miktardaki yüzde değişimlere bağlıdır. İktisatta bu duruma esneklik olarak adlandırılıp

Formülü ile hesaplanır. Formülün başındaki “-“ işareti talep fonksiyonunun negatif eğimli olduğun esnekliği hep negatif olarak ölçeceğinden esnekliği pozitif olarak ölçmek için konulmuştur. Yani talebin fiyat esnekliği, fiyattaki değişimlerde talebin duyarlılığını ölçer.

• ? < 1 ise talep esnek değil
• ? = 1 ise birim esnek
• ? > 1 ise talep esnek

olmuş olur. Talebin fiyat esnekliğini hesaplamak için nokta esnekliği ve yay esnekliği yaklaşımları da kullanılır.

Karesel Fonksiyonları Çözümleyip İktisadi Uygulamalara Uyarlamak

İktisatta kullanılan tüm fonksiyonlar doğrusal olmadığı, arz ve talep fonksiyonlarını doğrusal alınması o fonksiyonları matematiksel olarak analizi kolaylaştırmak için tercih edilmesi bizi gerçeklikten uzaklaştırmamalıdır. Arz ve talep fonksiyonlarının eğrisel olabilir ve bu fonksiyonları belirlemek daha karmaşık fonksiyonel ilişkilere ihtiyaç duymamızı gerektirecektir. Bu tür doğrusal olmayan fonksiyonların aralarındaki ilişkiyi ifade etmek için doğrusal olmayan fonksiyonların en basit hali olan karesel fonksiyonlar kullanılır. Karesel fonksiyonlar a,b,c sabit sayılar ve a?0 olmak üzere, f(x) fonksiyonu ancak ve ancak f(x)=ax ² +bx+c biçiminde yazılabiliyorsa f fonksiyonu karesel fonksiyondur. Karesel fonksiyonun çözümle adımları

1. ilk önce b ² -4ac değeri bulunur. Karesel fonksiyonunun çözümü bu değerin aldığı değere göre değişkenlik gösterecektir.
2. b ² - 4ac < 0 ise çözüm yoktur çünkü negatif bir değeri karekökü bulunamaz.
3. b ² - 4ac = 0 ise tek çözüm vardır.
4. b ² - 4ac > 0 ise iki kök vardır. ve ile bulunur.

Karesel fonksiyonların grafiği parabol olarak adlandırılır. İktisatta parabol yerine “U” grafiği veya U şekli diye gösterilir. Bu U grafiğini f fonksiyonunun değerlerine bakarak grafiğini adım adım oluşturalım

• Öncelikle grafiğin aşağı yönlü mü, yukarı yönlü mü genişlediği a değerinin pozitif ve negatif olmasına bağlıdır. a>0 ise yukarı, a<0 ise U grafiğimiz aşağı yönlü açılmaktadır.
• Her parabol grafiği simetri ekseni denilen dikey eksene göre simetriktir. Simetri ekseninin parabolü kestiği nokta grafiğin tepe noktası olarak adlandırılır. Bu tepe noktası a>0 ise minimum, a<0 ise maksimum değere sahiptir. Tepe noktası değeri ve bu noktasını y eksenine karşılık gelen değeri ise değeridir.
• Fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar ise denklemin kök değerine karşılık gelen noktalardır.

Karesel fonksiyonların iktisadi uygulamaları: Arz ve talep fonksiyonları doğrusal fonksiyonlarla olabildiği gibi, karesel fonksiyonlarla da gösterilebileceğini söylemiştik. Bir örnekle gösterirsek P=Q _D ² -5QD+52 şeklinde talep fonksiyonu olabilir. Karesel formdaki arz ve talep fonksiyonlarını çözümlemek istenirse neler yapılmalı

1. Q _S =Q _D denkliğinden bu iki fonksiyonun bir birlerini kestikleri noktalar belirlenir.
2. Arz ve talep fonksiyonları kendi içinde kökleri bulunur.
3. Bulunan değerler ışığında (S:50, Şekil 2.10)’da olduğu gibi grafik elde edilir.

Hasıla, maliyet ve kâr fonksiyonları: Bir firmanın en temel amacı kârını maksimize etmeye çalışmak olduğu bilinen bir gerçektir. Kâr yunan alfabesinde “ ? ” ile gösterilir ve tanım olarak toplam hasıla(TR) ile toplam maliyet(TC) arasındaki farka eşittir. Yani

? = TR - TC

formülüyle kâr bulunur. Toplam hasıla bir firmanın sattığı ürünlerden elde kazanç, toplam maliyet ise firmanın ürünü üretmek için harcadığı paradır. Q miktarınca bir ürünün toplam hasılası TR=PQ kadar olur. Toplam hasılayı bir örnekle nasıl karesel hale getirildiğini gösterirsek, doğrusal bir talep fonksiyonuz olsun P=aQ+b (a<0,b>0) buradan toplam hasıla fonksiyonunu rahatla belirleyebiliriz.

TR = PQ

= (aQ + b)Q

= aQ ² + bQ

şeklinde karesel fonksiyon elde edilir. Toplam hasıla fonksiyonunda a<0 olduğu için ters U şeklinde bir grafik olacağı ve c=0 olduğundan fonksiyon düşey eksende her zaman orjini keser. Yani hiç mal satılmazsa(Q=0) hiç gelir elde edilemez. Toplam hasıla grafiği (S:51,Şekil 2.11)’den incelebilir.

Toplam maliyet fonksiyonunu(TC) ise üretim maliyeti ve üretilen mal(Q)’ın bir fonksiyonudur. Üretim miktarı arttığında, maliyetler de artacağından TC fonksiyonu artan fonksiyondur. Ancak kısa dönemde maliyetlerin bir kısmı sabit ve FC ile ifade edilir. Sabit maliyetler, toprak, makine teçhizatı, bina gibi kısa sürede değiştirilmesi zor olan maliyetlerdir. Uzun dönemde ise tüm maliyetler değişkendir. Değişken maliyetler ise VC ile ifade edilip üretim arttığından hammadde, enerji gibi kalemleri içerir. Toplam değişken maliyet(TVC)

TVC = CV Q

şeklinde değişken maliyeti çıktının birim maliyetini ifade ederse TVC bu formülle ifade edilir. Sabit ve değişken maliyetlerin toplamından oluşan toplam maliyet ise

TC = FC + (VC) Q

formülüyle bulunur. Formül incelendiğinde eğimi VC olan doğrusal bir fonksiyon elde edilmiş olur. Toplam maliyet eğrisinin ve toplam maliyet doğrusunun kesiştiği noktalarda maliyet ve hasılanın birbirine eşit olacağından başa baş noktalarıdır.