Ünite 3: Sağlık Kurumlarında Kaynak Tahsisi, Üretim ve Kapasite Planlamada Doğrusal Programlama ile Modelleme

Giriş

Bir toplumda azami düzeyde sağlık hizmeti sunacak şekilde, sağlık kurumlarının yerlerinin nasıl belirleneceği, hastanın bulunduğu yerden hastaneye gidilecek mesafeyi belirli bir düzeyin altında tutacak şekilde kaç tane ambulans merkezi belirlenmesi gerektiği, bir kanser hastasının tedavi süresini asgariye çekecek şekilde radyasyon tedavisinin nasıl planlanacağı, bir acil serviste, en kötü durumda dahi yeterli hizmet düzeyini sağlayacak şekilde hemşire planlamasının nasıl yapılacağı, bir diyetisyen hastaların gerekli vitamin ve mineralleri alması için hangi besinlerden ne kadar tüketmesi gerektiğini nasıl planlaması gerektiği, bu ve benzeri sorular, kıt kaynakları gözönünde bulundurarak, sağlık sektörüne aktarılan kararlarda maliyet minimizasyonu ya da fayda maksimizasyonu elde etmenin ne kadar hayati olduğunu göstermektedir.

Doğrusal programlama , kıt kaynakların ilgilenilen amacı optimize edecek şekilde dağıtılması olarak tanımlanır.

Sağlık sektörüne yönelik problemlerin çözümünde destek sağlayacak güçlü bir planlama aracıdır.

Sağlık sektöründe doğrusal planlama yaklaşımının uygulama alanlarını aşağıdaki gibi sıralayabiliriz:

• Hedef kitleyi kapsayacak hastane yer seçimi,
• Hastalara etkili hizmet edecek şekilde acil servis hizmetlerinin tasarımı,
• Sağlık hizmetleri kapasite planlaması,
• Poliklinik hizmetleri randevu planlaması,
• Ameliyathane ve yatakların hastalara/kliniklere dağıtılması,
• Sağlık personeli vardiya planlaması,
• Tedarik kararları optimizasyonu,
• Teşhis ve tedavi süreçlerinde karar destek sistemleri kurulumu,
• Koruyucu sağlık hizmetleri ile ilgili kararların optimizasyonu.

Sağlık sektörü planlama problemlerinin büyük bir kısmı elde yeterli veri varsa doğrusal programlama formunda modellenebilir ya da varsayımlarla basitleştirilerek doğrusal programlama formunda modellenecek hale getirilebilir.

Son yirmi yıl içinde bilişim teknolojisindeki gelişmelere paralel olarak doğrusal programlama da çok yaygın kullanılmaya başlanmıştır. Birçok sağlık kuruluşu stratejik kararlarından günlük faaliyetlerle ilgili kararlarına kadar geniş bir yelpazede doğrusal programlamayı kullanmaktadır.

Doğrusal Programlama Modellerinin Formülasyonu

Doğrusal programlama yaklaşımı , doğrusal bir yapıdaki kısıtları ihlal etmeden, doğrusal formdaki amaç fonksiyonunu en iyilemeyi (maksimize ya da minimize etmeyi) sağlayan, bu en iyileme sonucunda karar değişkenlerinin aldıkları değerleri bulan bir yaklaşımdır.

Her doğrusal programlama modelinin üç temel bileşeni vardır:

• Karar değişkenleri,
• Amaç fonksiyonu ve
• Kısıtlar.

Doğrusal Programlama Modellerinin Grafik Çözüm Yöntemi ile Çözülmesi

Grafik çözüm yönteminin kullanılabileceği doğrusal programlama modelleri sadece iki karar değişkeni içerebilir. Bu yönü ile grafik çözüm yöntemi, genellikle çok sayıda karar değişkeni içeren gerçek hayat problemlerinin çözümünde kullanılamamaktadır. Ancak doğrusal programlama modellerinin birçok bileşeni ve özelliği iki boyutlu grafikler üzerinde çok daha kolay görülebilmekte ve anlaşılabilmektedir. İkiden fazla sayıda değişkene sahip olan modellerin çözümünde ise MS Excel içerisindeki Çözücü eklentisi kullanılabilir.

Karar değişkenlerinin aldığı değerlerin tüm kısıtları eş zamanlı olarak sağladığı bölge, uygun bölge olarak adlandırılır. Uygun bölge içinde yer alan tüm x1, x2 ikilileri uygun çözüm olarak adlandırılır.

Tüm kısıtları sağlayan karar değişkenlerinin en iyi değeri ise optimal çözüm dür. Optimal çözümde yer alan karar değişkenleri temel değişkenler, optimal çözümde yer almayan karar değişkenleri de temel olmayan değişkenler olarak adlandırılır.

Optimal çözümün oluşmasında etkili olan kısıtlar bağlayıcı kısıtlar dır. Uygun bölgenin sınırları üstündeki köşe noktaları uç noktalar olarak adlandırılır. Eğer bir kısıt uygun bölgenin oluşumunda yer almıyorsa atıl (gereksiz) kısıt olarak adlandırılır.

Grafik çözüm yönteminde minimizasyon modellerinin maksimizasyon modellerinden tek farkı, optimal çözüm noktasını elde etmek için amaç fonksiyonunun kuzeydoğu yönünde değil, güneybatı yönünde kaydırılmasıdır.

Maksimizasyon problemlerinde kaydırıldıkça ortaya çıkan amaç fonksiyonu katmanları eşkazanç doğruları olarak adrandırılır. Minimizasyon problemlerinde ise, bu doğru eşmaliyet doğrusu olarak adlandırılır.

Minimizasyon problemlerinde amaç tüm kısıtları sağlayacak şekilde (uygun bölge üstünde) amaç fonksiyonunun en düşük değeri aldığı noktayı bulmaktır.

Doğrusal Programlama Modellerinin Hesap Tablosu Üzerinde Modellenmesi ve Çözülmesi

Günümüzde sağlık yöneticileri büyük ölçekli modelleri çözerek karar vermek durumundadır. Binlerce hasta işlemini dikkate alarak, optimal poliklinik hizmetleri planlaması yapan modeller, yüzlerce semtin ikili kombinasyonların taşıma rotası değişkenleri olarak alıp optimal ambulans taşıma planı yapan modeller, üretilen onlarca ürünün her ay üretim miktarlarını değişken olarak alıp, bir yıllık dinamik optimal üretim planları yapan modeller, büyük ölçekli modellere örnek olarak verilebilir. Bu tipteki büyük ölçekli modeller, günümüzde iş dünyası profesyonelleri tarafından kolayca kurulup, güçlü yazılımlarla çözülebilir hale gelmiştir. Bu yapı, yönetsel karar verme sürecinde önemli bir değişimin başlangıcını teşkil etmektedir.

Piyasada, doğrusal programlama modellerini çözmek için çeşitli uzmanlık düzeylerinde yazılımlar bulunmaktadır. Ancak elimizde hiçbir matematiksel programlama yazılımı olmasa bile, MS Excel’in içerisinde gelen “Çözücü” eklentisi kullanılarak da modeller çözülebilir.

Optimal çözümde yer alan karar değişkenler, temel değişkenler ; optimal çözümde yer almayan karar değişkenler de temel olmayan değişkenler olarak adlandırılır.

Duyarlılık Analizi

Gerçek hayat koşullarında modellerin çözümünde değerlerini veri olarak kabul ettiğimiz parametrelerde değişiklikler, planlardan sapmalar olabilecektir. İşte bu noktada yönetici, planlarda sapma olduğunda modelin nasıl davranacağını bilmek isteyecektir. Daha açık bir ifadeyle, bir üretim planlaması örneğinde, üreteceği bir ürünün 100 birim lira olarak tahmin edip, modele parametre olarak tanıttığı kârının 80 birim liraya düştüğünde ya da 125 birim liraya çıktığında optimal çözümün nasıl etkileneceğini bilmek isteyecektir. Ya da işçilerinden ikisinin hastalanması sonucu haftalık işgücü kapasitesi 400 saatten 320 saate düştüğünde, oluşturduğu işgücü kısıtındaki değişmenin modelin optimum çözümüne nasıl yansıyacağını bilmek isteyecektir.

Bir hastane yatırım planlama örneğinde, toplam yatırım yapacağı miktar 100.000 liradan 200.000 liraya çıkarsa, ya da aylık kredi faizi %4’den %2’ye düşerse optimal yatırım kararlarının değişip değişmeyeceğini, değişirse ne kadar değişeceğini bilmek isteyecektir.

Örnek vermek gerekirse ürettiği iki ürün olan ve bunların karları sırasıyla 50 ve 60 birim lira olan bir işletme, kısıtlarını da modele dahil edip bir optimal üretim planı bulabilir. Varsayalım bu planın sonunda ilk üründen 100, ikinci üründen de 150 adet haftalık üretmesi gerektiğini bulmuş olsun. Eğer çeşitli pazarlama çalışmalarının sonunda ilk ürünün kârı 50 den 55 birim liraya çıkarsa üretim kombinasyonlarının ne olacağını düşünürsünüz?

Öncelikle aklımıza gelen, bu ürünün birim kârı arttığı için optimal üretim planında önceki üretim miktarına göre daha fazla üretim yapılması sonucunun oluşacağı olabilir. Ancak bu bölüm içerisinde göreceğimiz gibi, kârı artsa bile aynı üründen halâ aynı miktarda üretilmesi optimal çözüm olabilir. Varsayalım çözüm değişmemiş olsun. İlk ürünün kârı 60’a çıkarsa ne olacaktır? 70’e çıkarsa ne olacaktır? Elbetteki bir noktadan sonra ilk ürünün kârındaki artış miktarı o üründen artık daha fazla üretmenin daha kârlı olacağı bir düzeye gelecektir. İşte cevabını bulmaya çalışacağımız esas sorun da bu olacaktır. Acaba model parametreleri ne kadar değişirse optimal çözümün yapısı değişir?

Bütün bu soruların cevabını bulmak için geliştirilmiş olan yaklaşım, doğrusal programlama terminolojisinde duyarlılık analizi ya da optimallik sonrası analizi olarak adlandırılır.

Bir doğrusal programlama modelinin üç ayrı tip parametresinin duyarlılık analizi (değişmelere tepkisi) yapılabilir. Bunlar;

• Amaç fonksiyonu katsayılarının değişmesi,
• Kısıtların sağ taraf sabitlerinin değişmesi ve
• Kısıtların katsayılarının (teknoloji katsayıları) değişmesinin duyarlılık analizidir.

Bunlardan ilk ikisi özellikle değişme ihtimali daha yüksek olan parameterlerdir.

İndirgenmiş maliyet , çözümde yer almayan bir değişkenin, çözümde pozitif bir değer alması için, o değişkenin amaç fonksiyonu katsayısında yapılması gereken geriletme olarak tanımlanabilir.

Bir kısıtın gölge fiyat ı, diğer bütün parametreler sabit kalmak şartıyla, o kısıtın sağ taraf değeri değiştikçe, amaç fonksiyonunda meydan gelen değişme olarak tanımlanır. Bu arada tüm kaynakları kullanılmayan kısıtların gölge fiyatlarının 0 (sıfır) olduğunu tekrar hatırlatmakta fayda var.

Tamsayılı Doğrusal Programlama

Gerçek hayat problemlerinde karar değişkenlerinin tamsayı değerler alması gerekliliği kimi zaman kaçınılmaz olmaktadır. Bu amaçla doğrusal programlamanın özel bir durumu geliştirilmiş olup, bu yaklaşım tamsayılı doğrusal programlama (TDP) olarak adlandırılmaktadır.

Haftanın yedi günü 24 saat çalışılan sağlık sektörü işgücü planlamasının kritik öneme sahip ve zor olduğu sektörlerin başında gelmektedir. Her gün yeterli sayıda eleman bulundurmak, bu esnada personelin tatil günleri ve maliyetlerini de gözardı etmemek bu işin temel zorluklarını oluşturmaktadır. Tamsayılı doğrusal programlama modellerini personel planlaması için kullanabiliriz.