Ünite 7: Pajek ile Ağların Çizimi ve Analizi

Giriş

Pajek (Slovakçada Pahyek okunur) ağ analizi ve görselleştirmesi için Vladamir Batagelj ve Andrej Mrvar tarafından yazılmış ücretsiz bir programdır.

Pajek açılış ekranı Sayfa 109’daki Şekil 7.1’de verilmiştir.

Ağların Oluşturulması ve Çizimi

Ağları Pajek’in içinde oluşturabileceğiniz gibi, Pajek dışında kelime işlemcilerle (Notepad gibi) dosya oluşturabilir veya başka ilişkisel veri tabanlarından Pajek’e dosya aktarabilirsiniz.

Şimdi Pajek ile Pajek’in içinde yeni bir ağ oluşturalım. Sayfa 110’daki Şekil 7.2’de de görüldüğü gibi, önce Pajek programının ilk satırındaki ilk “Network” (Ağ) sözcüğünü seçeriz. Daha sonra bu sözcüğün altında açılan menüden “Create Random Network” (Rassal ağ oluştur) ve onun sağındaki menüden de “Total Number of Archs”ı (Toplam bağlantı sayısı) tıklanır.

Sayfa 110’daki Şekil 7.3’te karşımıza çıkan diyalog kutusunda “Number of Vertices”ı (Düğüm sayısı) 50’ye değiştirelim ve “Number of Arcs” (Bağlantı sayısı) ise şimdilik 0 olsun (s:111, Şekil 7.4).

Sayfa 111’deki Şekil 7.4’teki diyalog kutusunun içindeki OK tıklandıktan sonra karşımıza çıkan “Report” adlı ekranı kapatıp Sayfa 111’deki Şekil 7.5’teki ekrana erişiriz.

Sayfa 111’deki Şekil 7.5’teki ekran bize rassal bir ağ olan 50 düğümlü, 0 bağlantılı Erdös-Renyi ağını oluşturduğumuzu göstermektedir.

Ardından ekranın ilk sırasından yararlanarak:

Partition › Create Constant Partition komutlarını seçelim (s:112, Şekil 7.6) ve karşımıza çıkan Sayfa 112’deki Şekil 7.7’de görülen diyalog kutusundaki OK’yi tıklayalım.

Bütün bunları yaptığımızda, Sayfa 113’deki Şekil 7.8’de görülen ekran bize 0 bağlantılı 50 düğümlü sabit bir partition oluşturduğumuzu, ekranının yatay ikinci bölümü olan “Partitions” bölümünde gösterecektir.

Şimdi artık sıra, oluşturduğumuz bu ağın düğüm ve bağlantıları ile ilgili özellikleri programa girmeye geldi. Sayfa 113’deki Şekil 7.9’da görünen:

File › Partition › View/Edit yolu ile Sayfa 114’deki Şekil 7.10’da görülen tabloya ulaşırız. Bu tabloda düğümlerin değerlerini ve etiketlerini istediğimiz gibi değiştirebiliriz. Biz düğümlerin etiketlerini aynı bırakarak, değerlerini biraz da rasgele bir şekilde değiştireceğiz. Değiştirdiğimiz düğüm değerleri Sayfa 114’deki Şekil 7.11’de görülmektedir.

Bu kez de:

File › Network › View/Edit yolu ile (s:115, Şekil 7.12) ağımızdaki bağlantıları oluşturalım. Bu komutları uyguladığımızda Sayfa 115’deki Şekil 7.13’te görünen diyalog kutusu ile karşılaşırız. Bu diyalog kutusunu OK’lediğimizde, Sayfa 116’daki Şekil 7.14’ün ortasındaki “Newline” ile karşılaşırız. Onun üstünü iki kez tıkladığımızda Sayfa 116’daki Şekil 7.15’te görünen diyalog kutusu ile karşılaşırız.

Geriye dönersek, Sayfa 115’deki Şekil 7.13’te görünen diyalog kutusunda, “Select vertex number or vertex label” (Düğüm numarasını veya etiketini seç) hizasında 1 olduğunu görebiliriz. Bunun anlamı, bağlantının 1 düğümünde başlayacağıdır. Sayfa 116’daki Şekil 7.15’te görünen diyalog kutusunda ise 1 düğümünden çıkacak bağlantının bağlanacağı düğümü 2 olarak yazdık ve Şekil Sayfa 117’deki 7.16’da bu bağlantının oluştuğunu gördük.

Benzer şekilde başka bağlantılar da oluşturduktan sonra:

Draw › Network yolu ile Sayfa 117’deki Şekil 7.17’deki ağa ulaşılır.

Konuyla ilgili daha iyi bilgi sahibi olabilmek için Sayfa 119’da verilen Örnek 7.2 incelenebilir.

Merkezilik Ölçülerinin Hesaplanması

Önce Pajek ile 20 düğümlü ve 42 bağlantılı ölçekten bağımsız bir ağ çizmeyi isteyelim (s:123, Şekil 7.30). Daha sonra Sayfa 124’deki Şekil 7.31’de görünen komutlarla;

Network › Create Partition › Degree › All sırasını izlediğimizde sonuçta Sayfa 124’deki Şekil 7.32’de görünen sonuçları elde ederiz.

Sayfa 124’deki Şekil 7.32’de çizdiğimiz ağın ortalama derecesinin 1,7 olduğu görülür. Sayfa 125’deki Şekil 7.33’te görünen ve yatay olarak ikinci bölüm olan “Partitions” bölümündeki “All Degree Partition of N1(20) iki kez tıklanırsa Sayfa 125’deki Şekil 7.34’te görünen tüm düğümlerin toplam dereceleri elde edilir. Dikkatli bir öğrenci Sayfa 125’deki Şekil 7.34’te elde edilen sonuçlarla önceden çizilen Sayfa 123’deki Şekil 7.30’da görünen bağlantılar karşılaştırmalıdır.

Sayfa 125’deki Şekil 7.34’teki düğümlerin toplam derece merkezîliklerine bir başka şekilde daha ulaşabiliriz. Sayfa 126’daki Şekil 7.35’teki yolu izleyip eğer Sayfa 126’daki Şekil 7.36’da görünen ve yatay üçüncü bölüm olan “Vectors” bölümündeki “All Degree of N1(20)” iki kez tıklanırsa Sayfa 127’deki Şekil 7.37’de görünen toplam dereceler yine elde edilir.

Şimdi ise aynı ölçekten bağımsız ağın 20 düğümü için yakınlık ölçülerini hesaplayalım. Sayfa 127’de bulunan Şekil 7.38’deki yol izlenerek Sayfa 128’deki Şekil 7.39’a ulaşılır.

Sayfa 128’deki Şekil 7.39’un üçüncü yatay bölümündeki “2 All Closeness centrality of N1(20)” iki kez tıklandığında Sayfa 128’deki Şekil 7.40’ta görünen yakınlık ölçüleri elde edilir. Eğer Sayfa 127’deki Şekil 7.38’de:

Network › Create vector › Centrality › Betweenness › Input dizisi izlenmiş olsaydı o zaman da aynı ağ için düğümlerin girdi bağlantıları için merkezî arasındalık ölçüsü elde edilecekti.

Kümelenme Katsayısının Hesaplanması

Şimdi yapacağımız uygulama ile Pajek programı aracılığı ile Sayfa 129’daki Şekil 7.41’de görünen komutlarla bir yönlü rassal ağ oluşturalım ve bu ağda kümelenme katsayılarını hesaplayalım.

Sayfa 129’daki Şekil 7.42’deki diyalog kutusunda görüldüğü gibi oluşturulmasını istediğimiz rassal ağ 30 düğümlü ve düğümlerin ortalama derecesinin 2 olmasını istiyoruz. Sayfa 129’daki Şekil 7.42’de görünen diyalog kutusunda bulunan OK tıklandığında Sayfa 130’daki Şekil 7.43 elde edilir.

Sayfa 130’daki Şekil 7.43’te Draw › Network komutu uygulanırsa, Sayfa 130’daki Şekil 7.44’te görünen rassal ağ elde edilir.

Daha sonra, Sayfa 131’deki Şekil 7.45’te görünen komutları uygulayarak Sayfa 131’deki Şekil 7.46’da görünen sonuçlar elde edilir. Sayfa 131’deki Şekil 7.45’te neden CC1 seçildi sorusunun yanıtı, programda iki farklı kümelenme katsayısının uygulamasının olması ile ilgilidir. Program bize istenildiğimiz zaman CC2’yi de hesaplama olanağını sağlıyor.

Sayfa 131’deki Şekil 7.46’da görünen sonuçlara göre Watts-Strogatz kümelenme katsayısı 0,09317311 ve ağın kümelenme katsayısı ise 0,08848315 olarak hesaplanır.

Tek tek düğümlerin kümelenme katsayılarını hesaplamak istersek, bu kez de Sayfa 132’deki Şekil 7.47’nin yatay üçüncü bölümü olan “Vectors” bölümündeki “5.Clustering Coefficients CC1in N1(30)”ın üstünü iki kez tıklamamız gerekir. Bunu gerçekleştirdiğimiz zaman, Sayfa 132’deki Şekil 7.48’degörünen 30 düğüme ilişkin kümelenme katsayılarını elde ederiz.

Topluluk Arama

Çizdiğimiz aynı ağdaki toplulukları aramak için ise Sayfa 133’deki Şekil 7.49’da görünen yolu izleriz. Bu komutlarla elde edilen Sayfa 133’deki Şekil 7.50’de görünen diyalog kutusunun OK tuşuna bastıktan sonra eğer Sayfa 134’deki Şekil 7.51’de görünen ve ikinci yatay bölüm olan “Partitions” bölümündeki “1.Louvain..” şeklindeki bölüm iki kez tıklanırsa Sayfa 134’deki Şekil 7.52 elde edilir.

Sayfa 134’deki Şekil 7.52 bize bu ağda 7 topluluk olduğunu anlatmaktadır. Örneğin, v1 ve v13 bir numaralı topluluk; v2, v3, v8, v15 ve v17 ise 2 nolu topluluğun üyesidir. Hangi düğümlerin hangi toplulukta yer aldığını diğer topluluklar için incelemelisiniz.

Layout › Energy › Kamada-Kawai › Seperate Components yolu ile çizilen Sayfa 135’deki Şekil 7.53 ise bize toplulukları daha net bir şekilde göstermektedir.