SORU: Açık önermeleri kapalı hale getirmenin yolları nelerdir?
CEVAP: Açık önermeleri kapalı hale getirmenin bir yolu, görüldüğü gibi, bir nesneyi (daha doğrusu nesneye işaret eden bir terimi), söz konusu değişkenin yerine koymaktır. Ancak tek yol bu değildir. Frege’nin devrim niteliğindeki buluşu şu şekilde ifade edilebilir: Niceleme, açık önermeleri kapalı hale getirme, yani açık önermeleri doğruluk değeri taşıyan önermelere dönüştürme işlemidir. Yine “dünyanın uydusu” kavramını ele alalım. Fx: x dünyanın uydusudur olarak tanımlansın. (I) Tüm x’ler için Fx’tir. (II) Bazı x’ler için Fx’tir. Yukarıdaki önerme biçimlerinden (I), tümel bir önerme biçimi olup tümel bir niceleyici (tüm) içermektedir. (II) önermesi ise tikel bir önerme biçimi olup tikel bir niceleyici (bazı) içermektedir. Her iki önerme de söz konusu değişken “x”in değer aldığı alana bağlı olarak belli bir doğruluk değeri taşımaktadır. Örneğin, tüm şeyleri değer alanı olarak belirlersek (I) yanlış, (II) ise doğru olacaktır. Aynı önerme “Gxy: x, y’nin uydusudur” yüklemini kullanarak ve dünya yerine bir sabit terim koyarak da ifade edilebilir. “a” sabit bir terim olarak dünyanın yerine geçsin: (III) Tüm x’ler için Gxa’dır. (IV) Bazı x’ler için Gxa’dır. Görüldüğü gibi, niceleyici içeren tüm önermeler içerdikleri birli, ikili, n’li bağıntılar uygun önerme eklemlerini de tanımlayarak biçimsel mantık içerisinde temsil edilebilir hale gelmiştir. Niceleyicilerin bu şekilde ele alınmasının bir diğer avantajı da klasik mantıkta mümkün olmayan bir biçimde sayısal ifadelerin temsil edilebilmesidir. Örneğin, “Dünyanın bir ve yalnız bir uydusu vardır.” ifadesini, mantığımıza özdeşlik simgesini (“=”) katarak kolayca ifade edebiliriz: En az bir x vardır ki Gxa’dır ve eğer herhangi bir y için Gya ise x=y’dir. Benzer biçimde tüm diğer sayısal ifadeler, “tam olarak iki”, “en az iki”, “en fazla bir”, “en az iki” vb. herhangi bir muğlaklığa yol açmaksızın Frege’nin geliştirdiği mantık içerisinde temsil edilebilir.
