MATEMATİK II Dersi ASAL SAYILAR VE MODÜLER ARİTMETİK soru cevapları:
Toplam 20 Soru & Cevap#1
SORU:
Asal sayıyı tanımlayınız.
CEVAP:
1'den büyük ve sadece kendisine ve bire bölünebilen sayılara asal sayı denir.
#2
SORU:
Asal olmayan sayılara ne ad verilir?
CEVAP:
Asal olmayan sayılara "bileşik sayılar" denir.
#3
SORU:
Hem asal hem de çift olan bir sayı var mıdır?
CEVAP:
Evet vardır. 2 hem asal, hem çift sayıdır.
#5
SORU:
Aritmetiğin temel teoremi nedir?
CEVAP:
Her n>1 doğal sayısı asal sayıların çarpımı ¸seklinde sıra değişikliği hariç tek türlü yazılabilir.
#6
SORU:
En büyük ortak bölen kavramını tanımlayınız.
CEVAP:
“a” ve “b” gibi iki doğal sayıdan her ikisini de bölen doğal sayıların en büyük olanına, bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve ebob(a,b) ¸seklinde gösterilir.
#7
SORU:
En küçük ortak kat kavramını tanımlayınız.
CEVAP:
“a” ve “b” gibi iki doğal sayıdan her ikisine de bölünen doğal sayıların en küçük olanına, bu sayıların en küçük ortak katı denir ve ekok(a,b) ¸seklinde gösterilir.
#8
SORU:
İki sayının aralarında asal olması için koşul nedir?
CEVAP:
En büyük ortak bölenlerinin 1 olması gerekir.
#9
SORU:
Her ikisi de asal olmayan iki sayı aralarında asal olabilir mi?
CEVAP:
Hayır olamaz. Sayılardan en az birinin asal olması gerekir.
#11
SORU:
Eratosthenes kalburu nedir, ne işe yarar, bir örnekle anlatınız?
CEVAP:
Eratosthenes kalburu asal sayıları bulmaya yarar. Örneğin 1 ile 100 arasındaki asal sayıları bulmak istediğimizi düşünelim. İlk olarak 1’den 100’e kadar olan tüm sayıları bir tablo şeklinde yazalım. Sonra 2’nin katlarını eleyelim. Geriye kalan sayılardan ilki 3 olup, 3’ün katlarını eleyelim. Daha sonra geriye kalan ilk sayı 5 olup, 5’in katlarını eleyelim. Bu şekilde devam edersek, geriye kalan sayıların aradığımız asal sayılar olduğunu görürüz. Bu metoda eski Yunan Matematikçisi Eratosthenes tarafından bulunduğu için, Eratosthenes kalburu denir.
#12
SORU:
Bir sayının asal olup olmadığını bulmanın başka bir yöntemi var mıdır?
CEVAP:
Evet. Eğer “n” tam sayısı bir bileşik sayı ise n=a·b formunda yazılabilir. Burada 1<a?b<n olduğunu kabul edebiliriz. Bu durumda a*a?a*b=n olup, buradan a?kök(n)elde ederiz. Bu nedenle n sayısının kök(n)’i geçmeyen bir böleni, hatta bir asal böleni vardır.
#13
SORU:
Kaç tane asal sayı vardır?
CEVAP:
Sonsuz tane asal sayı vardır. M.Ö. 300 civarında, Öklid, asal sayıların sonsuz olduğunu ispatlamıştır.
#14
SORU:
Asal sayıların en önemli kullanım alanı nedir?
CEVAP:
Şifreleme ve veri güvenliği.
#15
SORU:
Bugün Pazartesi ise 29 gün sonra hangi gün olur?
CEVAP:
Salı. 29 sayısını mod 7 cinsinden yazarsak 29=1(mod7) olur. Bu da bugüne 1 gün eklememiz gerektiği anlamına gelir.
#16
SORU:
İki sayının bir modüle göre denk olması için koşul nedir?
CEVAP:
“a” ve “b” tam sayıları, sıfırdan farklı pozitif bir n tam sayısı tarafından bölündüğünde aynı kalanı veriyorsa bu sayılara n modülüne göre denktir ya da kısaca mod(n)’ye göre denktir deriz.
#17
SORU:
12 bin ve 3 milyon sayıları mod9'a göre denk midir?
CEVAP:
Evet. 12000=3(mod9) ve 3000000=3(mod9) olduğundan bu sayılar denktir.
#18
SORU:
Denklikler toplama, çarpma ve çıkarma işlemleri altında korunur mu?
CEVAP:
Evet korunur. Yani a b'ye denk ise a*c de b*c'ye denk olur. Aynı şekilde a+c de b+c'ye denk olur.
#19
SORU:
42 ile 87'nin çarpımının 8'le bölümünden kalan kaçtır? Modüler aritmetik kullanarak hesaplayınız.
CEVAP:
42'nin 8'e bölümünden kalan 2, 87'nin 8'e bölümünden kalan 7 olduğuna göre 2*7=14=6(mod8). Cevap 6'dır.
#20
SORU:
Bir bilinmeyenli doğrusal denkliklerin her zaman çözümü olur mu?
CEVAP:
Bir bilinmeyenli bir doğrusal denkliğin çözümünün olması için gerek ve yeter koşul ebob(a,n) sayısının b sayısını bölmesidir. Denkliklerin her zaman çözümü yoktur. Örneğin 3x=5(mod6) denkliğini sağlayan hiçbir x tamsayısı yoktur.