Erdös ve Renyi’nin 1959 yılında ortaya attığı rassal ağ modeli, uzun bir süre ağlar konusundaki paradigmayı belirlemiştir. Bu modele göre, bir ağda her bir düğümün başka bir düğümle bağ kurma olasılığı eşitti ve bağlar rassal bir süreçle oluşuyordu.

Barabasi, internet ağının ölçülmesi, haritalanması ve modellenmesiyle ilgilenmiştir.

Rassal ağların derece dağılımının binom dağılımına benzer, düğüm sayısı artınca bu dağılımın Poisson dağılımına yaklaşır. 

İnternet rassal bir ağ ve derece dağılımı normal bir dağılım olsaydı, o zaman İnternetteki sayfaların % 80’inden fazlası 4 bağlantıdan azına sahip olmaz; derece dağılımı bir ortalama etrafında simetrik bir dağılıma sahip olurdu. Kısaca, sayfaların bağlantı sayıları ortalamaya yakın değerlerde kümelenirdi.

Eğer İnternet bir rassal ağ olsaydı, bu durumda az ve çok sayıda bağlantıya sahip olan düğümlerin sayısı az; buna karşılık ortalama sayıda bağlantıya sahip olan düğümlerin sayısı çok olacaktı. İnternet bir rassal ağ değildir. Ayrıca, İnternetin bir rassal ağ olmadığını bilmek için çok uzun tartışmaya da gerek yoktur çünkü rassal bir ağda düğümler birbirleri ile belirli bir olasılık ile rassal bağlantılar kurarlar.

Merkezî düğümlerin ortaya çıkmasının nedeni, ağların büyümesidir.

Kuvvet yasasının gerçek hayattan yapılan ilk gözlemi, Pareto tarafından 1800’lü yılların sonunda İtalya’da gelir dağılımı konusunda yapılmıştır. Hemen hemen her ülkede bireylerin küçük bir oranı servetin büyük bir oranına sahiptir ve dağılım kuvvet yasasına uygundur.

“İlk Sayı Savı” olarak da adlandırılan bu yasaya göre, çok çeşitli alanlardaki verilerde kullanılan ilk sayılar ele alındığında, en sık kullanılan sayı 1’dir ve diğer kullanılan tam sayı değerlerinin olasılığı giderek azalır.

Bir rassal ağın derece dağılımı, ortalaması <k> ve standart sapması <k>^1/2 olan bir Poisson dağılımıdır. Bu dağılımda standart sapma ortalamanın karekökü olduğu için her zaman ortalamadan daha küçüktür.

Ağlarda “popüler olmanın çekiciliği” konusu tercihli bağlantı ile ilgilidir. Eğer daha popüler düğümlerle bağlantı yapılıyorsa, bunun sonucunda gerçek bir çok ağda gözlendiği gibi derece dağılımı, kuvvet yasasına uygun olur. Rassal ağ modelinde düğüm sayısı N sabit varsayılır ve bir düğümün bağlanacağı düğüm rassal olarak seçilir.

Ağların statik özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir:

• Ağlarda kalın kuyruklu dağılımlar söz konusudur. Az sayıda merkezî düğüm, çok sayıda az bağlantıya sahip düğüm bulunur. 

• Ağların yarıçapları küçüktür ve topluluk yapılarına sahiptirler.

• Çeşitli kuvvet yasaları geçerlidir. 

Ağların dinamik özellikleri ise aşağıdaki gibidir:

• Ağlar büyüdükçe yarıçapları küçülür ve ağlar yoğunlaşır.

• Sabit büyüklükteki küçük bileşenler, dev bileşen ile birleşene kadar belirli bir noktanın ötesine büyüyemezler.

• Diğer kuvvet yasaları geçerlidir

Gerçek ağların analizi yoluyla elde edilen amprik gözlemler bize ağların kuvvet yasasına uygun bir şekilde yoğunlaştığını gösterir.

Ağların zaman içinde ortalama derecesi -diğer bir deyişle düğümlerdeki bağlantı sayısı- çok büyük hızla artarken yarıçap ve etkin yarıçap azalır.

Statik bir çizge için yarıçap, herhangi iki düğüm arasındaki maksimum uzaklıktır.

Uzaklık, yönü hesaba katmadan iki düğüm arasındaki minimum sıçrama sayısıdır.

Gerçek hayattan elde edilen ağ verilerini kuvvet yasasına uydururken, ilk olarak x ve P(x) verilerinin logaritmaları grafik üzerinde bir doğru üzerinde ise, diğer bir deyişle kuvvet yasası test edilen verilerin her iki tarafının logaritması alındığında bu değerler serpilme diyagramında bir doğru hâlindeyse, akla verilerin kuvvet yasasına uygun olabileceği gelir. Bu verilere en küçük kareler yöntemi uygulanarak regresyon denkleminin eğim parametresi, üs olan ?’nın tahmini değeri olarak kullanılır

Kuvvet yasası dağılımları sık sık kalın kuyruklu dağılımlar, Pareto dağılımları ve Zipf dağılımları adlarını alırlar. Ölçekten bağımsız bir ağda derece dağılımı kuvvet yasasına uyar.

Barabási-Albert modelinde, rassal ağdan farklı olarak ağa her adımda yeni bir düğüm katılır ve bu düğüm i düğümünün derecesi olan k_i’ye bağımlı olarak i düğümü ile bağlantı kurar.

Barabási-Albert modeli, ölçekten bağımsız ağ modeli (scale-free) adını da almaktadır.