İkillik ya da Latince kökenli adıyla dualite kelimesi, farklı alanlarda değişik anlamlara sahip olsa da,
genel olarak karşıtlık ve birbirini tamamlayıcılık özelliklerine işaret etmektedir

“Dualite ilkesi” teriminin anlamı, iki temel kavramın yer aldığı bir önermede bu iki kavramın yerleri değiştirildiğinde doğru olan yeni bir önermenin elde edilmesi olarak tanımlanmaktadır.

1. İkili modelin değişkenlerinden hareketle, asıl problemle ilgili önemli ekonomik açıklamalarda
bulunma ve yorum yapma imkanı sağlar.
2. Modelin yapısındaki veya parametrelerindeki değişimleri inceleyen duyarlılık analizleri ile ilgili
işlemlere katkıda bulunur.
3. Bazı durumlarda ikillik, ilgilenilen asıl problemin çözümünü kolaylaştırır.

Verilen bir doğrusal karar modelinin ikil modelini yazma işlemi “ikilini alma” olarak ifade edilir.

1. Asıl modelde amaç fonksiyonunun enbüyük değeri aranıyor iken, ikil modelde bunun karşıtı
olan enküçük değer araştırılmaktadır.
2. Asıl modelde tüm kısıtların yönü ? iken, ikil modelde tüm kısıtların yönü bunun karşıtı olan ?
şeklindedir.
3. Asıl modelde m adet kısıt varken, ikil modelde m adet karar değişkeni (y1,y2,…,ym)
bulunmaktadır. Bir başka deyişle asılın her kısıtı için bir ikil değişken tanımlanmaktadır.
4. Asıl modelde n adet karar değişkeni bulunurken, ikilinde n adet kısıt yer almaktadır. Bir diğer
deyişle asılın her değişkeni ikilin bir kısıtına karşı gelmektedir.
5. Asıl model kısıtlarının sağ taraf sabitleri (bi), ikilin amaç fonksiyonu katsayılarıdır.
6. Asıl modelin amaç fonksiyonu katsayıları (cj), ikil model kısıtlarının sağ taraf sabitleridir.
7. Asıl modelde i. kısıtın sol tarafındaki satır katsayıları (ai1, ai2, …, ain,), ikil modelin yi değişkenine
ait sütun katsayıları olmaktadır.
8. Hem asıl hem de ikil modelin değişkenleri sıfırdan büyük eşit olarak tanımlanmıştır.

Kanonik biçimde olmayan bir doğrusal karar modelinin, izleyen iki
yoldan birini kullanarak ikilini oluşturmak mümkündür:
1. Uygun işlemlerle karar modelini kanonik biçime dönüştürmek ve ikil modelini yazmak.
2. Dönüştürme işlemini yapmadan, genel kuralları uygulayarak doğrudan ikil modeli yazmak.

Doğrusal programlama modelleri, genellikle sınırlı kaynak kullanımı kısıtları altında gelir ya da karın enbüyüklenmesi amacına yönelik olarak geliştirilen, bir kaynak dağıtım modeli gibi düşünülebilir.

Asıl ve ikil problemlerin çözümleri arasındaki ilişkiler üç ana özelliğe bağlı olarak açıklanabilir. Bunlar, her iki problemin uygun çözümleri arasındaki ilişkiyi tanımlayan “zayıf ikillik özelliği”, her iki modelin de eniyi değerlerinin eşit olduğunu belirten “güçlü ikillik özelliği” ve eniyi çözümleri ilişkilendiren “aylaklığın tamamlayanı özelliği” olarak adlandırılmaktadır.

Zayıf ikillik özelliğine göre, asıl ve ikil problemlerin her ikisi de uygun çözümlü olduğunda, bu
modellerin herhangi uygun çözümlerine karşı gelen amaç fonksiyonu değerleri arasında daima,

Enbüyükleme probleminin amaç fonksiyonu değeri ? Enküçükleme probleminin amaç fonksiyonu değeri

ilişkisi sağlanır.

Bir doğrusal programlama problemi için geliştirilen asıl ve ikil modellerden birisi enbüyükleme amaçlı
ise diğeri enküçükleme amaçlı olacaktır. Bu ilişki için, hangisinin asıl hangisinin ikil problem olduğu
değil, eniyilemenin yönü önemlidir. Zayıf ikillik özelliğinden yararlanarak, asıl veya ikil problemlerden
birisinin uygun bir çözümüne karşı gelen amaç fonksiyonu değerini, diğer problemin eniyi değeri için alt
veya üst sınır olarak kullanabiliriz.

Güçlü ikillik özelliğine göre, asıl veya ikil problemden herhangi birisi sınırlı değerde bir eniyi çözüme
sahipse, diğerinin de mutlaka bir eniyi çözümü vardır ve her iki problemin eniyi değerleri birbirine eşittir.
Bir başka deyişle, asıl ve ikil problemlerin bir eniyi değeri varsa, bu değerler arasında daima,

Enbüyükleme probleminin eniyi değeri = Enküçükleme probleminin eniyi değeri

ilişkisi sağlanır.

Zayıf ve güçlü ikillik özelliklerinden hareketle, bir doğrusal programlama problemi için geliştirilen asıl ve ikil modellerin çözümleri ile ilgili, aşağıdaki durumlardan sadece birisi söz konusu olur:
1. Asıl ve ikil modellerden her ikisinin sınırlı değerde eniyi çözümü vardır ve eniyi değerler
birbirine eşittir.
2. Asıl modelin uygun bir çözümü olup amaç fonksiyonu değeri sınırsız olduğunda, ikil modelin
uygun çözümü yoktur.
3. İkil modelin uygun bir çözümü olup amaç fonksiyonu değeri sınırsız olduğunda, asıl modelin
uygun çözümü yoktur.
4. Hem asıl hem de ikil modelin uygun bir çözümü yoktur.

Aylaklığın tamamlayanı (complementary slackness), ikillik üzerine geliştirilen kavram ve teknikleri
bütünleştirerek, asıl ve ikil problemlerin eniyi çözümlerini ilişkilendiren önemli bir özelliktir.

Boşluk değişkeni, eniyi çözümde kısıtın eşitsizliğin sol tarafındaki değeri ile sağ taraf sabiti arasındaki
farkı veren değişkendir.

Boşluk değişkeni, eniyi çözümde kısıtın eşitsizliğin sol tarafındaki değeri ile sağ taraf sabiti arasındaki
farkı veren değişkendir. Eğer kısıt “?” türünde ise boşluk değişkeni “aylak değişken”, kısıt “?” türünde
ise boşluk değişkeni “artık değişken “ olarak adlandırılır.

Eğer eniyi çözümde, bir kısıta ait boşluk
değişkeni sıfıra eşitse, o kısıt tam eşitlik halinde gerçekleştiği için o kısıtın “sıkı kısıt” olduğu söylenir.

• Modellerden birisinde bir kısıtın boşluk değişkeni sıfırdan farklı ise, diğer modelde bu kısıta
karşı gelen değişkenin değeri sıfıra eşittir.
• Modellerden birisinde bir kısıtın boşluk değişkeni sıfıra eşitse, diğer modelde bu kısıta karşı
gelen değişkenin değeri sıfırdan farklıdır.

İndirgenmiş maliyetler, simpleks tablosunun amaç fonksiyonu (z) satırı veya sıfır satırı olarak adlandırılan satırında yer alan sayısal değerlerdir.

Bazı durumlarda bir doğrusal programlama probleminin asıl modelini çözmek yerine ikil modelini çözmek, işlem yükü açısından daha kolay olabilir. Eğer problemin asıl modelini çözmek için simpleks ardıştırmalarını uygulamak gerekirken, ikil modelin çözümünü grafik yöntemle bulabileceksek, hesaplama kolaylığı açısından ikil modelin çözümü ile uğraşmak bize zaman kazandıracaktır. Daha sonra asıl - ikil modellerin çözümleri arasındaki ilişkileri veren ikillik teoremi ve aylaklığın tamamlayanı özelliklerini kullanarak asıl modelin çözümünü bulabiliriz.

Fayda - maliyet analizi yapmakta kullanılan gölge fiyatlar, herhangi bir üretim kaynağının miktarının bir birim arttırılması veya azaltılması durumunda amaç fonksiyonu değerinde meydana gelecek artış veya azalış olarak tanımlanır.