İlk olarak 1. dereceden kısmi türevleri alıp sıfıra eşitleyelim:

f_x=4x-4y-4z-8=0

f_y=-4x+4y=0 buradan x=y

f_z=-4x+4z+10=0

ikinci denklemden x=y çıktığı için bu bilgiyi ilk denkleme (f_x) uygularsak:

4x-4y-4z-8=0 buradan 4x-4x-4z-8=0 ve -4z=8 olduğundan z=-2 olur. z’nin değerini son denklemde (f_z) yerine yazarsak:

-4x-8+10=0 buradan 4x=2, x=1/2 olacaktır. y=x olduğundan y=1/2 olur. Bu durumda kritik noktayı sağlayan (x,y,z) üçlüsü (½, ½,-2) olacaktır.

Şimdi Hessian matrisine bakarak bu noktanın türünü belirleyelim. Hessian matrisi için ikinci kısmi türevleri almamız gerekir:

f_x=4x-4y-4z olduğu için f_xx=4 f_xy=-4 f_xz=-4

f_y=-4x+4y olduğu için f_yx=-4 f_yy=4 f_yz=0

f_z=-4x+4z+10 olduğu için f_zx=-4 f_zy=0 f_zz=4 olur. Bu durumda Hessian Matrisimiz şudur:

=16>0

görüldüğü üzere matrisin tüm asal minörleri ve determinantı pozitiftir. Bu nedenle bu bir minimum noktasıdır. Bu nedenle cevap D'dir.