CEVAP:

Russell Matematiğin İlkeleri üzerine çalışırken her özelliğin bir küme belirlediği varsayımına dayanan naif küme kuramının bir çatışkıya yol açtığını fark etmiştir. Gerçekten, eğer her bir özellik için, o özelliği taşıyan nesneler topluluğunun bir küme oluşturduğunu kabul edersek kendi kendisinin elemanı olmayan kümelerden oluşan topluluğu da bir küme saymamız gerekir. Russell kümesi olarak adlandıracağımız bu kümeyi küme kuramının sembolik dilinde {x: x ?? x} biçiminde göstere- biliriz. Bu tanıma göre, her küme için, (1) Eğer o küme kendisinin elemanı değil ise Russell kümesinin bir elemanıdır ve (2) Eğer küme Russell kümesinin bir elemanı ise, kendisinin de bir elemanıdır. Şimdi, Russell kümesi de bir küme olduğuna göre, Russell kümesinin de kendi kendisinin elemanı olmadığı sorulmalıdır: İlk olarak, Russell kümesinin kendisinin elemanı olduğunu kabul edelim. Ancak bu durumda, tanımı gereği, Russell kümesi sadece kendi kendisinin elemanı olmayan kümeleri içerdiğinden, Russell kümesi Russell kümesinin bir elemanı olamaz. Bu durumda diğer seçeneği deneyip Russell kümesinin kendi kendisinin elemanı olmadığını kabul edelim. Bu durumda da kendi kendisinin elemanı olmayan her küme Russell kümesinin bir elemanı olduğundan, Russell kümesi de Russell kümesinin bir elemanıdır. Böylece bir çelişki oluşturan şu sonuca varırız: Russell kümesi kendisinin bir elemanıdır ancak ve ancak kendisinin bir elemanı değil ise.