Alman matematikçi Gottlob Frege (8 Kasım 1848-26 Temmuz 1925) çağdaş mantığın kurucusudur.

Mantığın matematikle olan ilişkisi oldukça verimli biçimde iki yönlü olarak gelişmiştir. Amaçlandığı gibi, mantık matematiğin daha kurallı bir bilim olmasını sağlamış ve matematikte (sonsuz-küçük sayılara yer veren) standart-dışı analiz gibi yeni alanların ortaya çıkmasını sağlamıştır. Diğer yandan, mantığın tam olarak biçimselleşmesinin ardından matematiğin kavram ve yöntemlerine mantık sistemlerinin özelliklerini ortaya koymak için başvurma olanağı doğmuştur. 20. ve 21 yüzyılda mantık sadece matematikle değil, yeni ortaya çıkan kuramsal dil- bilim, kuramsal bilgisayar bilimi gibi araştırma alanlarıyla da etkileşimli olarak ilerlemiştir. Bu alanlarla da mantığın ilişkisi çift yönlüdür.

Frege ne geleneksel mantığın (Aristoteles mantığı) ne de döneminde yaygın kabul gören mantık sistemi olan Boole mantığının mantıkçı programını gerçekleştirmek bakımından yeterli olmadığı sonucuna varmıştır. Frege’nin Boole mantığına eleştirileri şunlardır:

(i) Boole, matematiksel gösterimi matematikteki olağan anlamları ile bağdaşmayan biçimde yeniden kullanmakta, böylece onun matematikteki kanıtlamaları çokanlamlılıktan uzak biçimde temsil etmesine bir engel oluşturmaktadır. (ii) içerdiği ikili yorumlamalarla önerme eklemli ve kategorik/nicelemeli bileşenlerini ayrıştırmakta ve böylece, her iki türden adımları içeren çıkarımların temsilini olanaksız kılmaktadır ve (iii) başka kimi eklemeler olmadan, Boole mantığı (örneğin, “Her insan bir kenti sever” önermesi gibi) iç içe nicelemeli önermeleri ele alamaz. 

Russell’ın mantık ve mantık felsefesi ile ilgili çalışmaları arasında en önemlisi Amerikalı matematikçi ve felsefeci Alfred North Whitehead (1861-1947) ile birlikte yazıp hacimli üç cilt hâlinde yayımladıkları Principia Mathematica’dır (Matematiğin İl- keleri). Bu yapıtın birinci baskısının 1. cildi 1910, 2. cildi 1912, 3. cildi 1913 yılında yayımlanmıştır. Russell ve Whitehead bu çalışmayı geometrinin temellerini konu alan 4. ciltle tamamlamayı amaçlamışlar ancak bu amaç gerçekleşmemiştir.

Russell Matematiğin İlkeleri üzerine çalışırken her özelliğin bir küme belirlediği varsayımına dayanan naif küme kuramının bir çatışkıya yol açtığını fark etmiştir. Gerçekten, eğer her bir özellik için, o özelliği taşıyan nesneler topluluğunun bir küme oluşturduğunu kabul edersek kendi kendisinin elemanı olmayan kümelerden oluşan topluluğu da bir küme saymamız gerekir. Russell kümesi olarak adlandıracağımız bu kümeyi küme kuramının sembolik dilinde {x: x ?? x} biçiminde göstere- biliriz. Bu tanıma göre, her küme için, (1) Eğer o küme kendisinin elemanı değil ise Russell kümesinin bir elemanıdır ve (2) Eğer küme Russell kümesinin bir elemanı ise, kendisinin de bir elemanıdır. Şimdi, Russell kümesi de bir küme olduğuna göre, Russell kümesinin de kendi kendisinin elemanı olmadığı sorulmalıdır: İlk olarak, Russell kümesinin kendisinin elemanı olduğunu kabul edelim. Ancak bu durumda, tanımı gereği, Russell kümesi sadece kendi kendisinin elemanı olmayan kümeleri içerdiğinden, Russell kümesi Russell kümesinin bir elemanı olamaz. Bu durumda diğer seçeneği deneyip Russell kümesinin kendi kendisinin elemanı olmadığını kabul edelim. Bu durumda da kendi kendisinin elemanı olmayan her küme Russell kümesinin bir elemanı olduğundan, Russell kümesi de Russell kümesinin bir elemanıdır. Böylece bir çelişki oluşturan şu sonuca varırız: Russell kümesi kendisinin bir elemanıdır ancak ve ancak kendisinin bir elemanı değil ise.

Sistemin çıkarım kuralları

Yerine koyma kuralı: A önermesindeki önerme değişkenleri yerine eşzamanlı olarak aynı önerme değişkeninin her geçtiği yerde aynı önermenin konmasıyla elde edilen önerme, A önermesinin bir sonucudur.

Modus ponens: B formülü A ve A›B formüllerinin sonucudur. x birey değişkeninin A formülünün serbest değişkenleri arasında olmaması koşuluyla, A › 6x B (x) formülü A ›B (x) formülünün bir sonucudur.

x birey değişkeninin A formülünün serbest değişkenleri arasında olmaması koşuluyla, ? x B (x) ›A formülü B (x) ›A formülünün bir sonucudur. 

Eksiklik Teoremleri: Gödel’in adının mantık dünyasında ve başta felsefe olmak üzere, diğer alanlarda sıklıkla anılmasını sağlayan başarısı eksiklik teoremleridir. Eksiklik teoremleri Gödel’in Hilbert programı içindeki çalışmalarının bir sonucunda ortaya çıkmıştır. Hilbert programı matematiksel analizin tutarlılığını sadece sonlu kanıtlamalara başvurarak göstermeyi amaçlamaktaydı. Gödel matematiksel analizin temelini oluşturan aritmetiğin tutarlılık sorununun bile bu yolla çözülemeyeceğini göstermiştir.

Birinci eksiklik teoremi: Aritmetiği içerecek yeterlilikte tutarlı bir biçimsel sistemde doğru aritmetik önermeleri belirten ancak bu sistemde kanıtlanamayan önermeler vardır.

S sisteminin dili aritmetik önermelerini dile getirmekte yeterlidir.

S sistemi Peano aritmetiğini içerir: Peano belitlerinin her biri S sisteminde kanıtlanabilir.

S tutarlıdır.

Aritmetiği içerecek yeterlilikte tutarlı hiçbir biçimsel sistemde, aritmetiğin tutarlı olduğunu belirten önerme kanıtlanamaz. Bir başka deyişle, S aşağıdaki koşulları sağlayan bir biçimsel sistem olsun:

• S sisteminin dili aritmetik önermelerini dile getirmekte yeterlidir,
• S sistemi Peano aritmetiğini içerir,
• S tutarlıdır.
O zaman S sisteminin tutarlı olduğunu S sisteminin dilinde belirten önerme, Con(S), S sisteminde kanıtlanamaz.

Seçme Belitinin Bağımsızlığı: Seçme (veya seçim) beliti, boş olmayan kümelerden oluşan her aile için (yani, her bir elemanı boş olmayan bir küme olan her küme için) bu ailenin her kümesinden bir eleman seçen bir fonksiyonun varolduğunu söyleyen belittir. Bu belit, saf matematikçilerin neredeyse tümü tarafından doğru kabul edilirken, uygulamalı matematikçilerin çoğunu rahatsız eder. Saf ma- tematikte elde edilen pek çok önemli sonuç seçme belitine veya görünüşte farklı bir önerme olan ama seçme belitine denk bir önermeye dayanmaktadır. 

İyi-sıralama ilkesi: Her küme iyi-sıralanabilir. Yani, her S kümesi üzerinde, bu kümenin her boş-olmayan T alt-kümesinin bir R-minimum elemanı (yani, “her t₀?T için t₀Rt” şartını sağlayan bir t₀?T elemanı) olacak şekilde bir R kısmi sıralama bağıntısı vardır.

Zorn lemması: S bir küme, R ise S üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısı (yansımalı, antisimetrik ve geçişli bir 2-li bağıntı) olsun. S içinde R bağıntısına göre her zincirin (her iki x, y elemanı için ya xRy ya da yRx şartını sağlayan alt-küme) bir üst sınırı (zincirin tüm elemanlarından büyük bir s ? S elemanı) varsa, S kü- mesinin bir R-maksimal elemanı vardır (Birden çok maksimal eleman olabilir). Seçme belitinin, genellikle “Banach-Tarski paradoksu” olarak adlandırılan, aşağıdaki sonucu fizik evren hakkındaki sağduyuya aykırı görülmektedir.

Lewis’in çalışmaları çağdaş kipli mantık sistemlerinin gelişiminin ilk adımı olmuştur. Lewis ile başlayan ilk dönem kipli mantık çalışmalarında mantıkçılar farklı belit sistemleri geliştirmeyi amaçlamışlardır. Lewis kipli mantık sistemleri üzerine o zamana kadar yaptığı ve farklı tarihlerde yayımladığı çalışmalarının sonuçlarını Bir Sembolik Mantık Araştırması (1918) sisteminde toplamıştır. Emil Post buradaki kipli mantık sisteminde olanaksızlık ile yanlışlığın denk olduğunu ortaya koymuştur. Bu durumda mantık yazınında, içlem mantığı olması gereken kipli mantığın kaplamlı önermeler mantığına “çökmesi” denilen durum gerçekleşmiş olmaktadır. Bunun üzerine Lewis, 1918’deki kipli mantık sisteminde yer alan bir beliti değiştirmek zorunda kalmıştır. 

Carnap’ın kipli semantiğinde başvurduğu temel kavram “durum betimlemesi” kavramıdır. Durum betimlemesi kavramı Carnap’a göre Leibniz’in “olanaklı dünyalar” ya da Wittgenstein’ın “olanaklı olgu durumları” kavramlarıdır.

Bir durum betimlemesi her bir p atomik önermesi için ya p önermesinin ya da ~p önermesinin (ikisi birden olmamak koşuluyla) yer aldığı bir önermeler kümesi- dir. Böyle bir S durum betimlemesi verildiğinde:

• Bir p atomik önermesinin S durum betimlemesine göre doğru olması p önermesininS durum betimlemesinin (yani S kümesinin) elemanı olması demektir (Sembollerle gösterildiğinde p ?S).
• Bir p atomik önermesinin S durum betimlemesine göre yanlış olması ~p önermesininS durum betimlemesinin (yani S kümesinin) elemanı olması demektir (Sembollerle gösterildiğinde ~p ?S).
• Ana eklemi kip olmayan (zorunluluk veya olanaklılık olmayan) önerme- lerin doğruluğu/yanlışlığı doğruluk tablosu kurallarına koşuttur. Örneğin, bir (A ?B) önermesinin S durum betimlemesine göre doğru olması hem A önermesinin hem de B önermesininS durum betimlemesine göre doğru olması demektir.
• Nicelemeli önermelerin yorumlanması da birinci basamak niceleme man- tığında olduğu gibidir. Örneğin, ?x Fx önermesinin doğru olması x yerine konabilecek her a adı için Fa atomik önermesinin S durum betimlemesine göre doğru olması demektir.

Carnap mantıksal zorunluluk kavramını geçerlilik kavramı ile aynı anlama ge- lecek biçimde tanımlamaktadır. Bunun sonucu olarak:

• ?A önermesinin doğru olması A önermesinin her durum betimlemesine göre doğru olması demektir.
• ?A önermesinin doğru olması A önermesinin en az bir durum betimlemesine göre doğru olması demektir.

Carnap semantiğinin en önemli özelliklerinden biri sayılabilir sonsuz sabit bir evren varsayımına dayanmasıdır. Carnap’ın kipli semantiğinin nasıl işlediğini basit bir modelde görelim. Dilde sadece F yüklem sabitinin bulunduğunu kabul edelim. Evrendeki a ve b nesnelerini göz önünde bulundurduğumuzda, sonsuz sayıda olan durum betimlemeleri 4 grupta toplanarak yazılabilir:

S1Fa, Fb,...
S2 ~Fa, Fb,...
S2 Fa, ~Fb,...
S2 Fa, ~Fb,...
Bu varsayımlara göre örneğin,

• Fa en az bir durum betimlemesinde doğru olduğundan, ?xFx de en az bir

durum betimlemesinde doğru, dolayısıyla ? ?xFx doğrudur.

(Fa? Fb) en az bir durum betimlemesinde doğru olduğundan, ?x ?y (x ?y ?Fa ? Fb) de en az bir durum betimlemesinde doğru, dolayısıyla ? ?x ?

y(x?y ? Fa ? Fb) doğrudur.
Carnap sonsuz ve sabit bir evren varsaydığı için, ?x ?y (x ?y) tüm durum

betimlemelerinde doğru, dolayısıyla zorunlu olarak doğru yani, ??x ?y (x ?y) önermesi doğru olur. Oysa farklı en az iki şeyin varolmasının mantıksal olarak geçerli olması sağduyuya aykırı görünmektedir.

Carnap semantiğinin diğer bir sonucu kipli mantık için yerine koyma ilke- sinden vazgeçmemizin gerekli olduğudur: Eğer p bir atomik önerme ise en az bir durum betimlemesinde p doğru, dolayısıyla ? p doğru bir kipli önerme olur. Yerine koyma ilkesi gereği herhangi bir önermeyi eşzamanlı ve tekbiçimli olarak p yerine koyduğumuzda doğru bir önerme elde edilir. Oysa p yerine (p ? ~p) koyduğumuzda elde ettiğimiz ? (p ?~ p) önermesi yanlıştır. 

Kipli önermeler mantığı için Kripke semantiğinin bugün yaygın olarak kullanılan son biçimine göre bir Kripke modeli;

• Boş olmayan (en az 1-elemanlı) bir olanaklı dünyalar kümesi,
• Bu küme üzerinde 2-li bir ulaşılabilirlik bağıntısı,
• Atomik önermelere her bir olanaklı dünyada bir doğruluk değeri atayan bir doğruluk değerlemesinden oluşmaktadır.
Modelin üzerinde kurulduğu olanaklı dünyalar kümesi ve bu küme üzerinde 2-li bağıntı birlikte modelin çerçevesini oluşturur. Kipli önermelerin yorumlan- masında temel adım, her bir olanaklı dünyada tüm önermelerin doğruluğunun belirlenmesidir. Bir atomik önermenin (önerme değişkeninin) w olanaklı dünyasında doğru olması modelin doğruluk değerlemesi tarafından bu atomik önerme- ye “doğru” değerinin verilmesi demektir. Önerme eklemlerinin doğruluk değerine etkisi doğruluk tablolarına göre belirlenir. Örneğin, A önermesi w dünyasındadoğru ise, ~A önermesi bu dünyada yanlış, A önermesi w dünyasında yanlış ise,~A önermesi bu dünyada doğru olur. A ? B önermesinin w dünyasında doğru olması, hem A hem de B önermelerinin w dünyasında doğru olması demektir. 4 A biçimindeki önermelere gelince, A önermesinin w dünyasında doğru olması, A önermesinin w dünyasından ulaşılan her olanaklı dünyada doğru olması demektir. “Bir olanaklı dünyada doğruluk kavramı” elimizde olduğuna göre, kipli bir önermenin bir modelde geçerli olması, önermenin modeldeki her olanaklı dün- yada doğru olması demektir. Kipli bir önermenin bir çerçevede geçerli olması ise, önermenin bu çerçeve üzerinde kurulmuş her modelde geçerli olması demektir.

Mill ve diğer deneyci felsefeciler bu soruya yanıt olarak, doğru matematik önermelerinin sanılanın aksine, zorunlu önermeler olmayıp bilgi veren tüm tümel önermeler gibi deneyimden yapılmış genellemeler olduğunu kabul etmektedir. Bu yaklaşıma göre 5 + 7 = 12 doğru matematik önermesini her sayma deneyinin bu sonucu vermesinden ötürü doğru sayarız. Gelecek sayma deneylerinin yeterli sayıda farklı sonuç vermesi durumunda bu önermeyi yanlış saymamız gerekecektir.

Kant ve onun yaklaşımını izleyen düşünürlere göre, doğru matematik önermelerin zorunlu olması usun yapısından kaynaklanmaktadır. Bu önermelerin zorunlu olmalarının nedeni bizim olanaklı deneyimimizin sınırlarını belirleyen a priori zaman ve uzam sezgilerimize dayanmalarıdır. Bir başka deyişle, zaman ve uzam sezgilerimiz duyu deneyiminin koşullarını belirlediği için, bu sezgilerimize dayanan doğru matematik önermeleri deneyimle yanlışlanamazlar.

Bugünkü yaygın mantığın gösterimi ile karşılaştırıldığında Beggriffschriftsisteminin dilinin en dikkat çeken özelliği önermelerin 2 boyutlu bir gösterimle sunulmasıdır. Bugün kullandığımız mantık gösterimi ise 1 boyutludur yani önermeler yan yana yazılan sembol dizilerinden oluşmaktadır. Frege’nin mantık gösteriminde ise kimi önermeler uygun deyimlerin alt alta yazılmasını gerektirmektedir.