Rassal değişkenlerin tüm mümkün sonuçlarının olasılıklarının sayısal veya grafiksel sunumuna olasılık dağılımları denilmektedir. Rassal örneklenen değişkenlerin aldığı değerlerin olasılık dağılım şekli kesikli veya sürekli olabilmektedir.

Rassal örneklenen verilerin aldığı değerler bir eksen üzerinde kesintisiz bir şekilde sıralanabiliyorsa ve bir aralıktaki bütün değerleri alabiliyorsa, bu değişkenler sürekli değişkenler olarak tanımlanmaktadır. Sürekli değişkenlerde, iki değişken değeri arasına sonsuz sayıda değer yerleştirmek mümkündür.

Buna karşılık, rassal örneklenen bir değişken sadece belirli sayıda değerler alabiliyor ve yalnızca sayılabilir sayıda değerler alıyorsa, bu değişken kesikli değişken olarak tanımlanmaktadır. Kesikli değişkenlerde, iki değişken arasında sonlu sayıda değer bulunmaktadır.

Rassal olarak yapılan n tekrarlı bir deneyde her tekrarda iki farklı (kesikli) sonuçtan birinin gelmesi söz konusu ise, istenen sonucun gelme olasılıklarının bulunması amacıyla Binom olasılık dağılımı kullanılmaktadır. Örneğin bir seramik fabrikasında üretilen fayansların kusurlu olma olasılığı % 1 ise, üretim bandından rassal olarak örneklenen 10 adet fayansın içinden bir tanesinin kusurlu olma olasılığını Binom olasılık dağılımını kullanarak belirleyebiliriz.

Bernoulli deneylerinin n kez tekrarlanması halinde, bu deneylerdeki başarılı sonuçların toplamı olan X rassal değişkeni için aşağıdaki koşullar gerçekleşiyorsa, bu rassal değişken Binom rassal değişkeni olarak tanımlanır.

• Deneyde, başarılı olma olasılığı p ve başarısız olma olasılığı (1-p) olmak üzere iki sonuç olmalıdır.
• Deneylerin tümü (n), aynı koşullar altında gerçekleştirilmelidir.
• Her deneme sonucunda başarılı olma olasılığı p ve başarısızlık olasılığı q aynıdır.
• Denemeler birbirinden bağımsız olmalı ve deney süresince n sabit kalmalıdır.

Örnek kütle boyutunun (n’nin) çok büyük ve beklenen bir olayın meydana gelme olasılığının (p) sıfıra çok yakın olduğu nadir meydana gelen olaylarda, hesaplama zorlukları nedeniyle Binom dağılımı kullanılamaz

Belirli bir zaman aralığında, bir alanda ya da hacimde nadir rastlanan olayların olasılık dağılımları, Poisson dağılımı ile daha kolay açıklanabilmektedir. Örneğin, bir yıl içinde meydana gelen trafik ve iş kazaları, fabrikalarda kusurlu ürün üretme, insanların az rastlanan hastalıklara yakalanması, matbaada basılan kitabın sayfaların baskı hataları bulunması nadir rastlanan olaylardır.

Sürekli değişkenlerden frekans dağılımı yaklaşık olarak çan eğrisi şeklinde olan dağılımlara normal dağılım denilmektedir.

19. yüzyılın başlarında C.F. Gauss isimli araştırmacının astronomi alanında yaptığı çalışmalar sırasında geliştirdiği normal dağılımın ilk uygulamaları, doğada gerçekleşen olayların yorumlanmasına büyük bir uyum göstermiştir. Bu nedenle, normal dağılım olasılık fonksiyonunun şekline Gauss eğrisi de denilmektedir. Normal dağılımın yaygın kullanımının en önemli nedeni de sürekli değişkenlere uygulanabilirliğinin yanında bazı kesikli değişkenlerinde normal dağılışa yaklaşabilmesidir.

Günlük hayatımızda karşılaşılan birçok değişken normal dağılış gösterir. Örneğin, insanların kan basıncı (tansiyon) ve kanındaki şeker miktarının dağılımı, öğrencilerin bir dersten aldıkları notların dağılımı, ilköğretimde okuyan çocukların boy ve kiloları, bir fabrikanın günlük üretim miktarları dağılımı, ampul ve pillerin ömrünün dağılımı genellikle normal kabul edilir.

Dağılımın ortalaması merkezi eğilim ölçüsünü verirken, varyansı da ortalamanın iki yanındaki yayvanlığın bir ölçüsüdür. Bu nedenle, – X ve ?2 parametrelerinin alacağı değerlere göre olasılık yoğunluk fonksiyonunun şekli de değişir.

Normal dağılım olasılık fonksiyonunun şekli, ortalama ve standart sapmanın alacağı değerlere göre değişebilmektedir. Normal dağılım fonksiyonu şeklinin sağa veya sola çarpıklığını belirlemede çarpıklık katsayısı, sivri veya basık olup olmadığının belirlenmesinde ise basıklık katsayısı kullanılmaktadır

Bir serinin normal olabilmesi için hem simetrik olması hem de normal bir yüksekliğe sahip olması gerekir.

Belirli bir değişken değerlerine karşılık gelen normal olasılık eğrisinin altında kalan alanların hesaplanmasında standart normal dağılımın özelliklerinden yararlanılabilmektedir. Bunun için X değişken değerleri öncelikle standart normal değere dönüştürülmekte ve daha sonra standart normal dağılım fonksiyonu yardımıyla integral alma işlemi ile eğri altında kalan alan hesaplanmaktadır. Ancak, integral alma işlemleri zaman alıcı olması ve pratik olmaması nedenleriyle genellikle daha önceden hazırlanmış çizelgelerden yararlanılması tercih edilmektedir.

Standart normal dağılım simetrik bir dağılım olduğu için, eğri altında kalan toplam alan 1’e, ortalamanın sağında ve solunda kalan yarım alanlar da 0.5’e eşittir. Ortalamanın solunda kalan alan ile sağındaki alan birbirine eşittir. Bu nedenle de, standart normal eğri altındaki alanları gösteren integral çizelgeleri (Z çizelgesi) yarım alan çizelgeleridir. Bu yüzden, ortalamanın solunda kalan ve negatif Z değerlerine karşılık gelen alan, Z’lerin pozitifmiş gibi düşünülmesiyle bulunabilmektedir.

Standart normal dağılımın özelliklerini, aşırı çarpık dağılmış rassal değişkenler için kullandığımızda, çok önemli boyutlarda hatalar yapabiliriz. Bununla birlikte normal dağılış göstermeyen (çarpık dağılımlı) değişkenler için bazı dönüşümler yaparak normal dağılıma uydurmak mümkündür. Genellikle de çarpık dağılış gösteren değişkenlerin normalleştirilmesinde, işlem kolaylığı nedeniyle e tabanına göre logaritmik dönüşüm (y=lnx) tercih edilmektedir.

Rassal örneklenmiş X verilerinin doğal logaritmaları alındığında, logaritmik (lnX) değerlerin dağılımı normal dağılıma uyuyorsa, bu dağılıma lognormal dağılım denilmektedir.

Geniş aralıklar için gruplandırılmış değişkenlerin dağılımı, genellikle lognormal dağılıma uymaktadır.

Örnek değerlerinin normal aritmetik ortalaması (– X) ve standart sapması (?) hesaplanarak, değişkenlik katsayısı (C ) belirlenir.

Lognormal dağılımın olasılık yoğunluk eğrisi, bu dağılımın parametreleri olan logaritmik ortalama (?) ve logaritmik standart sapma (ß)’nın fonksiyonu olup, bu fonksiyon aşağıdaki eşitlikle ifade edilebilir.