Belli nesneler topluluğudur.

a, b ve c.

Liste gösterimi, ortak özellik gösterimi (kapalı
gösterim) ve kümelerin Venn şeması ile gösterimi.

Bu gösterimde elemanlar, “{ }” biçiminde iki
parantez arasına aralarına virgül koyarak tek tek yazılır.
İlk birkaç eleman ile kümenin hangi elemanlardan
oluştuğu anlaşılıyorsa, geri kalan elemanları tek tek
yazmak yerine “…” (üç nokta) yazılabilir. Kümenin
elemanları bir yerde son buluyorsa, son bir ya da birkaç
eleman da yazılır.

Bu gösterimde kümeyi oluşturan elemanları
yazmak yerine, elemanların sahip oldukları özellikler
yazılır.

Küme elemanlarını düzlemde daire, elips,
dikdörtgen vs. biçiminde bölgeler içine yazmaktır.

Her x∈A için x∈B ise, A kümesine B kümesinin altkümesidir denir ve aşağıdaki şekilde gösterilir:

A ⊂ B

Eğer A ⊂ B ve B ⊂ A ise A ve B kümeleri eşittir
denir ve aşağıdaki şekilde gösterilir:
A = B

“KELEBEK” kelimesinin harflerinden oluşan
{K,E,L,B} kümesi, “BELLEK” kelimesinin harflerinin
kümesine eşittir.

A ⊂ B ve A ≠ B ise, A kümesi B kümesinin öz alt
kümesidir denir.

B = {2,4,5}

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir
ve Ø simgesiyle gösterilir.

Ø , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}.

Herhangi bir problemle ilişkili tüm kümeleri
kapsayan kümeye evrensel küme denir.

A ve B kümelerinden en az birine ait elemanların
oluşturduğu kümeye A ve B kümelerinin birleşimi denir
ve birleşim aşağıdaki şekilde gösterilir:
A  ∪ B
Bir başka deyişle;
A  ∪ B = { x | x ∈ A veya x ∈ B } olur.

A ∪  B =  {1,2,3,4,5,7} olur.

A ∪ B = {1,2,4,6,7,8} olur.

A, B, C kümeler olmak üzere;
• A ∪ B = B ∪ A (Değişme özelliği)
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪  B) ∪  C (Birleşme özelliği)
• A ∪ Ø = A ve A ∪  E = E
• A ⊂ A ∪ B ve B ⊂  A ∪ B
özellikleri geçerlidir.

A ∪ B ∪ C = {1,2,3,4,5,6,7} olur.

A ve B gibi iki küme verilsin. Hem A hem de B ye
ait elemanların oluşturduğu kümeye A ile B nin kesişimi
denir ve kesişim aşağıdaki şekilde gösterilir:
A ∩ B
Bir başka deyişle;
A ∩ B = {x | x ∈ A ve x ∈ B} olur.

A, B, C kümeler olmak üzere;
• A ∩ B = B ∩ A (Değişme özelliği)
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Birleşme özelliği)
• A ∩ Ø = Ø ve A ∩ E = A
• A ∩ B ⊂ A ve A ∩ B ⊂ B
özellikleri geçerlidir.

A ∩ B = Ø olur.

A ∩ B = {2,4} olur.

A ∩ B ∩ C = {2} olur.

(A ∩ B) ∪ C = {1,3,5,7}.

A ve B gibi kümeleri verilsin. A ya ait olan ancak
B ye ait olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi
denir ve bu küme aşağıdaki şekilde gösterilir:
A\B
ve
A\B = {x | x ∈ A ve x ∉ B}.

Kesişimleri boş olan kümelere ayrık kümeler
denir.

A\B = {1,7,9} ve B\A = {4,5}.

C \ (A ∩ B) = {7,8,9}.

 N = {1,2,3,…}.

Z = {1,2,3,…}  ∪ {0}  ∪ {−1,−2,−3,…}
kümesidir.

Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümelerinin
birleşimi R ile gösterilen gerçel sayılar kümesini
oluşturur.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R kapsamları vardır.

a sayısının sayı doğrusundaki konumu b
sayısınınkine göre soldaysa “ a sayısı b sayısından
küçüktür” veya “b sayısı a sayısından büyüktür” denir
ve a < b olarak gösterilir. a = b veya a < b ise, bu
durum a ≤ b ile gösterilir ve “a, b den küçük eşittir” ya
da “b, a dan büyük eşittir” denir.

Bir a sayısının mutlak değeri, sayı doğrusunda o
sayının başlangıç noktasına, yani sıfıra olan uzaklığıdır ve
|a| ile gösterilir. Her a sayısı için, |a| ≥ 0 olur.

a - 2 = 3 veya a - 2 = -3 olduğundan, a = 5
veya a = -1 olur.

Aralıklar, gerçel sayılarda seçilen iki sayı arasındaki tüm
sayıların oluşturduğu kümelerdir.
a ve b herhangi iki gerçel sayı ve a < b olsun.
{x | a ≤ x ≤ b, x ∈ R} kümesine kapalı aralık denir ve
[a, b] olarak gösterilir. a ve b sayılarına aralığın uç noktaları denir.
[a, b] kapalı aralığı sayı ekseni üzerinde uçları a ve b olan
doğru parçası ile gösterilir.
Açık aralıklar da;
a, b = {x | a < x < b, x ∈ R} olarak tanımlanır.
Aralığın bir ucu kümeye aitse o taraf köşeli parantez,
değilse parantez işaretiyle yazılır.
Yarı açık aralıklar da;
• [a, b) = {x | a ≤ x < b, x ∈ R}
• (a, b] = {x | a < ≤ b, x ∈ R} şeklindedir.
Bir a sayısından büyük bütün gerçel sayıların kümesi ise;
(a,∞) = {x | x > a, x ∈ R} olarak ifade edilir.

(3,6) aralığıdır.

[-2,9) aralığıdır.

(2,5) aralığıdır.

(-1,∞) aralığıdır.

(2,5] ∪ [100,∞) şeklinde iki aralığın birleşimidir.

A ∪ B = A = (2,∞) kümesidir.

A ∩ B = B = (5,100) aralığıdır.

{x | x ? 200, x ? N}

4

A=B

A'nın her elemanı B'nin de elemanı ise A kümesine B kümesinin altkümesidir denir ve A ? B ile gösterilir.

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme Ø simgesiyle gösterilir.

Herhangi bir problemle ilişkili tüm kümeleri kapsayan kümeye “evrensel küme” diyoruz. Evrensel küme genel olarak E ile gösterilir. Evrensel küme seçilen probleme göre degişebilen bir kümedir. Örneğin yalnız 10’dan küçük doğal sayıları kullanacaksak E = {0, 1, 2,... , 9} olarak belirlemek yeterlidir.

A ve B kümelerinden en az birine ait elemanların oluşturdugu kümeye A ve B kümelerinin birleşimi denir ve A ? B
ile gösterilir. Bir başka deyişle A?B = { x| x ? A veya x ? B } olur.

Keyfi A, B, C kümeleri için birlesim ile ilgili şu özellikler geçerlidir.
• A ? B = B ? A (Değişme özelliği) 
• A ? (B ? C)=(A ? B) ? C (Birleşme özelliği) 
• A ? Ø = A ve A ? E = E
• A ? A ? B ve B ? A ? B

Hem A hem de B ye ait elemanların oluşturduğu kümeye A ile B nin kesişimi denir ve A ? B ile gösterilir. Bir başka deyişle 

A ? B = {x| x ? A ve x ? B} olur.

Keyfi A, B, C kümeleri için kesişim ile ilgili şu özellikler doğrudur.
• A ? B = B ? A (Degişme özelliği) 
• A ? (B ? C)=(A ? B) ? C (Birleşme özelliği) 
• A ? Ø = Ø ve A ? E = A
• A ? B ? A ve A ? B ? B

A’ya ait olan ancak B’ye ait olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve bu küme A\ B ile gösterilir.

A\ B = {x| x ? A ve x ? B}

Kesişimleri boş olan kümelere ayrık kümeler denir.

E evrensel kümesi ve bunun bir A altkümesi verilsin. E kümesine ait olup A kümesine ait olmayan elemanların kümesine A kümesinin E kümesine göre tümleyeni denir ve bu küme A^t ile gösterilir.

A^t = { -2, 6, 8 }

A?B= { 0, 1, 2 }

Z tam sayılar kümesi olmak üzere { a / b | a, b ? Z, b ? 0 } kümesi rasyonel sayılar kümesini ifade etmektedir.

Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi de “gerçel sayılar” kümesini oluşturmaktadır. Gerçel sayılar kümesini R ile gösterilir.

Galileo “Evrenin dili matematiktir” demiştir.

İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Kümeyi belirlerken, bir nesnenin o kümeye ait olup olmadığı, herkes tarafından net olarak anlaşılacak biçimde ifade edilmelidir.

Anlaşma kolaylığı açısından kümeleri A, B, C,... gibi büyük harflerle gösteriyoruz. Bir kümeyi oluşturan nesnelere kümenin elemanı denir ve kümenin elemanlarını da a, b,c,... gibi küçük harflerle gösterilir

Eğer a nesnesi A kümesinin bir elemanıysa bu durumu a ? A, eğer  b nesnesi A kümesinin elemanı değilse bu durumu  b  A olarak gösterilir.

Bir kümeyi belirtmenin bir yolu elemanlarını {      } biçiminde iki parantez arasına, aralarına virgül koyarak tek tek ifade etmektir. Bu gösterime “liste gösterimi” denir.

Örneğin bir, iki, üç ve dört sayılarından oluşan bir küme {1, 2, 3, 4} biçiminde gösterilir.

Bu kümeyi {1, 2,... , 99} biçiminde ifade edebiliriz. Burada ilk birkaç eleman ile kümenin hangi elemanlardan oluştuğu anlaşılıyorsa geri kalan elemanları tek tek yazmak ^ yerine “...” (üç nokta) ile ifade ediyoruz. Kümenin elemanları bir yerde son buluyorsa, son bir ya da birkaç elemanı da yazıyoruz.

Kümeyi oluşturan elemanları tek tek saymak yerine sağladıkları özelliklerle bu kümeye dahil edilmesine “ortak özellik gösterimi” veya “kapalı gösterim” denmektedir.

A= { x | x sayısı 100’den küçük doğal sayı}

Bir kümenin elemanlarının yazılışında sıranın değiştirilmesi ya da elemanların tekrar edilmesi kümeyi değiştirmiyor.

Eğer A ? B ve B ? A ise A ve B kümeleri eşittir denir ve A = B olarak gösterilir. A ve B kümelerinin eşit olmaması durumu da A  B olarak gösterilir.

Örnek “LEBLEBİ” kelimesinin harfleri kümesi {B, E, İ, L} olur. Bu küme aynı zamanda “BELLİ” kelimesinin harfleri kümesine de eşittir.

A ? B ve A  B ise A kümesi B kümesinin öz altkümesidir denir.

Herhangi bir problemle ilişkili tüm kümeleri kapsayan kümeye “evrensel küme” diyoruz. Evrensel küme genel olarak E ile gösterilir. Evrensel küme seçilen probleme göre değişebilen bir kümedir.

Örneğin; yalnız 10’dan küçük doğal sayıları kullanacaksak  E = {1, 2,... , 9} olarak belirlemek yeterlidir

A ve B kümelerinden en az birine ait elemanların oluşturduğu kümeye A ve B kümelerinin birleşimi denir ve A? B ile gösterilir. Bir başka deyişle,

A?B = { x| x ? A veya x ? B}  olur.

Keyfi A, B, C kümeleri için birleşim ile ilgili şu özellikler geçerlidir.

• A? B = B ? A (Değişme özelliği)
• A? (B ? C)=(A? B) ? C (Birleşme özelliği)
• A? = A ve A? E = E
• A ? A? B ve B ? A? B

Boş küme eleman içermediğinden A kümesi ile birleşimi A olacaktır.

Evrensel küme, ilgili probleme ait tüm kümeleri içerdiğinden A kümesi ile birleşimi yine evrensel küme olacaktır.

A? B = {1,2,3},
B ? C = {2,3,4},
(A? B)? C = {1,2,3,4}
ve
A?(B ? C) = {1,2,3,4} olur.

Hem A hem de B ye ait elemanların oluşturduğu kümeye A ile B nin kesişimi denir ve A? B ile gösterilir.

Bir başka deyişle; A? B = {x| x ? A ve x ? B} olur.

A = {1, 3, 5} ve B = {1, 2, 3, 4} kümeleri için
A? B = {1, 2, 3, 4, 5}
A? B = {1, 3}
A\ B = {5} ve        (A kümesinde olup, B kümesinde olmayan)

B \ A = {2, 4} olur (B kümesinde olup, A kümesinde olmayan)

Ortak elemanları olmayan, bir başka deyişle kesişimleri boş olan kümelere “ayrık kümeler” denir.