Karar ağacı, tek aşamalı ya da çok aşamalı karar verme problemlerinde kullanılabilen ve problemde yer alan tüm öğeleri geometrik sembollerle temsil
eden grafiksel bir karar tekniğidir.

Karar ağacı, karar problemine ilişkin tüm öğeleri ve ayrıntıları grafiksel olarak göstermenin yanı sıra ağaç üzerinde beklenen değer hesaplamaları gerçekleştirilerek aynı zamanda problemin çözümünün elde edilmesini de sağlar.

Karar ağacı, olası her karar alternatifinin uygulanması durumunda karşılaşılabilecek kontrol edilemeyen değişken değerleri kümesi aynı olmayan karar problemleri için uygulanabildiği gibi, söz konusu değerler kümesinin aynı olduğu fakat her strateji için kontrol edilemeyen değişkenlerle karşılaşma olasılıklarının farklı olduğu durumlarda da kullanılır.

Karar ağacının öğeleri, karar düğümü, şans düğümü, bitiş düğümü, dal, sonuç ve olasılık biçiminde sıralanır. Karar probleminin çözüm sürecinde beklenen değerler hesaplanarak karar ağacına eklenir.

Karar ağacı üzerinde kare şekliyle gösterilen karar düğümü, karar değişkenini temsil eder. Karar verici, karar düğümünde en az iki seçenek arasından bir seçim yaparak karar verir. Karar ağacı genellikle verilen ilk kararla başlatıldığından, karar ağacının sol yanında konumlandırılan bir karar düğümü aynı zamanda başlangıç düğümü olur. Başlangıç düğümü kök düğüm olarak da ifade edilmektedir.

Şans Düğümü
Karar ağacı üzerinde daire şekliyle gösterilen şans düğümü, rassal değişkeni (şans değişkeni) temsil eder. Şans düğümü en azından iki olası sonucu gösterir. Karar ağacında belirli olasılıklarla belirli değerleri alabilen olayları simgeler. Açıklamalardan da anlaşılabileceği gibi şans düğümü doğal durumlara karşılık gelir.

Bitiş Düğümü
Karar ağacında kısa düşey çizgi ile gösterilir. Bitiş noktasını varış düğümü olarak kabul eden dal için nihai sonucu belirtir. Problemin karar veya maliyet yapılı olmasına göre bu nokta üzerinde toplam kâr veya maliyet gösterilir. Karar ya da şans dalından sonra bir bitiş düğümü varsa, bitiş düğümüne bağlanan dal, aynı zamanda bir bitiş dalı olur. Karar vericinin bu noktaya ulaşırken izlediği yol ise senaryo olarak adlandırılır.

Karar ağacı üzerinde düğümleri birbirine bağlayan çizgilere dal adı verilir. Bir karar düğümünün sağından çıkan çizgiye karar dalı denirken, bir şans düğümünün sağından çıkan çizgi şans dalı olarak adlandırılır. Yukarıdan aşağıya doğru çizilebilen karar ağaçları da olabilmesine rağmen, karar ağaçlarının çiziminde genel yaklaşım olarak soldan sağa doğru bir yön izlenir.

Bitiş düğümünde ortaya çıkan parasal tutardır. Net kâr ya da yatırımın geri dönüşü olarak da adlandırılabilen sonuç toplam gelirle maliyetler arasındaki farktır. Sonuç pozitif veya negatif olabilir. Pozitif sonuç net kâra, negatif sonuç net maliyete eşdeğerdir.

Bir şans düğümünden birden fazla dal çıkar. Her bir şans dalının belirli bir ortaya çıkma olasılığı bulunmaktadır. Standart karar ağacı yaklaşımında şans dalları üzerinde yer verilen ondalıklı sayılar bu olasılıkları ifade eder. Bir şans düğümünün tüm çıktılarına ilişkin olasılıkların toplamı 1 olmalıdır.

Karar Ağacı oluşturulurken yatay doğrultuda soldan sağa doğru bir yön izlenir. İlk düğüm genellikle bir karar düğümüdür. Karar düğümü ağaca yerleştirildikten sonra bu düğüme ilişkin karar değişkeninin alabileceği tüm olası değerler, düğümden sağ tarafa çıkan dallar (karar dalları) biçiminde çizime eklenir. Daha sonra, başlangıç kararından sonra ortaya çıkması beklenen olaylar veya kararlarla ilişkili bir şans düğümü veya bir diğer karar düğümü eklenir. Bir şans düğümünün sağ tarafında yer alan şans dallarına, doğal durumları kendilerine ait olasılıklarla birlikte eklenir. Ağacın çizimi bu şekilde soldan sağa doğru, sonuçlara ulaşılan bitiş düğümlerine kadar sürdürülür. Başlangıç düğümünden bitiş düğümüne giden bir yol izlendiğinde elde edilecek kazanç ya da yapılacak ödeme sonuç olarak dalın bitiş noktasına yazılır.

Bir karar probleminin karar ağacı ile çözümü için geriye doğru sonuç çıkarma veya geriye doğru katlama adı verilen analiz yöntemi kullanılır. Bu analiz yönteminin varsayımı, başlangıç seçeneğinin değerlendirilmesi için ilgili seçeneğin seçilmesi sonrasındaki tüm karar ve şans değişkenlerinin de dikkate alınması gerektiğidir. Bu nedenle ağacın en sonunda yer alan karar ve şans düğümleri ilk adımda analiz edilir ve sonra sırasıyla bir önceki noktalar incelenir ve bu işlemler başlangıç düğümüne ulaşılıncaya değin sürdürülür.

Bir şans düğümünden çıkan tüm doğal durumların beklenen değerleri hesaplanır. Bu amaçla her bir doğal durumunun olasılığı ile sonuç değeri çarpılıp her bir doğal durum için bulunan sonuç değerlerinin tümü toplanarak, ilgili şans düğümüne ilişkin beklenen değer elde edilir. Bulunan değer şans düğümünün yanına beklenen değer olarak yazılır. Bu işlemler sonrasında hesaplanan beklenen değerler, bir sonraki dalın sonucu olarak kabul edilir.

Bir karar düğümünde her bir karar seçeneği için verilen (hesaplanan) sonuçlar karşılaştırılır ve aralarından en iyisi (amaca en uygunu) seçilip diğerleri göz ardı edilir. Tercih edilmeyip göz ardı edilen karar seçenekleri dal üzerine çizilen çift çizgi (// sembolü) ile işaretlenir.

Karar ağacı tekniği uygulamalarında beklenen değer hesaplamaları genellikle şu kurallara göre gerçekleştirilir:
• Bir karar düğümüne bağlanan bitiş dalı için beklenen değer (BD), sonuca eşittir.
                            BD = Sonuç
• Bir şans düğümüne bağlanan bitiş dalı için beklenen değer, bu dalın sonucu ile
olasılığının çarpımıdır.
                           BD = Sonuç x Olasılık
• Bir şans düğümü için beklenen değer, her bir şans dalının sonucu ile bunlara
karşılık gelen olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.
                           BD = [BDdal1 + BDdal2 +...+ BDdalN]
• Bir karar düğümü için beklenen değer, karar düğümünden çıkan tüm karar dallarının beklenen değerleri içinde en büyük kazanç değerine (kâr yapılı problemlerde en yüksek değere, maliyet yapılı problemlerde en düşük değere) sahip olanıdır.

BD = Karar düğümünden çıkan tüm karar dalları arasından en yüksek beklenen değer
• Herhangi bir düğümün beklenen değeri, kök düğüm yönünde bağlantılı olduğu bir önceki düğümün sonuç değeridir

Bayes teoremi, 18. yüzyılda Thomas Bayes tarafından geliştirilen ve karar vermede çok önemli yeri olan sayısal bir analiz tekniğidir. Klasik karar kuramında da kullanılmasına rağmen Bayes teoreminin gerçek yerinin modern istatistik karar kuramı olduğu ileri sürülebilir.

Karar vericinin Bayes teoremini kullanarak parametreler hakkında yapacağı tahminlerde, sahip olduğu mevcut bilgileri, yani objektif ve subjektif olasılık bilgilerini, sonradan yapılan araştırmalar sonucunda elde edeceği ek bilgilerle ilişkilendirmesi gerekir.

Bayes teoreminin bir karar probleminin çözümünde kullanılmasında iki aşama sözkonudur. İlk aşamada, elde olan subjektif ve objektif bilgilere göre tahmin edilmek istenen parametrelere ilişkin bilgi öncesi (başlangıç) olasılık dağılımı belirlenir. İkinci aşamada ise örnekten elde edilen ek bilgilere göre parametrelerin bilgi sonrası dağılımı belirlenir ve bu dağılıma göre maksimum kâr ya da minimum maliyet değerini veren hareket şekli belirlenerek sonuca gidilir.

Bayes teoreminde kullanılan formül ile verilen bir olayın sonucu belli iken, bu sonucu meydana getiren nedenlerin olasılığı araştırılır. Diğer bir ifade ile Bayes formülünde neden ile sonuç yer değiştirmektedir.

P(C | H) = P(H |C)P(C)

________________

P(H | A)P(A) + P(H | B)P(B) + P(H |C)P(C)

= (0, 03)(0, 40)

___________________________________
(0, 02)(0,35) + (0, 06)(0, 25) + (0, 03)(0, 40)

= 0, 012

____________________________________
0, 007 + 0, 015 + 0, 012

= 0,3529

Bu sonuca göre, peçete paketinin hatalı olduğu bilindiğinde bu hatalı peçete paketinin üçüncü makinede paketlenmiş olması olasılığı 0,3529’dur.