Tanım kümesi ve değer kümesi diye adlandırılan iki küme bulunmalıdır. Her iki küme de boş küme olmamalıdır. Tanım kümesinden alınan her bir eleman değer kümesindeki bir elemana tanımlanırsa, buna fonksiyon denir.

X’in f altındaki görüntüsü adı verilir ve f(x) olarak gösterilir.

Tanım kümesindeki bütün elemanların görüntülerinin oluşturduğu kümeye fonksiyonun görüntü kümesi denir.

Bir fonksiyonun görüntü kümesi, değer kümesinin bir alt kümesidir.

Herhangi bir f fonksiyonunun değer kümesi ve görüntü kümesi birbirine eşitse, bu fonksiyona örten fonksiyon adı verilir.

Bu fonksiyon örten bir fonksiyon değildir. Örten bir fonksiyonda değer kümesi ve görüntü kümesi birbirine eşittir.

Tanım kümesi A, alfabemizdeki harflerinin kümesi, değer kümesi İlköğretim sözlüğünde yer alan kelimelerin kümesi olsun. A’dan alınan bir harfi S’de o harfle başlayan kelimelere eşitleyelim. Bu fonksiyon tanım kümesindeki herhangi bir değeri, değer kümesinde birden fazla değere eşitlediği için fonksiyon olamaz.

f matematiksel olarak bir fonksiyon değildir. Tanım kümesindeki bütün değerlere karşılık hiç bir değer olmamaktadır.

f A’dan B’ye bir fonksiyon olsun x, y A’nın içinde birbirinden farklı elemanlar olduğunu varsayalım. Eğer bütün farklı x ve y’ler için f(x) ve f(y) birbirine eşit değilse, bu fonksiyona bire-bir fonksiyon denir.

Görüntü kümesindeki her bir elemanı, tanım kümesindeki bir değere karşılık getiren fonksiyona f’in tersi adı verilir. Bu nedenle, bire-bir ve örten bir fonksiyonun tersi vardır.

Değer ve tanım kümeleri birbirine eşitse ve f(x)=x ise, f fonksiyonuna birim fonksiyon denir.

Görüntü kümesindeki her bir elemanı, tanım kümesindeki bir değere karşılık getiren fonksiyona f’in tersi adı verilir. Bu nedenle, bire-bir ve örten bir fonksiyonun tersi vardır.

Görüntü kümesi {1,2,....,80,81} olur. Türkiye’de en fazla il sayısı 81’dir.

Ters fonksiyonda tanım kümesi plaka numaraları ve görüntü kümesi Türkiye’deki illerin isimleridir. Fonksiyon, plaka numaralarını alarak, il isimlerini getirir.

Tanım kümesindeki her bir elemana karşılık, görüntü kümesinde sadece bir eleman bulunduğu için fonksiyon bire-bir fonksiyondur.

(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x + 2x = 3x.

g(x)=f(x)+f(x)+f(x)+f(x)+f(x)=5x.

g(x)=f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)=x⁵.

f(x)=2.54x

g(x)=f(x)f(x) =x².

g(r)=3.14f(r)f(r) =r².

f(x)=x fonksiyonu kendisinden çıkararak, g(x) = f(x) - f(x) =0 sabit fonksiyonu bulunur.

Yeni bir fonksiyon, örneğin h(x)=1 sabit fonksiyonu tanımlanır ve g(x)=h(x)/f(x) hesaplanarak g(x)=1/x fonksiyonu bulunur.

Örneğin, a ve –a değerleri için f(x)=a2 değerini verir. Buna göre tanım kümesindeki iki farklı değer, görüntü kümesindeki bir değere karşılık gelmektedir. Bu nedenle, ters fonksiyona verilen a2 değerine karşılık olarak, -a ve +a olarak iki değer vereceği için ters fonksiyonu bulmak mümkün değildir.

Önce düzlemde birbirine dik ve 0 (sıfır) noktalarında kesişen iki sayı doğrusu alıyoruz. Genelde bu doğrulardan birini yatay konumda ve artış yönü sağa olacak şekilde, diğerini ise düşey konumda ve artış yönü yukarı doğru olacak şekilde seçiyoruz. Yatay sayı doğrusuna x ekseni düşey sayı doğrusuna y ekseni adı verilir.

Düzlemdeki P adresi (a,b) sıralı ikilisidir. A’ya bu noktanın apsisi, b’ye ise P noktasının ordinatı denir.

Artan fonksiyonlarda, f(x)<f(y) olmalıdır.

Azalan fonksiyonlarda, f(x>)f(y) olmalıdır.

f A'dan B'ye bir fonksiyon olsun. x, y eleman A ve X eşit değildir B iken f(x) eşit değildir f(y) ise f'e birebir fonksiyon denir. 

f : A › B, y = f(x) fonksiyonu verilmiş olsun.

f^-1 : B › A, x = f^-1(y) bağıntısına, (B den A ya olan bağıntıya) f nin ters fonksiyonu denir. Dolayısıyla f^-1(3)=5'dir.

f : A › B,                 y = f(x)

g : B › C,                z = g(y) olmak üzere

gof : A › C,

(gof)(x) = g(f(x)) fonksiyonuna f ile g'nin bileşke fonksiyonu denir ve gof diye yazılır. (gof : Yazılışı g bileşke f diye okunur.)

• Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur. fog ? gof
• Bileşke işleminin değişme özelliği vardır. fo(goh) = (fog)oh
• I birim fonksiyon olmak üzere, foI = lof = f dir.
• fof^-1 = f^-1of = I dir.
• (fog)^-1 = g^-1of^-1 dir.
• (f^-1)^-1 = f dir.

?x?R için y=3x-4?R olduğundan f bağıntısı bir fonksiyondur.

f(6)=f(4+2)=4f(4)-3=4·5-3=17
f(8)=f(6+2)=6f(6)-3=6·17-3=99

f(x) fonksiyonu birebir değildir çünkü görüntü kümesindeki her bir eleman tanım kümesindeki tek bir x ile eşleşmez.
Örneğin x yerine 2 veya -2 , f(2)=5 f(-2)=5 , koyduğumuzda fonksiyondan çıkan sonuç 5 olur, tanım kümemizdeki iki değerin de değer kümesindeki görüntüsü aynıdır, bu yüzden birebir değildir.