Rassal ağ düşüncesi, Paul Erdos ile Alfréd Rényi’ye dayanır. Erdos – Rényi rassal ağ modelinde (Erdos ve Rényi, 1959) iki düğümün birbirleri ile bağlantılı olmaları, sabit bir
olasılıkla gerçekleşir. Eğer sabit bir olasılıkla rassal bir şekilde düğüm çiftleri arasında
bağlantılar oluşturulursa, sonuçta elde edilen ağ bir rassal ağ olur. Bir anlamda istatistikteki normal dağılıma benzeyen rassal ağ modeli, sosyal ağ analizinde bir referans noktası
önemine sahiptir. Analizlerde rassal ağ, istatistikteki normal dağılım gibi ağların türlerini
belirlemek ve ağların rassal ağdan ne ölçüde saptıklarını görebilmek için belirli bir dayanak noktası oluşturur.

Şekil 3.3’te (s.47) elde edilen gerçek derece
dağılımları ile teorik olarak binom dağılımı ile hesaplanan derece dağılımları arasındaki
benzerliğe dikkat ediniz. Şekil 3.3’ün altında ise bu ağların ortalama patika uzunlukları,
yarıçapları ve yoğunlukları yer almaktadır. Elde edilen değerlerden p bağlantı olasılığı
büyüdükçe, ortalama patika uzunluğunun ve yarıçapın kısaldığını, buna karşılık yoğunluğun ise arttığını anlıyoruz.

Ağda iki kişinin birbirlerine ne kadar uzaklıkta oldukları sorusu akla sık gelen bir sorudur
ve bu çerçevede “patika” kavramı ağ çalışmaları için çok önemli bir kavramdır. Patikayı
“bir düğümle başlayıp bir düğümle biten bir bağlantı dizisi” olarak tanımlayabiliriz. Komşu
olmayan iki kişi arasındaki uzaklık, birinden diğerine olan en küçük sıçrama sayısı ile ölçülebilir

Kümelenme katsayısını (clustering coefficient) en basit şekilde şöyle açıklayabiliriz: Eğer bir
sosyal ağda arkadaşlarınız da birbirleri ile arkadaşlarsa, birbirlerini tanıyorlarsa, kümelenme katsayınız yüksektir. Eğer arkadaşlarınız birbirini tanımıyorsa, o zaman da kümelenme katsayınız düşüktür. Kümelenme katsayısı arkadaşlarımızın birbirleri ile ne kadar
arkadaş olduklarını ölçer. Bir yönsüz ağın kümelenme katsayısı ağdaki üçgen sayıdır. Bir
ağın genel kümelenme katsayısı, her düğümün lokal kümelenme katsayısına dayanır

Milgram, 1967 yılında 60 mektup yollayarak bir deney gerçekleştirdi. Mektup
Cambridge, Massachusetts’ de bir yere gidecekti
ve deneye katılanlardan bu mektubu arkadaşlarının arkadaşlarına ulaştırarak istenilen kişiye göndermeleri isteniyordu. İlk anda deneye katılım az
olsa da sonraları Milgram bunu çeşitli yollardan
artırarak, mektubun ortalama altı adımda istenilen yere ulaştığını belirledi. Sonraları bu olgu
sosyolojide ve ağ kuramında “altı adım hipotezi”
olarak yer aldı.

Bir küçük dünya ağı şu iki ilke ile oluşturulabilir: Bir düğüm, kendine benzeyen düğümlere
eklensin (homophily). Diğer bir deyişle, bir düğüm kendisine r yarıçapı veya daha yakın
uzaklıkta olan düğümlere eklensin. Bir düğüm rassal olarak seçilecek ve zayıf bağlar oluşturacak ağın uzak noktalarında bulunan k tane düğüme eklensin.
Bunlardan birinci ilke üçlü kapanmalar ve üçgenler oluştururken; ikinci ilke ise, bir
dallanma yapısı oluşturarak düğümlere birkaç adımda erişilmesini sağlar.

Bir ağın küçük dünya ağı olup olmadığını anlamak için o ağın ortalama patika uzunluğu ile aynı büyüklükteki rassal ağın ortalama patika uzunlukları ve ağların kümelenme
katsayıları karşılaştırılır. Rassal ağların ortalama patika uzunlukları ve kümelenme katsayıları çok küçük olduğu için:
• Ağın ortalama patika uzunluğu/Aynı büyüklükteki rassal ağın ortalama patika büyüklüğü 1 değerine yakınsa,
• Ağın kümelenme katsayısı/ Aynı büyüklükteki ağın kümelenme katsayısı 1’den büyükse,
• Veya küçük dünya katsayısı olan: Ağın kümelenme katsayısı/ Ortalama patika
uzunluğu ne kadar büyükse o ağ küçük dünya ağı özelliklerine o kadar yakındır
(Uzzi ve Spiro, 2005).

Eğer bir ağda düğümler derecelerine bakmaksızın başka düğümlerle rassal bağlantılar kuruyorsa bu ağlar nötral ağlardır.

Eğer bir ağda düğümler derecelerine bakmaksızın başka düğümlerle rassal bağlantılar kuruyorsa bu ağlar nötral ağlardır. Bunun
tersine eğer merkezî düğümler merkezî düğümlere ekleniyorsa, bu ağlar sınıflandırıcı (assortative); bunun tersine çok bağlantısı olan düğümler zayıf bağlantısı olan düğümlerle
bağlantı kuruyorlarsa, o zaman da bu ağlar sınıflandırıcı olmayan (dissassortive) ağlardır.
Ünlülerin ünlülerle evlenmesi sınıflandırıcı ağlara, eski Türk filmlerinde zengin kızın,
fakir erkekle veya zengin erkeğin fakir kızla evlenmesi ise sınıflandırıcı olmayan ağlara
örnek olarak verilebilir. Sosyal ağlar sınıflandırıcı, teknolojik ve biyolojik ağlar ise sınıflandırıcı olmayan ağlardır.

Toplum sağlığı ve güvenliği açısından da ağlar çok önemli. Virüsler yada yenilikler insandan
insana bulaşarak ağlarda yayılabiliyor. Microsoft Sözlüğü (Microsoft, 1997) bulaşmayı şu
şekilde tanımlıyor: “Bir hastalığın, bir insan veya nesne ile doğrudan temas ile geçmesi;
bir hastalığın veya zehrin bu yolla aktarılması; duygusal durumun, heyecanın, zararlı bir
etkinin aktarılması” olarak tanımlıyor.
Örneğin, virüsler ilk karşılaşmada bulaşabilirken (basit bulaşma), yenilikler ancak birkaç karşılaşmadan sonra ve karşılaşma sayısında belirli bir eşik aşıldığında bulaşabiliyor
(karmaşık bulaşma). Kısaca ağların, bizim açımızdan, gördükleri fonksiyonlar kadar tehlikeleri de var. Bu nedenle ağların türleri ile virüslere veya başka tehlikelere dirençli olup
olmadıklarının incelenmesi gerekiyor.

Saldırılarla karşılaştığında bile iyi performans gösteren bir ağ dirençli bir ağdır. Kabaca
rassal ağlar dirençli ağlardır çünkü bu ağlarda bütün düğümler belirli bir olasılıkla başka
düğümlere bağlanırlar. Buna karşılık, merkezî düğümlerin olduğu ağlar, bu düğümlerin
hedef alınması koşuluyla dirençsiz ağlardır.

sabit olasılık arttıkça rassal ağlardaki bağlantı sayısı da artmaktadır.

Bir çizgede N düğüm varsa ve her bir düğüm ortalama z bağlantıya sahip ise, her bağlantının gerçekleşmesi olasılıkları birbirinden bağımsız ve p ise, p= z/ (N-1) olur ve N
büyüdüğünde (büyük ağlar için) bu değer yaklaşık olarak z/N değerine eşit olur. Belirli bir düğümün sahip olduğu bağlantı sayısı olan k’nın dağılımı “derece dağılımı” adını alır.

İki kişi arasındaki en kısa patika, jeodezik
uzaklık (geodesic distance) adını alır. Yarıçap
(diameter) ise, bağlantılı bir ağda en büyük jeodezik uzaklıktır.

Bir yerel kümelenme katsayısı, bir düğümün komşularının ne derecede birbirleri ile
bağlantı içinde olduğunu gösterir.

ki derecesine sahip bir i düğümünün yerel
kümelenme katsayısı şu şekilde hesaplanabilir:
Ci = 2Li / ki(ki -1)

Burada Li, i düğümünün ki komşusu arasındaki bağlantı sayısını gösterir. Ci= 0 bize,
i düğümünün komşuları arasında hiçbir bağlantı olmadığını; Ci= 1 bize, i düğümünün
komşularının tam bir ağ oluşturarak tümünün birbiriyle bağlantı içinde olduğunu gösterir. Aynı korelasyon katsayısı gibi bu katsayı da özel durumlar dışında 0 veya 1 çıkmaz. Örneğin; Ci = 0,50 bize i düğümünün iki komşusunun bağlantı içinde olma olasılığının 0,50 olduğunu gösterir.

Ortalama kümelenme katsayısı ise bize i=1,…N’ye kadar olan tüm düğümler için hesaplanan kümelenme katsayılarının ortalamasını gösterir. Yine bu katsayının da yorumu rassal olarak seçilen iki düğümün bağlantı içinde olma olasılığı olarak yapılabilir.

2001 yılında Duncan Watts, Milgram’ın deneyini bu kez Internet ortamında, 166 ülkeden 61168 kişinin oluşturduğu 24163 farklı e-posta zinciri ile denedi ve ortalama adım
sayısını yine altı olarak buldu.

Küreselleşme olgusu ile dünyanın küçük bir köy hâline geldiği çok sık tekrarlanan bir
cümledir. Ancak ulaşım ve haberleşme olanaklarının çok yeterli olmadığı dönemlerde bile
dünyanın bizim sandığımızdan daha küçük olduğunu Steve Milgram kanıtlamıştır. Altı
adım hipotezi aslında eskiden beri çoğumuzun bildiği, “Nepal’de gezerken bizim siteden
bir komşuya rastladık. Dünya gerçekten çok küçükmüş!” cümlesinin bilimsel kanıtıdır.

teknolojinin etkisi ile dünya hâla küçük bir köy hâline gelmeye
devam etmektedir. Bunun kanıtı olarak ise, 2011 yılında Facebook veri takımı’nın vardığı
bir sonucu verebiliriz. Bu sonuca göre, Facebook’ta altı derecelik ayrılık dört dereceye
düşmüş bulunmaktadır. Kısaca günümüzde Facebook’ta, birbirini hiç tanımayan iki kişi
arasındaki uzaklık dört adıma düşmüş bulunmaktadır (The Telegraph, 2011).