m denklem ve n değişkenin olduğu (mxn’lik ve m<n) bir sistemin çözümünde, diğer (n-m) tane değişken sıfır değerini almak üzere, ancak denklem sayısı (m) kadar değişkene değer bulunabilir. Burada sıfır değeri verilen değişkenlere temel dışı, değer alması için çözüme alınan değişkenlere ise temel değişken denir.

Analitik yöntem, kısıtları eşitlik haline getirilmiş bir denklem sisteminin belirtilen şekilde tüm çözümlerini elde ederek  içlerinden temel uygun çözüm (uç nokta) olanlarını bulmaktadır. Temel uygun çözüm olma özelliği sağlayanlar arasından amaç  fonksiyonu değerini eniyileyen, problemin eniyi çözümünü verecektir.

Temel dışı değişkenler sıfır iken temel değişkenler için bulunan çözüme temel çözüm denir. Bir temel çözümde tüm temel değişkenler sıfır veya sıfırdan büyük değer aldıysa bu çözüme bir temel uygun çözüm denir.

Simpleks Algoritması, grafik ve analitik yöntemlerin uygulamadaki güçlüklerini taşımayan, ardışık sayısal çözüm tekniği sınıfında bir yöntemdir. Basitce izlediği yol, bir uç noktadan başlayarak amaca göre daha iyi çözüm verecek başka bir uç noktaya geçmek (eğer varsa) ve istenen yönde iyileşmenin olmadığı durumda da durmaktır. Simpleks Algoritması ile problemin denklem sistemini çözen, uç nokta olsun olmasın tüm noktalarını bulmak gerekmediği gibi, sadece uç noktaların bile tümünün sınanmasına gerek kalmayabilmektedir. Algoritma, her adımda, uygun çözüm alanının bir uç noktasını bulup irdelemekte ve bu noktanın eniyi çözüm olup olamayacağını sınamaktadır. Nokta eniyi çözüm değilse, amaca göre daha iyi bir çözüm verecek izleyen uç noktayı bulur. 

AX=b şeklindeki, doğrusal bağımsız vektörlerden oluşan, m denklem ve n değişkenin olduğu (mxn’lik ve m<n) bir sistemin çözümünde, diğer (n-m) tane değişken sıfır değerini almak üzere, ancak denklem sayısı (m) kadar değişkene değer bulunabilir.

Bu durumda bizim sorumuzda; 7-3=4 değişkene sıfır verilerek 3 değişkene değer bulunabilir

x₁ ve x₃ temelde, x₂ ve x₄ temel dışı değerde (=0) ise denklemler şu şekilde olacaktır:

2x₁ + 5x₃ = 9

3x₁ + 4x₃ = 11      Birinci denklemi (-3) ile ikinci denklemi 2 ile çarpalım.

-6x₁ - 15x₃ = -27

6x₁ + 8x₃ = 11

==>

-7x₃ = -16

==>

x₃ = 16/7

x₁ = 205 / 42

Bir temel çözümde, tüm değişkenler  sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmakla birlikte, temelde olduğu halde sıfır değerini alan bir değişken var ise, elde edilen çözüme dejenere (bozulmuş) çözüm denir.

Böyle bir tabloda x₀ ile gösterilen satır amaç fonksiyonuna karşılık gelir.

• LINDO
• LINGO
• GAMS gibi yazılımlar karar modellerinin çözümü için geliştirilmiştir.

Enküçükleme problemi için eniyilik koşullarının sağlandığının göstergesi x₀ satırında, temelde olmayan değişkenlerin hiç birisi için pozitif değerin olmamasıdır.

Her probleme karşı gelen matematiksel model, kısıtları eşitlik haline getirildiğinde A’da birim matris içermeyebilir. Bu gibi durumlarda denklem sistemine başlangıç çözüme karşı gelmek üzere, birim matrisi oluşturacak şekilde, gerektiği sayıda yeni değişken eklenir ve Simpleks Algoritması’nın özel bir hali kullanılır.

X* ve X*** temel uygun çözüm ve uç noktadır. 

X** ise negatif değer içerdiği için temel uygun çözüm değildir.

Modelin Simpleks Algoritması ile çözülebilmesi için önce kısıtların eşitlik haline getirilmesi gerekir.  ? (? ) şeklindeki kısıtların eşitlik haline getirilmesi için kısıtın küçük (büyük) olan tarafına yeni bir değişken eklentisi gerekir.

Kısıt içeren bir amaç fonksiyonu olduğunda; modelin Simpleks Algoritması ile çözülebilmesi için önce kısıtların eşitlik haline getirilmesi gerekir. ?  ( ?) şeklindeki kısıtların eşitlik haline getirilmesi için kısıtın küçük (büyük) olan tarafına yeni bir değişken eklentisi gerekir

Modeli eşitlik haline getirmek için bu şekilde eklenen değişkenlere aylak (? kısıtı için) ve artık (? kısıtı için) değişken denir.

Simpleks Algoritması’nı uygulayabilmek için verilen denklem sisteminin kısıtlarının eştlik haline getirilmesi gerekir. Bu durumda m denklem ve n değişkenli AX=b sisteminde mxm’lik bir birim matris varsa, karşı gelen değişkenler başlangıç temel değişkenler olarak alınırlar. Öte yandan birim matrisin denklem sistemi eşitlik haline getirildiğinde kendiliğinden elde edilmediği durumlarda, sisteme, gerektiği kadar yeni değişken eklentisiyle bu eksiklik giderilmektedir. Bu tür değişkenlere yapay değişken denir. 

Modeldeki kısıt sayısı kaç ise tabloda, x₀ satırının alt kısmında o kadar sayıda satır yer alır.

Ardıştırma;

1. Bir çözümün eniyi çözüm olmaması halinde temele girecek ve çıkacak olan değişkenlere karar verme,
2. Temele girecek değişkenin tabloda kısıtlar bölümüne karşı gelen kısmındaki katsayılarının birim matrisin ilgili sütununa dönüştürülmesi
3. x₀ satırında karşı gelen değerinin sıfırlanması aşamalarından oluşur.

Temele girecek değişkenin bulunduğu sütunda, x₀ satırı dışındaki değerlerin tümü ? 0 ise problemin sınırsız çözümü var demektir.