GENEL MATEMATİK Dersi FONKSİYONLAR soru cevapları:

Toplam 49 Soru & Cevap
PAYLAŞ:

#1

SORU:

Fonksiyonun tanım kümesi ve değer kümesi ne
demektir?


CEVAP:

A kümesinden B kümesine tanımlanan (A ve B
boştan farklı olmak üzere) bir f fonksiyonu için A
kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine ise
fonksiyonun değer kümesi adı verilir.


#2

SORU:

Tanım kümesinden alınan bir elemanın f fonksiyonu
altında değer kümesinde eşlediği elemana ne denir?


CEVAP:

f fonksiyonunun tanım kümesindeki herhangi bir
a elemanını, değer kümesinde eşlediği elemana, a’nın
f altındaki görüntüsü denir ve f(a) ile gösterilir.


#3

SORU:

Bir f : A → B fonksiyonu için, fonksiyonun görüntü
kümesi ne demektir?


CEVAP:

f : A → B fonksiyonu için, A kümesindeki
elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu
kümeye, f’nin görüntü kümesi denir ve bu küme f (A)
olarak gösterilir. Bu küme aynı zamanda aşağıdaki küme
ile ifade edilir:
                       f {A} = {f (a)|a ∈ A}


#4

SORU:

Sabit fonksiyon ne demektir?


CEVAP:

f : A → B fonksiyonu A kümesinin her elemanını
B kümesinin aynı elemanı ile eşliyorsa f ’ye sabit
fonksiyon denir.
Diğer bir deyişle c ∈ B olmak üzere, A kümesinden alınan
her a elemanı için, f (a) = c ise f’ye sabit fonksiyon
denir.


#5

SORU:

Bire-bir fonksiyon nedir?


CEVAP:

Verilen bir f : A → B fonksiyonu için;
X1 , X∈ A olmak üzere,
X1  ≠  X2 iken f(X1 ) ≠ f( X2) oluyorsa,
f fonksiyonuna bire-bir fonksiyon denir.
Bu tanım aynı zamanda f (X1) = f( X2) iken X1  X2
oluyorsa şeklinde de okunabilir. Bu koşul sağlanıyorsa da
f fonksiyonuna bire-bir fonksiyon denir.


#6

SORU:

Örten fonksiyon ne demektir?


CEVAP:

f : A → B fonksiyonu verilsin.
Her b ∈ B için, f (a) = b olacak şekilde bir a ∈ A varsa,
f fonksiyonuna örten fonksiyon denir.
Bu tanıma denk olarak, görüntü kümesi değer kümesine
eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir.
Diğer bir deyişle, f : A → B fonksiyonu için;
f (A) = B oluyorsa, f örten bir fonksiyondur.


#7

SORU:

f : A → B ve g: A → B gibi iki fonksiyonun eşit olması
için gereken şart nedir?


CEVAP:

Verilen f ve g fonksiyonlarının eşit olması için
tanım kümesinden alınan her a elemanı için;
f a = g(a) oluyorsa,
f ve g fonksiyonları eşittir denir.


#8

SORU:

Tanımlanan bir f : A → A fonksiyonu için, “f, A
kümesinin birim fonksiyonudur” diyebilmemiz için hangi
şartı sağlamalıdır?


CEVAP:

f : A → A  fonksiyonu A kümesinin her a
elemanını yine a ile yani kendisiyle eşliyorsa, f ’ye A
kümesinin birim fonksiyonu denir.
Birim fonksiyon genelde f yerine I ile ya da tanım
kümesini belirtmek için Iile gösterilir.


#9

SORU:

f : A → B  fonksiyonun ters fonksiyonu ne anlama
gelir?


CEVAP:

Verilen f : A → B  fonksiyonu için f-1 : B → A   ters
fonksiyonu b ∈ B için f-1  (b) = a olarak tanımlanır.
Burada a, f (a) = b koşulunu sağlayan yegane elemandır.


#10

SORU:

f : A → B fonksiyonun ters fonksiyonu olabilmesi için
fonksiyonun sahip olması gereken özellikler nelerdir?


CEVAP:

Verilen f : A → B fonksiyonun, bire-bir ve örten
fonksiyon olması gerekmektedir.


#11

SORU:

f : A → B fonksiyonun örten olmaması ters
fonksiyonun tanımlanmasında ne gibi bir soruna yol açar?


CEVAP:

f : A → B fonksiyonu örten değilse o zaman B
kümesinde, A kümesindeki hiçbir elemanın görüntüsü
olarak ortaya çıkmayan en az bir eleman vardır.


#12

SORU:

f : A → B fonksiyonun bire-bir olmaması ters
fonksiyonun tanımlanmasında ne gibi bir soruna yol açar?


CEVAP:

f : A → B fonksiyonu bire-bir değilse A
kümesinde a1  ve  a  gibi öyle farklı iki eleman vardır ki,
bunların görüntüleri aynı b elemanı olur. Bu durumda
seçilecek eleman keyfi olacaktır.


#13

SORU:

f : A → B  fonksiyonu ile g : B → C   fonksiyonunun
bileşke fonksiyonu nasıl tanımlanır?


CEVAP:

Verilen f : A → B  ile g : B → C   fonksiyonlarının
bileşkesi g º f : A → C   dir.
Bir a ∈ A için;
(g º f )(a) = g(f (a) ) fonksiyonuna,
f ile g fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.


#14

SORU:

f : A → B  fonksiyonu bire-bir ve örten olsun. Bu
durumda f ’nin ters fonksiyonu olan f-1 : B → A
fonksiyonu ile bileşkesi hangi özel fonksiyon olur?


CEVAP:

f : A → B  bire-bir ve örten fonksiyonu için;

f-1  º f = I
ve
f º f-1 = IB olur.

Yani birim fonksiyondur.


#15

SORU:

f : R → R mutlak değer fonksiyonu nasıl ifade edilir?


CEVAP:

Parçalı tanımlı bir şekilde aşağıdaki gibi ifade
edilir:
f (x) = |x| = { -x, x ≤ 0 ise

                        x, x > 0 ise


#16

SORU:

Verilen f : A ⊆ R → R ve g : A ⊆ R → R fonksiyonları
için bu fonksiyonların toplamı nasıl ifade edilir?


CEVAP:

a ∈ A olmak üzere;
             f + g : A → R
     (f + g) (a) = f (a) + g(a)
            olarak tanımlanır.


#17

SORU:

Verilen f : A ⊆ R → R ve g : A ⊆ R → R fonksiyonları
için bu fonksiyonların farkı nasıl ifade edilir?


CEVAP:

a ∈ A olmak üzere ;
                   f - g: A  R
             (f - g)(a) = f (a) − g(a)
                olarak tanımlanır.


#18

SORU:

Verilen f : A ⊆ R → R ve g : A ⊆ R → R fonksiyonları
için bu fonksiyonların çarpımı nasıl ifade edilir?


CEVAP:

a ∈ A olmak üzere;
               f . g: A  R
        (f . g)(a) = f(a) . g(a)
            olarak tanımlanır.


#19

SORU:

f:RR, f(x) = 3x + 7 fonksiyonu veriliyor. Buna
göre 2f(0) − f(3) değeri kaça eşittir?


CEVAP:

  f(x) = 3x + 7 ifadesinde x yerine 0 yazılırsa;
                f(0) = 3 * 0 + 7
                        = 7
                 olarak elde edilir.
Benzer şekilde fonksiyonun ifadesinde x yerine 3 yazılırsa; 
                   f(3) = 3 * 3 + 7
                          = 16
                       elde edilir.
Bulunan bu değerler yerlerine yazılırsa;
             2f(0) - f(3) = 2 * 7 - 16
                      = 14 - 16
                           = -2
                    değeri bulunur.


#20

SORU:

f:R → R, fonksiyonu;
                f(x) = {  5 - x, x ≤ 2


CEVAP:

Fonksiyon ikiden küçük ya da ikiye eşit olan x
sayılarını 5 - x değeri ile eşlediğinden ve 2 ≤ 2
olduğundan f(2) = 3’tür.
Benzer şekilde, fonksiyon ikiden büyük olan x sayılarını
6 + 2x değeri ile eşlediğinden ve 4 > 2 olduğundan;                                             f(4) = 14’tür.
Sorulan f(2) - f(4) değeri olduğundan bulunan sayılar
yerine yazılırsa;
                   f(2) - f(4) = 3 - 14 = -11
                         değerine ulaşılır.


#21

SORU:

Verilen f:R → R, f(x) = 5x ve g:R → R, g x =
x - 7 fonksiyonları için (f º g)(x) ve (g º f)(x)
fonksiyonlarını bulunuz.


CEVAP:

f ve g, R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olduğu
için her iki taraftan bileşke anlamlıdır ve f º g ile g º f de
R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olacaktır.
Her hangi bir x gerçel sayısı için (f º g) x = f(g x )
olduğundan;
                   (f º g) (x) = f (g (x)  )
                             = 5g (x)
                             = 5 (x - 7)
                             = 5x - 35
                         olarak bulunur.
Benzer şekilde (g º f) (x) = g(f (x) ) olduğundan;
                       (g º f) (x) = g (f (x) )
                              = f (x) - 7
                              = 5x - 7
                          olarak bulunur.


#22

SORU:

f:RR , f (x) = 2x + 10 ve g:RR , g(x) = 1
olsun.(f ° g)(7) ve (g ° f)(7) değerleri kaça eşittir?


CEVAP:

f ve g, R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olduğu
için her iki taraftan bileşke anlamlıdır ve f º g ile g º f de
R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olacaktır.

(f ° g)(7) sorulduğundan ve (f ° g) (7) = f(g (7))
olduğundan;
                 (f ° g) (7) = f(g (7))
                      = 2g (7) + 10
                       = 2 * 1 + 10
                              = 12
                       olarak bulunur.

Benzer şekilde (g ° f)(7) sorulduğundan ve (g °
f) (7) = g(f (7) ) olduğundan;
                  (g ° f) (7) = g (f (7))
                           = g 24
                              = 1
                       olarak bulunur.
Görüldüğü üzere;
                (f ° g)(7) ≠ (g ° f)(7)
                     olarak bulunur.


#23

SORU:

R ’nin kendisiyle Kartezyen çarpım kümesi nasıl
tanımlanır?


CEVAP:

Sıralı sayı çiftlerinin kümesine R’nin kendisiyle
Kartezyen çarpım kümesi denir ve şu şekilde ifade edilir:
              R×R = R2 = {(x, y)|x, y ∈ R}
(x, y) sıralı ikilisinde x’e sıralı ikilinin birinci bileşeni;
y’ye de ikinci bileşeni denir.


#24

SORU:

Kartezyen koordinat sistemini tanımlayınız.


CEVAP:

İki sayı doğrusunun, sıfır noktalarında dik olarak
düzleme yerleştirilmesi sonucunda kartezyen koordinat
sistemi oluşur.

Burada yataydaki sayı eksenine x ekseni ya da apsisler
ekseni, düşeydeki sayı eksenine ise y ekseni ya da
ordinatlar ekseni denir. Ayrıca sayı doğrularının
kesiştikleri noktaya başlangıç noktası adı verilir.


#25

SORU:

f: A ⊆ R → R fonksiyonunun grafiği nasıl tanımlanır?


CEVAP:

f: A ⊆ R → R fonksiyonu verilsin.

A kümesinin her bir x elemanı için x ile onun görüntüsü
olan f(x) ’in oluşturduğu (x, f(x)) sıralı ikililerinin
kümesine f’nin grafiği denir ve bu küme Gf ile gösterilir:
                    Gf = { (x, f (x) | x ∈ A) }


#26

SORU:

Düzlemde iki noktadan kaç doğru geçer?


CEVAP:

Düzlemde bir noktadan sonsuz çoklukta doğru
geçmesine karşın, farklı iki noktadan bir tek doğru geçer.


#27

SORU:

Fonksiyon kavramını tanımlayınız.


CEVAP:

Boş kümeden farklı A ve B kümeleri alalım. A mesinden B kümesine bir f fonksiyonu, A kümesinin her elemanına B kümesinin bir tek elemanını karşılık getirir. Burada A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi, B kümesine ise değer kümesi denir. A kümesinden B mesine bir f fonksiyonu, f:AB şeklinde gösterilir.


#28

SORU:

Görüntü kümesini tanımlayınız.


CEVAP:

f:AB fonksiyonu için, A kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye, f’nin görüntü kümesi denir ve bu küme f(A) olarak gösterilir. O halde f’nin görüntü kümesi, f(A)={f(a)|a?A} kümesidir.


#29

SORU:

Değer kümesi görüntü kümesinin alt kümesi midir?


CEVAP:

Hayır. Aksine görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir, çünkü görüntü kümesindeki her elaman değer kümesinde de bulunur, fakat değer kümesindeki bazı elemanlar görüntü kümesinde yer almayabilir.


#30

SORU:

Bire-bir fonksiyon nedir?


CEVAP:

f:AB fonksiyonu verilsin.x1,x2?A olmak üzere x1=x2 iken f(x1)=f(x2) oluyorsa, f fonksiyonuna bire-bir (1-1) fonksiyon denir. Buna denk olarak f(x1)=f(x2) iken x1=x2 ise f’ye bire-bir fonksiyon denir.


#31

SORU:

f(x)=x+2 bire-bir fonksiyon örneği midir?


CEVAP:

Evet. Her bir x için bir tane x+2 değeri vardır.


#32

SORU:

Örten fonksiyon nedir?


CEVAP:

f:AB fonksiyonu verilsin. Her b?B için f(a)=b olacak şekilde bir a?A varsa, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Ya da buna denk olarak, görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona, örten fonksiyon denir. Yani f:AB fonksiyonu için f(A)=B ise f örtendir.


#33

SORU:

A pozitif tam sayılar kümesi olsun. A kümesindeki her bir x elemanı için

f(x)=2x+3 şeklinde bir fonksiyon tanımlansın. Bu f(x) fonksiyonu örten midir?


CEVAP:

Evet örtendir. A=(1,2,3,4....) olmak üzere B=(5,7,9,11...) kümesi f(x)=2x+3 fonksiyonunun değer kümesini oluşturur. B kümesinde açıkta kalan eleman bulunmamaktadır.


#34

SORU:

Sabit fonksiyon nedir?


CEVAP:

f:AB fonksiyonu A kümesinin her elemanını B kümesinin aynı elemanı ile eşliyorsa f’ye sabit fonksiyon denir. Yani c?B olmak üzere, A kümesinden alınan her a elemanı için f(a)=c ise f’ye sabit fonksiyon denir.


#35

SORU:

f(x)=x, g(y)=3, h(t)=2t fonksiyonlarından hangileri sabit fonksiyondur?


CEVAP:

Sadece g(y)=3 sabit fonksiyondur, zira y ne olursa olsun değer kümesinde tek eleman bulunmaktadır.


#36

SORU:

Birim fonksiyon nedir?


CEVAP:

f:AA fonksiyonu A kümesinin her a elemanını yine a ile yani kendisi ile eşliyor ise f’ye A kümesinin birim fonksiyonu denir. Birim fonksiyon genelde f yerine I ile, veya tanım kümesini vurgulamak için IA ile gösterilir.


#37

SORU:

Birim fonksiyonlar aynı zamanda birebir ve örten midir?


CEVAP:

Evet, birim fonksiyonlar hem birebir hem örtendir. Zira tanım kümesi, değer kümesi ve görüntü kümesi aynı olduğundan, her elemanın tek bir karşılığı vardır ve açıkta kalan eleman yoktur.


#38

SORU:

Bileşke fonksiyon nedir?


CEVAP:

f:AB, g:BC fonksiyonları verilsin. Bu durumda g?f:AC,(g?f)(a)=gf(a) fonksiyonuna,f ile g fonksiyonunun bileşke fonksiyonu denir.


#39

SORU:

Ters fonksiyon nedir?


CEVAP:

f:AB, bire-bir örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda,f fonksiyonunun ters fonksiyonu f-1 ile gösterilir. f-1 :BA fonksiyonu b?B için f-1(b)=a olarak tanımlanır. Burada a, f(a)=b eşitliğini sağlayan yegane elemandır.


#40

SORU:

f(x)=2x-1 ve g(x)=x2 fonksiyonları için (f+g)(2)=?


CEVAP:

(f+g)(x)=2x-1+x2

olacağından (f+g)(2)=7 olur.


#41

SORU:

x bir gerçel sayı ise f(x)=x2 fonksiyonu için değer kümesini tanımlayınız.


CEVAP:

f(x)=x2 olduğundan değer kümesi negatif olmayan gerçel sayılar kümesi olur.


#42

SORU:

f(x)=3/x fonksiyonu için değer kümesini tanımlayınız.


CEVAP:

x hangi değeri alırsa alsın 3/x sıfır değerini almayacaktır. Bu nedenle değer kümesi sıfır hariç tüm gerçel sayılardır.


#43

SORU:

Fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?..


CEVAP:

f : A  B fonksiyonu için, A kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye, f ’nin görüntü kümesi denir ve bu küme f (A) olarak gösterilir. O halde f ’nin görüntü kümesi,

f (A) = {f (a) | a  A} kümesidir.


#44

SORU:

Bire-bir fonksiyon nedir?


CEVAP:

f : A  B fonksiyonu verilsin. x1, x2  A olmak üzere x1  x2 iken f (x1) f (x2) oluyorsa, f fonksiyonuna bire-bir(1-1) fonksiyon denir. Buna denk olarak f (x1) = f (x2) iken x1 = x2 ise f ’ye bire-bir fonksiyon denir.


#45

SORU:

Örten fonksiyon nedir?


CEVAP:

f : A › B fonksiyonu verilsin. Her b ? B için f (a) = b olacak şekilde bir a ? A varsa, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Ya da buna denk olarak, görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona, örten fonksiyon denir. Yani f : A › B fonksiyonu için f (A) = B ise f örtendir.


#46

SORU:

Eşit fonksiyon nedir?


CEVAP:

f, g : A› B fonksiyonları verilsin. Eğer tanım kümesinden aldığımız her a elemanı için, f (a) = g(a) oluyorsa, f ile g fonksiyonları eşittir.


#47

SORU:

Ters fonksiyon nedir?


CEVAP:

f : A › B, bire-bir örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda, f fonksiyonunun ters fonksiyonu f-1ile gösterilir.

f-1: B › A fonksiyonu b ? B için f-1(b) = a olarak tanımlanır. Burada a, f (a) = b eşitliğini sağlayan yegane elemandır.


#48

SORU:

f :R ›R , y = f (x) = x2+ x - 2 kuralı ile verilen fonksiyon için, x = 3’e karşlık gelen y = f (3) değerini bulunuz.


CEVAP:

f (x) = x2+ x -2 ifadesinde, x gördüğümüz yere 3 yazarsak

f (3) = 32+3-2 = 9+3-2 = 10 olarak buluruz.


#49

SORU:

f :R  ›R

f (x) = x +5 fonksiyonu örten midir?


CEVAP:

Görüntü kümesi değer kümesine eşit mi yani? Bunun için değer kümesinden keyfi y elemanı alıp,

f (x) = y olacak biçimde x’in olup olmadığına bakacağız. Aldığımız keyfi y için bu özellikte bir x varsa, fonksiyon örtendir diyeceğiz.

y = x + 5 denkleminden x = y - 5 olur. Yani x = y - 5 için f (x) = y’dir. O halde, f örtendir.