A kümesinden B kümesine tanımlanan (A ve B
boştan farklı olmak üzere) bir f fonksiyonu için A
kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine ise
fonksiyonun değer kümesi adı verilir.

f fonksiyonunun tanım kümesindeki herhangi bir
a elemanını, değer kümesinde eşlediği elemana, a’nın
f altındaki görüntüsü denir ve f(a) ile gösterilir.

f : A → B fonksiyonu için, A kümesindeki
elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu
kümeye, f’nin görüntü kümesi denir ve bu küme f (A)
olarak gösterilir. Bu küme aynı zamanda aşağıdaki küme
ile ifade edilir:
                       f {A} = {f (a)|a ∈ A}

f : A → B fonksiyonu A kümesinin her elemanını
B kümesinin aynı elemanı ile eşliyorsa f ’ye sabit
fonksiyon denir.
Diğer bir deyişle c ∈ B olmak üzere, A kümesinden alınan
her a elemanı için, f (a) = c ise f’ye sabit fonksiyon
denir.

Verilen bir f : A → B fonksiyonu için;
X₁ , X₂ ∈ A olmak üzere,
X₁  ≠  X₂ iken f(X₁ ) ≠ f( X₂) oluyorsa,
f fonksiyonuna bire-bir fonksiyon denir.
Bu tanım aynı zamanda f (X₁) = f( X₂) iken X₁ =  X₂
oluyorsa şeklinde de okunabilir. Bu koşul sağlanıyorsa da
f fonksiyonuna bire-bir fonksiyon denir.

f : A → B fonksiyonu verilsin.
Her b ∈ B için, f (a) = b olacak şekilde bir a ∈ A varsa,
f fonksiyonuna örten fonksiyon denir.
Bu tanıma denk olarak, görüntü kümesi değer kümesine
eşit olan fonksiyona örten fonksiyon denir.
Diğer bir deyişle, f : A → B fonksiyonu için;
f (A) = B oluyorsa, f örten bir fonksiyondur.

Verilen f ve g fonksiyonlarının eşit olması için
tanım kümesinden alınan her a elemanı için;
f a = g(a) oluyorsa,
f ve g fonksiyonları eşittir denir.

f : A → A  fonksiyonu A kümesinin her a
elemanını yine a ile yani kendisiyle eşliyorsa, f ’ye A
kümesinin birim fonksiyonu denir.
Birim fonksiyon genelde f yerine I ile ya da tanım
kümesini belirtmek için I_A ile gösterilir.

Verilen f : A → B  fonksiyonu için f^-1 : B → A   ters
fonksiyonu b ∈ B için f^-1  (b) = a olarak tanımlanır.
Burada a, f (a) = b koşulunu sağlayan yegane elemandır.

Verilen f : A → B fonksiyonun, bire-bir ve örten
fonksiyon olması gerekmektedir.

f : A → B fonksiyonu örten değilse o zaman B
kümesinde, A kümesindeki hiçbir elemanın görüntüsü
olarak ortaya çıkmayan en az bir eleman vardır.

f : A → B fonksiyonu bire-bir değilse A
kümesinde a_{1  ve}  a₂   gibi öyle farklı iki eleman vardır ki,
bunların görüntüleri aynı b elemanı olur. Bu durumda
seçilecek eleman keyfi olacaktır.

Verilen f : A → B  ile g : B → C   fonksiyonlarının
bileşkesi g º f : A → C   dir.
Bir a ∈ A için;
(g º f )(a) = g(f (a) ) fonksiyonuna,
f ile g fonksiyonlarının bileşkesi adı verilir.

f : A → B  bire-bir ve örten fonksiyonu için;

f^-1  º f = I_A 
ve
f º f^{-1 =} I_{B olur.}

_{Yani birim fonksiyondur.}

Parçalı tanımlı bir şekilde aşağıdaki gibi ifade
edilir:
f (x) = |x| = { -x, x ≤ 0 ise

                        x, x > 0 ise

a ∈ A olmak üzere;
             f + g : A → R
     (f + g) (a) = f (a) + g(a)
            olarak tanımlanır.

a ∈ A olmak üzere ;
                   f - g: A → R
             (f - g)(a) = f (a) − g(a)
                olarak tanımlanır.

a ∈ A olmak üzere;
               f . g: A → R
        (f . g)(a) = f(a) . g(a)
            olarak tanımlanır.

  f(x) = 3x + 7 ifadesinde x yerine 0 yazılırsa;
                f(0) = 3 * 0 + 7
                        = 7
                 olarak elde edilir.
Benzer şekilde fonksiyonun ifadesinde x yerine 3 yazılırsa; 
                   f(3) = 3 * 3 + 7
                          = 16
                       elde edilir.
Bulunan bu değerler yerlerine yazılırsa;
             2f(0) - f(3) = 2 * 7 - 16
                      = 14 - 16
                           = -2
                    değeri bulunur.

Fonksiyon ikiden küçük ya da ikiye eşit olan x
sayılarını 5 - x değeri ile eşlediğinden ve 2 ≤ 2
olduğundan f(2) = 3’tür.
Benzer şekilde, fonksiyon ikiden büyük olan x sayılarını
6 + 2x değeri ile eşlediğinden ve 4 > 2 olduğundan;                                             f(4) = 14’tür.
Sorulan f(2) - f(4) değeri olduğundan bulunan sayılar
yerine yazılırsa;
                   f(2) - f(4) = 3 - 14 = -11
                         değerine ulaşılır.

f ve g, R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olduğu
için her iki taraftan bileşke anlamlıdır ve f º g ile g º f de
R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olacaktır.
Her hangi bir x gerçel sayısı için (f º g) x = f(g x )
olduğundan;
                   (f º g) (x) = f (g (x)  )
                             = 5g (x)
                             = 5 (x - 7)
                             = 5x - 35
                         olarak bulunur.
Benzer şekilde (g º f) (x) = g(f (x) ) olduğundan;
                       (g º f) (x) = g (f (x) )
                              = f (x) - 7
                              = 5x - 7
                          olarak bulunur.

f ve g, R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olduğu
için her iki taraftan bileşke anlamlıdır ve f º g ile g º f de
R’den, R’ye tanımlı fonksiyonlar olacaktır.

(f ° g)(7) sorulduğundan ve (f ° g) (7) = f(g (7))
olduğundan;
                 (f ° g) (7) = f(g (7))
                      = 2g (7) + 10
                       = 2 * 1 + 10
                              = 12
                       olarak bulunur.

Benzer şekilde (g ° f)(7) sorulduğundan ve (g °
f) (7) = g(f (7) ) olduğundan;
                  (g ° f) (7) = g (f (7))
                           = g 24
                              = 1
                       olarak bulunur.
Görüldüğü üzere;
                (f ° g)(7) ≠ (g ° f)(7)
                     olarak bulunur.

Sıralı sayı çiftlerinin kümesine R’nin kendisiyle
Kartezyen çarpım kümesi denir ve şu şekilde ifade edilir:
              R×R = R² = {(x, y)|x, y ∈ R}
(x, y) sıralı ikilisinde x’e sıralı ikilinin birinci bileşeni;
y’ye de ikinci bileşeni denir.

İki sayı doğrusunun, sıfır noktalarında dik olarak
düzleme yerleştirilmesi sonucunda kartezyen koordinat
sistemi oluşur.

Burada yataydaki sayı eksenine x ekseni ya da apsisler
ekseni, düşeydeki sayı eksenine ise y ekseni ya da
ordinatlar ekseni denir. Ayrıca sayı doğrularının
kesiştikleri noktaya başlangıç noktası adı verilir.

f: A ⊆ R → R fonksiyonu verilsin.

A kümesinin her bir x elemanı için x ile onun görüntüsü
olan f(x) ’in oluşturduğu (x, f(x)) sıralı ikililerinin
kümesine f’nin grafiği denir ve bu küme G_f ile gösterilir:
                    G_f = { (x, f (x) | x ∈ A) }

Düzlemde bir noktadan sonsuz çoklukta doğru
geçmesine karşın, farklı iki noktadan bir tek doğru geçer.

Boş kümeden farklı A ve B kümeleri alalım. A kümesinden B kümesine bir f fonksiyonu, A kümesinin her elemanına B kümesinin bir tek elemanını karşılık getirir. Burada A kümesine f fonksiyonunun tanım kümesi, B kümesine ise değer kümesi denir. A kümesinden B kümesine bir f fonksiyonu, f:A›B şeklinde gösterilir.

f:A›B fonksiyonu için, A kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye, f’nin görüntü kümesi denir ve bu küme f(A) olarak gösterilir. O halde f’nin görüntü kümesi, f(A)={f(a)|a?A} kümesidir.

Hayır. Aksine görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir, çünkü görüntü kümesindeki her elaman değer kümesinde de bulunur, fakat değer kümesindeki bazı elemanlar görüntü kümesinde yer almayabilir.

f:A›B fonksiyonu verilsin.x1,x2?A olmak üzere x1=x2 iken f(x1)=f(x2) oluyorsa, f fonksiyonuna bire-bir (1-1) fonksiyon denir. Buna denk olarak f(x1)=f(x2) iken x1=x2 ise f’ye bire-bir fonksiyon denir.

Evet. Her bir x için bir tane x+2 değeri vardır.

f:A›B fonksiyonu verilsin. Her b?B için f(a)=b olacak şekilde bir a?A varsa, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Ya da buna denk olarak, görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona, örten fonksiyon denir. Yani f:A›B fonksiyonu için f(A)=B ise f örtendir.

Evet örtendir. A=(1,2,3,4....) olmak üzere B=(5,7,9,11...) kümesi f(x)=2x+3 fonksiyonunun değer kümesini oluşturur. B kümesinde açıkta kalan eleman bulunmamaktadır.

f:A›B fonksiyonu A kümesinin her elemanını B kümesinin aynı elemanı ile eşliyorsa f’ye sabit fonksiyon denir. Yani c?B olmak üzere, A kümesinden alınan her a elemanı için f(a)=c ise f’ye sabit fonksiyon denir.

Sadece g(y)=3 sabit fonksiyondur, zira y ne olursa olsun değer kümesinde tek eleman bulunmaktadır.

f:A›A fonksiyonu A kümesinin her a elemanını yine a ile yani kendisi ile eşliyor ise f’ye A kümesinin birim fonksiyonu denir. Birim fonksiyon genelde f yerine I ile, veya tanım kümesini vurgulamak için IA ile gösterilir.

Evet, birim fonksiyonlar hem birebir hem örtendir. Zira tanım kümesi, değer kümesi ve görüntü kümesi aynı olduğundan, her elemanın tek bir karşılığı vardır ve açıkta kalan eleman yoktur.

f:A›B, g:B›C fonksiyonları verilsin. Bu durumda g?f:A›C,(g?f)(a)=gf(a) fonksiyonuna,f ile g fonksiyonunun bileşke fonksiyonu denir.

f:A›B, bire-bir örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda,f fonksiyonunun ters fonksiyonu f^-1 ile gösterilir. f^-1 :B›A fonksiyonu b?B için f^-1(b)=a olarak tanımlanır. Burada a, f(a)=b eşitliğini sağlayan yegane elemandır.

(f+g)(x)=2x-1+x²

olacağından (f+g)(2)=7 olur.

f(x)=x² olduğundan değer kümesi negatif olmayan gerçel sayılar kümesi olur.

x hangi değeri alırsa alsın 3/x sıfır değerini almayacaktır. Bu nedenle değer kümesi sıfır hariç tüm gerçel sayılardır.

f : A  B fonksiyonu için, A kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye, f ’nin görüntü kümesi denir ve bu küme f (A) olarak gösterilir. O halde f ’nin görüntü kümesi,

f (A) = {f (a) | a  A} kümesidir.

f : A  B fonksiyonu verilsin. x₁, x₂  A olmak üzere x₁  x₂ iken f (x₁) f (x₂) oluyorsa, f fonksiyonuna bire-bir(1-1) fonksiyon denir. Buna denk olarak f (x₁) = f (x₂) iken x₁ = x₂ ise f ’ye bire-bir fonksiyon denir.

f : A › B fonksiyonu verilsin. Her b ? B için f (a) = b olacak şekilde bir a ? A varsa, f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Ya da buna denk olarak, görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyona, örten fonksiyon denir. Yani f : A › B fonksiyonu için f (A) = B ise f örtendir.

f, g : A› B fonksiyonları verilsin. Eğer tanım kümesinden aldığımız her a elemanı için, f (a) = g(a) oluyorsa, f ile g fonksiyonları eşittir.

f : A › B, bire-bir örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda, f fonksiyonunun ters fonksiyonu f^-1ile gösterilir.

f^-1: B › A fonksiyonu b ? B için f^-1(b) = a olarak tanımlanır. Burada a, f (a) = b eşitliğini sağlayan yegane elemandır.

f (x) = x²+ x -2 ifadesinde, x gördüğümüz yere 3 yazarsak

f (3) = 3²+3-2 = 9+3-2 = 10 olarak buluruz.

Görüntü kümesi değer kümesine eşit mi yani? Bunun için değer kümesinden keyfi y elemanı alıp,

f (x) = y olacak biçimde x’in olup olmadığına bakacağız. Aldığımız keyfi y için bu özellikte bir x varsa, fonksiyon örtendir diyeceğiz.

y = x + 5 denkleminden x = y - 5 olur. Yani x = y - 5 için f (x) = y’dir. O halde, f örtendir.