a pozitif bir gerçel sayı ve a ≠ 1 olmak üzere f (x) = a^x  şeklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir.

a = 1 durumunda her x gerçel sayısı için;

a^x  = 1^x = 1 olacağından bu fonksiyon sabit fonksiyona dönüşür.

a > 1 ve x!ler pozitif gerçel sayı ise a^x > 1 ’dir.

a > 1 ve x' ler negatif gerçel sayı ise

0 <  a^x < 1 ’dir.

a > 1 ise a^x fonksiyonu artan fonksiyondur. Çünkü f (x) = a^x üstel fonksiyonunda, a > 1 ise x₁ < x₂ için a^x1 < a^x2 olduğundan fonksiyon artan bir fonksiyondur.

a^x = a^y => x = y ′dir.

a^x = b^x  eşitliği a = b olmasını gerektirmez.

Örneğin, a = –1, b = 1 ve x = 2 ise

(- 1)² = 1 ve 1²  = 1 olur.

Her x gerçel sayısı için a^x  > 0 olduğundan üstel fonksiyonun görüntü kümesi (0,∞) açık aralığıdır.

f:  R → R fonksiyonunun grafiği verildiğinde, her y ∈ R noktasından x eksenine paralel olarak çizilen bir doğru, fonksiyonun grafiğini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire-birdir, en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.

Üstel fonksiyonlar bire-bir fonksiyonlardır. Çünkü, üstel fonksiyonun grafiğinde yatay doğrular grafiği en fazla bir noktada kesiyor. Ancak değer kümesi olarak gerçel sayılar alındığında üstel fonksiyonlar örten olmaz. Çünkü, sıfır veya negatif sayılar, üstel fonksiyonun değeri olarak ortaya çıkmaz.

Değer kümesi pozitif sayılar olarak alınırsa üstel fonksiyonlar örten olur. Yani;

f:  R →  (0, ∞)

f(x) = a^x

şeklinde tanımlanmışsa
üstel fonksiyonlar örten olur.

Eğer;

f:  R →  (0, ∞)

f(x) = a^x

şeklinde tanımlanmışsa
üstel fonksiyonlar bire-bir ve örten olur.
Bu sayede üstel fonksiyonun tersi tanımlanabilir.

Verilen sayıların büyükten küçüğe sıralaması aşağıdaki şekilde olur:

2¹⁵ > 2⁵ > 1 > 2^-5

Üstel fonksiyon f(x) = 3^x şeklinde tanımlı olduğundan,

x = 2 için f(2) =  3² = 9

ve

x = -1 için f(-1) =  1/3

Bu durumda, f(2) + f(-1) = 9 + (1/3) = (28/3) olarak bulunur.

a^{x + y} = a^x a^y özelliğinden faydalanılarak;

2^{3 + 5 + (-4)}  = 2⁴ = 16

olarak bulunur.

 f(x) = 2^3x-1 olduğundan,

f(2x) = 2^3.(2x)-1= 2^6x-1 ’dir.

f(x) = 5^x-1 olduğundan,

f(k) = 5^k - 1 = 624

f(k) = 5^k  = 625

k = 4 

olur

f(x) = 2^x + 3^x  ise,

f(2) = 2² + 3² = 13

f(0) = 2⁰ + 3⁰ = 2

f(2) + f(0) = 13 + 2 = 15

f(x) = 12^x - 11^x  olduğundan;

f(2) = 12² - 11² = 144 - 121 = 23

f(1) = 12¹ - 11¹ = 1

f(2) - f(1) = 23 - 1 = 22 olur.

0. gün → 10 = 10 • 2⁰
1. gün → 20 = 10 • 2¹
2. gün → 40 = 10 • 2²
3. gün → 80 = 10 • 2³

                   ?
t. gün → S(t) = 10 • 2^t

t = 10 için 10. gün sonunda,

S(10) = 10 • 2¹⁰ = 5 • 2¹¹ kadar bakteriye ulaşır.

f(x) = (2^x -1 ) •  (2^x - 2)² olduğundan,

f(2) = (2² -1 ) •  (2² - 2)² = 3 • 4 = 12 'dir

f(2) = 6 • k = 12 => k= 2 olur.

 a > 0 ve a ≠ 1 olmak üzere;

f:  R → R⁺ , f(x) = a^x

üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna, logaritma fonksiyonu denir ve log_a ile gösterilir.

Buna göre;

log_a  : R⁺ → R

y = log_a  x <=> x = a^y

y = a^x üstel fonksiyonunda a tabanı 1’den farklı pozitif sayıydı. Bunun tersi olan logaritma fonksiyonunda da a tabanı 1’den farklı pozitif bir gerçel sayı olmalıdır.

10 tabanına göre logaritmaya bayağı logaritma denir.

e tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir.

Bir fonksiyonun grafiğini biliniyorsa, ters fonksiyonunun grafiğini bulabilmek için y = x doğrusuna göre yansımasını almak yeterlidir.

y = e^x  üstel fonksiyonunun grafiğinin y = x doğrusuna göre yansımasıdır.

Logaritma özellikleri sırasıyla kullanıldığında,

log25 + log5 − 2log5 = log25.5 − log5³

= log125 − log125 = 0

Logaritma fonksiyonunun tanımından a² = 36 olur.

Buradan a = 6 ve a = −6 olarak bulunur. Fakat logaritma fonksiyonunun tanımı gereğince a = 6’dır.

log2 ≈ 0,3 ise,

log16 =  log2⁴

= 4 • log2

≈ 4 • 0,3

=1.2

olarak bulunur.

Inx = y olduğundan e^y= x 'dir. 

logx² = 2 • logx

=2 • y • loge 'dir

a pozitif bir gerçel sayı ve a 1'den farklı olmak üzere f(x)=a^x şeklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir.

Hayır değildir. x'in tabanda değil üs'te olması gerekir. Örneğin 3^x bir üstel fonksiyondur.

Evet anlarız. Her y noktasından x eksenine paralel olarak çizilen bir doğru, fonksiyonun grafiğini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon birebirdir, en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.

Her y noktasından x eksenine paralel olarak çizilen bir doğru, fonksiyonun grafiğini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon birebirdir, en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir. Bu durumda hem örten hem birebir olması için söz konusu paralel doğruların fonksiyon grafiğini yanlızca bir noktadan kesmesi gerekir.

f(x)=a^x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir ve f^-1(x)=log_ax  şeklinde gösterelir. Bu fonksiyonu kısaca y=log_ax şeklinde de yazıyoruz.

e (e=2, 7182818284590...) tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir ve ln ile gösterilir.

10 tabanına göre logaritmaya bayağı logaritma denir. 10 tabanına göre logaritma, çok kullanılan bir logaritma olduğundan log₁₀x gösterimi yerine tabana herhangi bir şey yazmadan logx gösterimi kullanılır.

2⁶=64 olduğundan log₂64=6

logx=u ve logy=v diyelim. Bu durumda x=10^u ve y=10^v’dir. Üstel fonksiyonların özelliklerini kullanırsak, xy=10^u10^v=10^u+v olduğunu görürüz. Logaritma tanımından da logxy=u+v=logx+logy

logx=u

logy=v

olsun. Bu durumda x/y=10^u/10^v=10^u-v olacaktır. Eşitliğin her iki tarafının da logaritmasını aldığımızda ise:

log(x/y)=log10^u-v=u-v=logx-logy olur

logx+logy=log(xy)

logxy-logz=log(xy/z) olduğundan:

logx+logy-logz=log(xy/z) olur

log2+log5=log(2*5)=log10

log10-log10=0

log20+log50-log10=log(20*50/10)=log100=2

Nüfus hesaplamasında (eğer artış hızının sabit kalacağı varsayımı varsa) ve faiz hesabında (eğer faiz oranının yıllar boyunca sabit kalacağı varsayımı varsa) üstel ve logaritmik fonksiyonlar kullanılır.

Hayır değildir. Örneğin x=1/2=0.5 için -3^0.5 gerçel sayılarda tanımlı değildir. Üs (x) negatif olabilir lakin f(x)=a^x şeklinde tanımlanan bir üstel fonksiyon için, taban (a) negatif olamaz, dahası a>1 olmalıdır.

h(x)=a^x b^x =(ab)^x olur.

h(x)=a^x /b^x =(a/b)^x

a pozitif bir gerçel sayı ve a  1 olmak üzere f (x) = a^x ¸seklinde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon denir.

Üstel fonksiyon kavramını, polinom fonksiyon kavramıyla karıştırmayalım. Üstel fonksiyon tanımında  x değişkeni üs’tedir.

Bu fonksiyonun tanım kümesi gerçel sayılar kümesidir; değer kümemizi de yine gerçel sayılar kümesi olarak alabiliriz. Biz daha çok a > 1 durumu ile ilgileneceğiz

Her x gerçel sayısı için a^x = 1^x = 1 olacağından bu fonksiyon sabit fonksiyona dönüşür.

Mesela a = -2 alamaz mıydık? (-2) sayısının tamsayı kuvvetlerini alabiliriz. Mesela, (-2)² = 4,

(-2) ³ = -8 ¸seklinde tamsayı kuvvetleri anlamlıdır. Ancak herhangi bir gerçel sayı kuvvetini aldığımızda bu anlamlı olmayabilir. Örneğin, (-2) ^{1 /2} =  olur. Ancak  bir gerçel sayı degildir. Çünkü hiçbir gerçel sayının karesi -2 değildir.

x = 0 için  a⁰ = 1’dir.

f (x) = a^x üstel fonksiyonunda, a > 1 ise x₁ < x₂ için a^x1 < a^x2 olduğundan fonksiyon artan bir fonksiyondur.

Her x gerçel sayısı için a^x > 0 oldugundan üstel fonksiyonun görüntü kümesi (0,?) açık aralığıdır

Değer kümesi olarak gerçel sayıları aldığımızda üstel fonksiyonlar örten olmaz. Örneğin, sıfır veya negatif sayılar, üstel fonksiyonun değeri olarak ortaya çıkmaz. Ancak değer kümesini pozitif sayılar olarak alırsak üstel fonksiyonlar örten olur.

Dolayısıyla üstel fonksiyonu bundan sonra f : R › (0,?) f (x) = a^x ¸seklinde fonksiyonlar olarak düşünecegiz.

(0,?) aralığını R⁺ ile de gösteriyoruz. Bu şekilde düşündüğümüzde, üstel fonksiyonlar, bire-bir ve örten olur.

Bu sayede a^x ’in ters fonksiyonunu tanımlayabileceğiz.

e = 2, 7182818284590 ... ¸seklinde bir irrasyonel sayıdır. Bu e gösterimi, ilk kez 'Isviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından 1727 yılında exponential kelimesinin ilk harfi e olduğu için kullanılmıştır. e sayısı da sonuçta bir sayıdır ve 2 ile 3 arasındadır.

2’nin hangi kuvvetini alırsak 16 eder sorusunun yanıtını aramalıyız. 2’nin 4. kuvveti 16 olacağından x sayısı 4 olmalıdır.

y = 10^x üstel fonksiyonunun ters fonksiyonu y = log₁₀ x’dir.

10 tabanına göre logaritmaya bayağı logaritma, e tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir.

2⁵ = 32 olduğuna göre  log₂ 32= 5 dir.

y(t) = y₀ · e^{k t}  formülüyle buluruz. Burada k, üstel azalış katsayısıdır.