Rassal değişken, tanım kümesi örnek uzay (sample space-S), değer kümesi ise reel sayılar (R)olan bir fonksiyon olarak tanımlanabilir.

Para ya yazı ya tura geleceğine göre S=(YYY, TTT, YTT, TYY, YTY, TYT, YYT, TTY) olmak üzere 8 elemanlı bir kümeden oluşur.

Değerkümesi sayılabilir(countable)olan rassaldeğişkenler kesikli, sayılamayan(uncountable)olan rassal değişkenler ise sürekli olarak isimlendirilir. Örneğin insanların boyu sürekli bir değişken iken, insanların yaşı kesikli bir değişkendir.

Olasılık dağılımı (probability distribution), P(X= x), X kesikli rassal değişkeninin aldığı değerler ile bu değerlere karşılık gelen olasılıkları ifade eder.

x=1 için P(X=x)= 1/6<1

x=2 için P(X=x)= 2/6<1

x=3 için P(X=x)= 3/6<1

Toplam P(X=x)=1/6+2/6+3/6=1

olduğuna göre P(X=x) fonksiyonu gerekli iki koşulu da sağladığından bir dağılım fonksiyonudur.

1<X<4 ise X=2 ve X=3 değerlerini esas alacağız. Bu durumda:

P(1<X<4)=P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.3=0.5 olacaktır.

İki sonucu olan bir deneyi (Bernoulli denemesi) modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır. Genellikle, bu sonuçlar “başarı(success)” ve “başarısızlık(failure)” olarak isimlendirilir. Xrassal değişkeni “başarı”durumunda 1, “başarısızlık”durumunda ise 0 değerini alır. Bernoulli denemesinin başarı ile sonuçlanma olasılığı “p”, başarısızlıkla sonuçlanma olasılığı “1-p” dir.

En az 3 kez yazı gelmesi demek 3 kez veya 4 kez yazı gelmesi demektir. İlk önce 3 kez yazı gelme olasılıklarını yazalım:

TYYY, YTYY, YYTY, YYYT

Şimdi de 4 kez yazı gelme olasılığını yazalım:

YYYY

O zaman istediğimiz durumları küme olarak yazarsak:

(TYYY, YTYY, YYTY, YYYT, YYYY) olacaktır. Dikkat ederseniz bu kümenin her bir elemanının gelme olasılığı eşit ve (1/2)⁴ = 1/16 dır. Küme 5 elemanlı olduğuna göre olasılık 5*1/16=5/16 dır.

Alternatif olarak P(X=3)+P(X=4)=C(4,3)*(1/2)³*(1/2)¹+C(4,4)(1/2)⁴*(1/2)⁰ _{= ^{4*1/16+1*1/16=5/16 çözümü de yapılabilir.}}

Binom dağılımı, n tane bağımsız ve aynı dağılımlı (independently and identically distributed) Bernoulli rassal değişkeninden elde edilen başarı sayısını modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır.

Aradığımız olasılık P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C(5,3)*0.8³*0.2²+C(5,4)*0.8⁴*0.2¹+C(5,5)*0.8⁵*0.2⁰ =10*0.8³*0.2²+5*0.8⁴*0.2¹+0.8⁵ = (184*8³)/10⁵=0.9421

Poisson dağılımı, bir olayın, belirlenen bir zaman ya da uzay (uzunluk, alan, hacim gibi) aralığında gerçekleşme sayısını modellemek için kullanılan kesikli bir dağılımdır

Bizden istenen olasılık P(x>1)'dir.

Yani P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+....=?

Bir olay dizaynında bütün olasılıkların toplamı 1'e eşittir. Bu durumda:

P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+....=1

P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+....=1-P(x=0)+P(x=1) olacaktır. Yani ayda en az 2 kaza olma olasılığı ile ayda en fazla 1 kaza olma olasılıklarının toplamı 1'e eşittir. Bu olasılıklardan ikincisini hesaplamak daha pratik ve kolay olduğundan en fazla 1 kaza olma olasılığını hesaplayalım:

P(x=0)+P(x=1)=((e^-44⁰)/0!)+((e^-44¹)/1!)=e^-4+4e^-4=5e^-4=0.018

Yani ayda en fazla 1 kaza olma olasılığı 0.018'dir. Bu durumda ayda en az 2 kaza olma olasılığı:

P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x=5)+....=1-P(x=0)+P(x=1)=1-0.018=0.98 olacaktır.

n‘in yeterince büyük olduğu durumlarda, Poisson dağılımından elde edilen olasılıklar, Binom dağılımından elde edilen olasılıklara yaklaşık olarak eşit, n değeri sonsuza yaklaşırken ise tam olarak eşittir. Uygulama problemlerinde, Binom dağılımının, Poisson dağılımına yakınsama özelliğini kullanabilmek için ?=np? 7 koşulunun sağlanması gerektiği genel kabul görmüştür.

E(x)=Toplam(x*P(x))=0*0.1+1*0.2+2*0.2+3*0.3+4*0.2=08+0.9+0.2+0.4=2.3

Varyans=E(x²)-E(x)²=0.1*0²+0.2*1²+0.2*2²+0.3*3²+0.2*4²-2.3²=1.61

Poisson dağılımları için

Ortalama: µ= E(X)=?

Varyans:?²= V(X)= ? olduğundan bu kavşaktaki kazaların varyansı ve ortalaması eşittir ve 10'dur.