Bir zamanlar dönemin hükümdarı satrancın mucidine bir ödül vermek istemiş. Mucidi yanına çağırtarak kendisine dile benden ne dilersen diye öneride bulunmuş. Gayet mütevazi olan mucit sağlığınızın iyiliğinden başka bir isteğim yoktur efendim diye söyler. Hükümdar ısrarcı olunca mucit dayanamaz ve isteğini söyler. Mucit isteğiyle aynı zamanda hükümdara bir ders de vermek istemektedir. Bu yüzden şöyle bir istekte bulunmuş. Satrancın birinci karesi için bir tane, ikinci karesine iki tane, üçüncü karesine dört tane ve bu şekilde her bir karesi için bir önce verilenin iki katı olmak üzere buğday istemektedir. Hükümdar bu isteği küstahça bulur ve hizmetçilere dönerek buğdayları tek tek sayarak verin ve tek bir tane fazla olmasın diye emreder. Hizmetçiler buğdayları saymaya başlarlar. Onuncu kareye vardıkların 512 adet buğdaya gelmişlerdir. Toplamda ise 1+2+4+…+512 = 1023 adet buğday ortaya çıkmaktadır. On beşinci kareye vardıklarında ise yaklaşık 1 kilo 400 gram olmuştur. Otuz birinci karede ise yaklaşık 92 ton buğdaya ulaşmışlardır. Bu hesapla elli dördüncü kareye ulaşıldığında yaklaşık 771 milyon ton buğday etmektedir. Nihayetinde ise toplam 64 kare için günümüz buğday üretimiyle 1500 yıllık üretime denk gelmektedir. Mucit burada hükümdara küçük gelen sayılarla buğday istemiştir. Ancak toplam buğday çok büyük sayılara ulaşmıştır. Günümüzde de üstel fonksiyonlar bu denli büyük sayıları kolaylıkla ifade edebilmek ve bu sayılarla işlem yapabilmek için kullanılmaktadır. 

a pozitif bir gerçel sayı ve a≠1 olmak üzere f(x)=

Üstel fonksiyonların görüntü kümesi (0, ∞) açık aralığıdır.

Bire-bir fonksiyonda, farklı noktalara farklı fonksiyon değerleri karşılık gelir. Örten fonksiyonda fonksiyonun değer kümesinde açıkta eleman kalmaz. Yani f : R → R fonksiyonunun grafiği verildiğinde, her y ∈ R noktasından x eksenine paralel olarak çizilen bir doğru, fonksiyonun grafiğini en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire-birdir, en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.

Değer kümesi olarak gerçel sayılar alındığında üstel fonksiyonlar örten olmaz. Örneğin, sıfır veya negatif sayılar, üstel fonksiyonun değeri olarak ortaya çıkmaz. Ancak değer kümesini pozitif sayılar olarak alırsak üstel fonksiyonlar örten olur.

f(x)=

x’e bazı değerler vererek bu değerlerin fonksiyon altındaki görüntüleri olan y değerlerini buluruz. Sonra bulduğumuz (x, y) ikililerine karşılık gelen noktaları düzlemde belirleriz. Bu noktaları düzgün bir eğriyle birleştirerek fonksiyon grafiğini bulmuş oluruz. Nokta sayısını artırırsak daha gerçekçi bir grafik elde ederiz.

Öncelikle anaparaya basit faiz uygulandığında ve bileşik faiz uygulandığında alınacak para miktarı farklı çıkacaktır. Basit faiz üzerinden hesaplanacak olunursa bir yılın sonunda 1000x0.12=120 TL’den bir yıl sonunda 1120 lira para olur. İkinci yılın sonunda ise tekrar aynı hesapla 120 lira daha artış olacaktır. Üçüncü yılın sonunda yine anapara üzerinden 120 lira artış olacaktır. Üç yılın sonunda toplam artış miktarı basit faiz üzerinden 360 lira olur. Toplam para ise 1360 lira olarak kalır.

Eğer anapara üzerinden bileşik faiz uygulanırsa birinci yılın sonunda anapara üzerine uygulanan %12 faizle 1000x0,12=120 liralık bir artış olur. İkinci yılda artık anapara 1120 lira olmuş olur. Üçüncü yılın sonunda ise toplam 1404 lira 92 kuruş lira elde edilmiş olur. Buradaki artış basit faize göre 44 lira 92 kuruş daha fazla olmuştur.

Faiz anaparaya yıllık üzerinden değil de her bir altı ay sonunda veya her üç ayın sonunda eklenseydi daha fazla para birikmiş olurdu.

• Aylık olarak eklendiğinde 12 ay sonunda yani 1 yıl sonunda 2,6130 lira olur.

• Haftalık olarak eklendiğinde 1 yıl sonunda 2,6925 lira olur.

• Günlük faiz uygulandığında 1 yıl sonunda 3,7145 lira olur.

• Saatlik dönemde faiz uygulandığında 1 yıl sonunda para 2,7181 lira olur.

• Dakikalık faiz uygulandığında 1 yıl sonunda para 2,71827 olur.

• Saniyelik faiz uygulandığında 1 yıl sonunda 2,71828 lira olur.

e sayısı 2,71828 sayısına karşılık gelir. İrrasyonel bir sayıdır. Bu sayı ilk olarak İskoçyalı matematikçi Naiper 1618 yılındaki bir çalışmasında kullanmıştır. Naiper bu sayıyı “b” ile gösteriyordu. Bu sayı e gösterimi ile ilk defa Euler tarafından kullanılmıştır.

Faiz dönemi ne kadar artırılırsa artırılsın bir yılda en fazla 2 lira 72 kuruş olur.

1991’de İtalya’nın Avusturya sınırında Ötztaler Alpleri’nde doğal olarak oluşmuş bir insan mumyası bulunmuştur. Bu mumyaya Ötzi ismi verilmiştir.

Bilim adamları Ötzi’nin yaşını tespit ederek yaşadığı döneme ait bilgiler elde etmek amacıyla kullanmışlardır.

Amerikalı kimyacı Willard Libby 1940 yılının sonunda karbon yaşı hesaplama yöntemini bulmuştur. Bu çalışma kendisine Nobel ödülünü kazanmıştır.

Atmosferde karbondioksit moleküllerinde bulunan C¹² atomları, uzaydan gelen kozmik taneciklerin etkisiyle yapılarına 2 nötron daha alarak radyoaktif karbon C¹⁴ atomunu meydana getirirler. Radyoaktif karbon zamanla bozunarak azot gazına dönüşür. Bu dönüşümü yarılanma ömrü 5715 senedir. Yani bir miktar karbon alındığında 5715 sene sonunda miktarı yarıya iner.  

Atmosferde ve canlıların vücutlarında radyokarbon miktarının oranı kararlı karbon miktarına oranı sabittir. Canlı organizmanın hayatı sona erdiğinde dışarıdan karbon alışverişi durur ve hali hazırdaki karbonlar vücuda hapsolur. Vücutta C¹² miktarı sabit kalırken, C¹⁴ miktarı azalmaya devam eder. Böylece atmosferde sabit olan radyokarbon/kararlı karbon oranı vücutta azalmaya başlar. Karbon yaşı hesaplanırken bu farktan yararlanılır.

Önce radyokarbon miktarının oranı kararlı karbon miktarına oranı kimyasal tepkimelerle tespit edilir. Bu oran atmosferdeki karbon oranıyla karşılaştırılır. Böylece radyokarbonun ne kadar bozunduğu tespit edilir. C¹⁴ atomlarının yarısının bozunması için 5715 yıl geçmesi gerektiği bilgisi kullanılarak yaş tayini yapılır.

Yapılan ölçümlerde Ötzi’nin vücudundaki radyoaktif karbon miktarının kararlı karbon miktarına oranının şu anda atmosferdeki oranın %52,5 olduğu belirlenmiş. Eğer %50 olsaydı radyokarbon oranı bir yarıya inmiş olacağı için Ötzi 5715 yaşında olacaktı. Henüz oran %50’ye düşmediğine göre 5715 yaşından küçük olmalıdır.

Üstel fonksiyonların değer kümesini (0, ∞) açık aralığı aldığımızda üstel fonksiyonların bire-bir ve örten fonksiyonlar olduğunu gördük. O halde

e tabanına göre logaritmaya doğal logaritma denir ve ln ile gösterilir.

10 tabanına göre logaritma, çok kullanılan bir logaritma olduğundan

Önce logaritma fonksiyonunda x’e bazı değerler vererek logaritma fonksiyonunun aldığı değerleri bulunur. Ya da daha basit yöntemle a > 1 için

Grafiklerde x’e artan değerler verdikçe fonksiyon değerleri de artmaktadır, yani logaritma fonksiyonları artan fonksiyonlardır. 

ln x fonksiyonunun grafiği .

Latince oran anlamına gelen logos ve sayı anlamına gelen arithmos kelimelerinden türetilmiştir.

16. ve 17. yüzyıllarda gözlemsel astronomi gibi bazı bilim dalları çarpma, bölme, üs alma, ortalama bulma gibi matematiksel hesaplamalara ihtiyaç duyuyordu. Üstelik bu hesaplamaların defalarca yapılması gerekiyordu ve bu da çok fazla zaman alıyordu. Bundan dolayı bu dönem matematik çalışmalarının çoğu bu hesaplama işlerinin daha kolaylaştırılması üzerine yoğunlaşmıştır. Böyle bir dönemde İskoçyalı bilim adamı Naiper logaritmayı matematik dünyasına sunmuştur. Logaritmanın bu hesapları çok kolay bir biçimde yaptığını göstermiştir.

Uzun uzun hazırlanan logaritma cetvelleri ve

Önce çarpılacak sayıların logaritması logaritma cetvelinden bulunur. Ardından bulunan logaritmalar toplanır. Daha sonra yine logaritma cetvelinden logaritması bu sayıya eşit olan sayı bulunur ve sonuca ulaşılmış olur. 

Logaritma cetvellerinde tutulan sayılar sayıların tam logaritmasını değil yaklaşık karşılıklarını ifade etmektedir. Bazen de aranılan sayının logaritmasını bu cetvelden bulamayabiliriz. Böyle bir zamanda da o sayıya en yakın olan sayı tercih edilir. Bu yüzdende sonuçlar belli bir hata payı ile hesaplanır.

Hesaplamalarda tam sonuçlar yerine yaklaşık sonuçların ortaya çıkmasına sebep olur.

Çok büyük ve çok küçük değerler alabilen bir niceliği eşit aralıklı bir ölçek üzerinde gösterimini kolaylaştırmak için ortaya çıkmıştır.

Logaritmik ölçekler gösterilmek istenen büyüklüğün kendisini değil de logaritmasını gösterir. Böylece bu niceliğin çok küçük ve çok büyük değerlerini aynı grafik üzerinde gösterebilmiş olur. 

Ses şiddetini ölçmek için kullanılan desibel ölçeği, suyun sertliğini ölçmek için kullanılan pH ölçeği ve deprem şiddetini hesaplanmasında kullanılan Richter ölçeği 10 tabanına göre hazırlanmış logaritmik ölçekledir.

Amerika Birleşik Devletleri’nden Profesör Charles F Richter dış merkezden 100 km uzaklıkta ve sert zemine yerleştirilmiş özel bir sismografla kaydedilmiş zemin hareketinin, mikron (1 mikron 1/1000 mm) cinsinden ölçülen maksimum genliğinin 10 tabanına göre logaritmasını depremin büyüklüğü olarak tanımlamıştır. Richter ölçeği logaritmik olduğundan, ölçekteki her tamsayı farkı deprem genliğinde10 kat artışa denk gelir. Yani, örneğin Richter ölçeğine göre 5 büyüklüğündeki bir depremin genliği, 4 büyüklüğündeki bir depremin genliğinin 10 katı, 3 büyüklüğündeki depremin genliğinin ise 100 katıdır.

Marketlerden aldığınız pet şişedeki suların üzerine baktığınızda mineral değerleriyle birlikte pH değeri de yazmaktadır. İşte her gün içilen suyun kalite ve sınıflandırma faktörlerinden biri olan pH derişiminin hesaplanmasında logaritma kullanılır. Sulu çözeltilerdeki [H+]veya [OH-] derişimleri genellikle çok küçük sayılar olduğundan işlemlerde kolaylık sağlaması için derişimlerin 10 tabanına göre eksi logaritmalarını alarak derişimler tamsayılarla ifade edilir. pH değeri, sulu- çözeltideki [H+] iyonu derişiminin 10 tabanına göre eksi logaritmasıdır, yani, pH= − log[H+] ’dır. pOH değeri ise, sulu çözeltideki [OH+] iyonu derişiminin 10 tabanına göre eksi logaritmasıdır, yani, pOH= − log[OH+] ’dır.

Ses titreşen bir nesnenin oluşturduğu basınç dalgalarıdır.

Ses titreşiminin oluşturduğu basınç dalgaları katı sıvı ve gaz ile iletilirler. Kulağımıza kadar ulaşan dalgaların oluşturduğu basınç değişiklikleri kulağımız tarafından algılanır. Böylece ses duyuluş olur.

Ses dalgaları periyodik basınç dalgalarıdır. Bu basınç dalgasında basıncın maksimum değerine genlik denir.

Ses dalgasının bir saniyedeki salınım sayısına frekans denir. Frekansın birimi Hertz (Hz)’dir. 1 Hz frekanslı bir ses dalgası 1 saniyede sadece 1 salınım yapar. Her notanın da bir frekansı vardır.

Sağlıklı bir insan kulağı 20 Hz ile 20000 Hz arasındaki sesleri duyabilir. Bu aralığın dışındaki sesleri duyamayız.

Bir frekanstaki sesle onun iki katı frekanslı ses insan beyni için uyumlu olarak algılanır. Sadece biri diğerinden daha tizdir.

Bir frekans ile iki katı arasındaki seslere oktav aralığı denir.

20 Hz’den başlayarak 20 Hz, 40 Hz, 80 Hz, 160 Hz, 320 Hz, 640 Hz, 1280 Hz, 2560 Hz, 5120 Hz, 10240 Hz, 20480 olmak üzere yaklaşık 20 oktav vardır.

Eğer frekansın 2 tabanına göre logaritmasını alırsak sesi eşit aralıklı ölçekte göstermiş oluruz. Burada oluşan her bir aralığa bir perde denir.

Batı müziğinde her bir oktav aralığı eş oranlı olarak 12 yarım sese bölünür. Bu yarım ses düşük frekanstan yüksek frekansa doğru Do, Do#, Re, Re#, Mi, Fa, Fa#, Sol, Sol#, La, La#, Si olarak adlandırılır. Sonra yeni oktav aralığına geçilir ve bu sayılan sesler iki katı frekansla tekrar edilir. 

Bir oktav aralığı öyle bölünmeli ki ardışık seslerin frekanslarının oranı hep aynı olmalıdır. Mesela Do# ‘in frekansının Do’nun frekansına oranı , Re’nin frekansının Do# ‘in frekansına oranı, bu şekilde giderek üst oktavdaki Do’nun frekansının Si’nin frekansına oranı hep aynı olması eş oranlı bölmek anlamına gelir.

Mevcut değeri A olan bir değişkenin, her bir dönemdeki artışı p% ise n. dönem sonundaki değeri A(1+p/100)ⁿ ile bulunur. Öyleyse 10 yıl sonra 2000(1+5/100)¹⁰=2000(1,05)¹⁰ olur. Mahallenin nüfusu yaklaşık olarak 3258 kişi olur.

Burada sorulmak istenen hangi sayının 4'ün hangi kuvveti 64'tür. 4^x=64 ise x=3'tür.

27'nin 1/3'üncü kuvveti 3'tür. x=1/3 olur.

10 tabanında logaritma fonksiyonu taban belirtilmeden sadece log ile gösterilir.

e tabanında logaritmaya doğal logaritma denir ve ln ile gösterilir.

Bütün sayıların sıfırıncı kuvveti 1'dir. Dolayısıyla x=0'dır.

Bütün sayıların birinci kuvveti kendisidir. Dolayısıyla x=1'dir.

Logaritmanın özelliklerinden dolayı, log_a xy= log_a x + log_a y'dir.

Logaritmanın özelliklerinden dolayı, log_a x/y= log_a x - log_a y'dir.

Logaritmanın özelliklerinden dolayı, log_a x^b=b log_a x'dir.

1000 sayısı 10'un 4. kuvvetidir. log 1000= 4

5¹=5

5²=25

5³=125

5⁴=625

5⁵=3125 

Dolayısıyla 4. kuvvet 500 ile 1000 arasındadır.

log 400=2,60 ise en yakın tam sayı 3'tür.

Madde her 100 yılda mevcut miktarının yarısına ineceği için n yıl sonra madde miktarı 1000(1/2)^n/100 gram olur. Dolayısıyla 200 yıl sonra madde miktarı 1000(1/2)²=1000/4= 250 gram olarak bulunur.