Venn diyagramı örneklem uzayları ile yapılan işlemleri grafiksel olarak göstermek için kullanılır. Venn diyagramında kullanılan dikdörtgen, kare ya da daire gibi geometrik şekiller bir tesadüfi deneyin tüm sonuçlarını gösterir.

Bir tesadüfi deneyde birbirinden ayrık ve ortaya çıkma bakımından hepsi eşit şansa sahip bütün olası sonuçların sayısı N olsun. Eğer A olarak tanımlanan bir olay toplam N eşit olasılıklı durumdan M tanesinde gerçekleşiyorsa, o zaman A olayının olasılığı P(A)=M/N olarak ifade edilir.

Bu yaklaşımda tesadüfi deneyin aynı koşullar altında defalarca tekrarlandığı varsayılır. Aynı koşullar altında tesadüfi bir deney çok defa tekrarlandığında elde edilen sonuçlardan ilgilenilen türden olanların sayısının (f), deney sayısına (n) oranı deney sayısı sonsuza büyütüldüğünde f/n değerine yaklaşır. f/n oranının yaklaştığı bu değer ilgilenilen A olayının ortaya çıkma olasılığı olarak tanımlanır ve ( ) lim N P A f ›? n = olarak gösterilir. Bu gösterimdeki limit matematiksel anlamda olmayıp, deneyin olabildiğince çok tekrarlanması anlamındadır. Örneğin bir hastanede A, B, C, D poliklinikleri olsun. Bu polikliniklerden birisi için randevu alan bir hastanın A polikliniğinden randevu istemesi olasılığını hesaplayalım. Bu olasılığı hesaplamak için bir haftalık randevu siteminin örneklem olarak ele alınarak incelendiğini ve A polikliniği için 50, B için 60, C için 90 ve D için 100 hastanın randevu aldığını varsayalım. Belirlenen bu sayılar frekans olarak değerlendirilir ve P(A)= 50/200=0,25 hesaplanır. Ancak örneklem olarak bir hafta değil de bir aylık gözlenen randevular alınsaydı frekanslar değişeceğinden olasılıklarda değişecekti. Bu olasılıklardaki değişmenin azaltılması ancak örneklem hacminin arttırılması yoluyla sağlanır. Bu örnekte bir hafta ve bir ay yerine bir yıllık gözlem yapıldığında bu olasılıkların belirli sayılarda durağanlaştığı görülecektir. Kısaca doğru sonuçlara ulaşabilmemiz için çok sayıda gözlem yapmamız gerekir. Oransal frekans yaklaşımında, n sayıda deneyin aynı koşullar altında yapılmasının zorluğu ve deney sayısının kaçta sonlandırılacağının bilinememesi gibi yetersizlikler vardır.

İki ya da daha fazla olay bir arada meydana gelemiyorsa bu olaylara ayrık olaylar denir.

A ve B gibi herhangi iki olaydan birinin gerçekleşmesi diğer olayın ortaya çıkma olasılığını etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir.

Tesadüfi değişken, S örnek uzayındaki her bir tesadüfi olaya sayısal değerler atayan bir fonksiyondur. Bu fonksiyon aracılığıyla örnek uzayındaki her bir sonuç reel eksende bir değere taşınır. Kısaca tesadüfi değişken, S örneklem uzayının her bir olayını yalnız bir gerçek değere dönüştürür.

İki bağımlı olaydan birincisinin gerçekleştiği bilindiğinde ikincisinin ona bağlı olarak gerçekleşme olasılığına koşullu olasılık denir.

Bir tesadüfi değişken yalnızca sayılabilir sayıda değerler alabiliyorsa kesiklidir. Kesikli tesadüfi değişkenlere örnekler, büyük bir parti mal içinden alınan yirmilik bir örneklemdeki kusurlu parça sayısı, bir polikliniğe bir saat içinde gelen hasta sayısı vb.

Günlük hava sıcaklığıyla ilgilendiğimizi düşünelim. Sıcaklık, sürekli bir ölçekle ölçülür ve sürekli bir tesadüfi değişkendir. Bir tesadüfi değişken tanımlı bir aralıktaki tüm değerleri
alabiliyorsa süreklidir. Bir ailenin yıllık geliri, ithal edilen ilaç hammadde miktarı, bir hisse senedi fiyatının aylık değişimi, bir hastaya konulan tanı ile iyileşmesi arasında geçen süre, bir kimyasal maddenin kirlilik oranı sürekli tesadüfi değişkenlere verilebilecek örneklerdir.

Olasılık fonksiyonu, bir değişkenin alabileceği değerler ile bu değerleri alabilmesi olasılıkları arasındaki ilişkiyi gösteren bir fonksiyondur. Bu fonksiyon bir tesadüfi değişkenin alabileceği tüm değerlere ilişkin olasılıkların tek tek gösterilmesi yerine, olasılıkların hesaplanmasında kullanılacak bir eşitliktir. Olasılık fonksiyonları tesadüfi değişken tanımına göre; kesikli olasılık fonksiyonu (olasılık fonksiyonu) ve sürekli olasılık fonksiyonu (olasılık yoğunluk fonksiyonu) olarak iki şekilde tanımlanır.

X , kesikli bir tesadüfi değişken bunun alabileceği değerlerden biride x olsun. X tesadüfi değişkeninin belli bir x değerini alma olasılığı P (X = x) ile gösterilir. Tesadüfi bir değişkenin, olanak içindeki bütün sonuçları olasılık fonksiyonları kullanılarak gösterilir. Bu gösterim cebirsel, çizimsel yada çizelge biçiminde olabilir. Kesikli tesadüfi değişkenler için uygun bir gösterim, olanak içindeki bütün sonuçların olasılıklarının x’in değerlerine göre dizmektir. X’ in tüm olası x değerleri için tanımlanan P(x) = P(X = x)fonksiyonu, X değişkeninin olasılık fonksiyonu olarak tanımlanır.

Yapılan deneylerin sonuçları, olumlu-olumsuz, başarılı-başarısız, iyi-kötü, ölü-sağ, pozitif-negatif gibi ortaya çıkıyorsa, bu tür deneyler sonucunda elde edilen dağılımlar Binom dağılımıdır. Tesadüfi bir deneyin başarılı ve başarısız olarak iki ayrık ve bütüne tamamlayıcı bir şekilde sonuçlanabileceği ve tek bir deneydeki başarı olasılığının p olduğunu düşünelim. Eğer birbirinden bağımsız n tane deney yapılırsa, ortaya çıkan başarı sayısı X’ in dağılımına Binom dağılımı denir. Binom dağılımı kesikli olasılık dağılımıdır. Binom dağılımı, tüm denemelerin aynı koşullarda tekrarlandığı ve her tekrarda birbirinden bağımsız iki olaydan birinin meydana geldiği deneylerde ortaya çıkmaktadır.

Binom dağılımı aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Her bir deneme için yalnız iki sonuç vardır. Başarı (p) , Başarısızlık (q)
2. Başarma olasılığı p her bir deneme için aynıdır. Başarısızlık olasılığı q=1-p dir.
3. Denemeler birbirinden bağımsızdır.
4. Denemelerin sayısı n sabittir.

Aşağıdaki deneyler Binom tesadüfi değişkenleriyle ilgilidir.

1. Bir para 10 kez atılsın. X tesadüfi değişkeni gözlenen turaların sayısıdır,
2. İçinde 4 kusurlu ve 8 kusursuz parça bulunan bir kutudan iadeli 5 parça seçelim. X tesadüfi değişkeni seçilen kusurlu parçaların sayısıdır,
3. İçinde 7 kırmızı ve 5 sarı top bulunan bir kavanozdan iadeli 4 top çekilsin. X tesadüfi
   değişkeni çekilen kırmızı topların sayısıdır.
4. Bir aşını yan tesir gösterme olasılığı 0,10 dur. 20 kişiye bu aşının denendiği varsayılsın. X tesadüfi değişkeni yan tesir gösteren hasta sayısı olarak tanımlansın. Bu tanıma göre X Binom dağılır.

Binom dağılımında p olasılığının oldukça küçük olması (genellikle p<0,05) durumunda Binom dağılımı uygun bir kuramsal olasılık modeli olmamaktadır. Tesadüfi değişken belli bir zaman aralığında veya belli bir mekânda çok az yinelenen olayları göstermesi durumunda ortaya çıkan olasılık dağılımı Poisson dağılımı olarak adlandırılır.

Verilmiş bir zaman aralığında ya da uzayın verilmiş bir bölgesinde başarıların sayısı, X rassal değişkeni olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan X’e Poisson dağılmış tesadüfi değişkeni denir.

1. Farklı bir zaman veya mekân diliminde ilgilenilen türden sonuçların gerçekleşmesi birbirinden bağımsızdır.
2. Küçük bir zaman aralığı veya uzayın küçük bir bölgesi için başarı olasılığı, uzaydaki bölge ya da zaman aralığının uzunluğu ile orantılıdır.
3. Küçük bir zaman aralığı veya uzayın küçük bir bölgesinde iki ya da daha çok başarının olasılığı önemsizdir.
4. Küçük bir zaman ya da mekan diliminde ilgilenilen türde sonuçların bir defa gerçekleşme olasılığı olan p sabittir ve yaklaşık olarak p<0,05 eşitsizliğine uymaktadır.

Aşağıdaki örnekler Poisson tesadüfi değişkenleriyle ilgilidir;

1. Büyük bir şehirde ender rastlanan bir hastalıktan her yıl meydana gelen ölümlerin sayısı,
2. Bir üretimdeki kusurlu ürün sayısı,
3. Bir kitabın her bir sayfasındaki eksik basımların (yanlış basımların) sayısı.
4. Bir kentte bir hatta meydana gelen ölümcül kazaların sayısı.
5. Dahiliye polikliniğine gelen hastalarda aylık göğüs kanseri görülme sayısı.

İstatistikte en çok kullanılan ve çok geniş bir uygulama alanına sahip olan normal dağılım ya da Laplace- Gauss dağılımı ilk olarak 1733 yılında De Moivre tarafından ortaya atılmış, sonra 1809 da Gauss tarafından geliştirmiştir. Uygulamada ele alınan birçok değişken normale benzer bir dağılım gösterir. Örneğin, ölçme hataları, bebeklerin canlı doğum ağrılıkları, diastolik kan basıncı, hemoglobin düzeyi, kadınların yaşam süresi vb... gibi. Aslında, bu tür tesadüfî değişkenlerin dağılımları tam olarak bir normal dağılıma uymasa da yaklaştıkları görülür. Fakat uygulamada, çok sayıda birbirinden bağımsız olarak ortaya çıkan tesadüfî değişkenlerin bir normal dağılım gösterdikleri kabul edilir. İstatistik teorisinde önemli bir yere sahip olan normal dağılım, tek değişkenli, iki değişkenli ve çok değişkenli olmak üzere üç kısım altında incelenir. Bu kitapta sadece tek değişkenli normal dağılım ele alınmaktadır. Aritmetik ortalaması ve standart sapması farklı değerler olan çok sayıda normal dağılım düşünülebilir; herhangi bir normal dağılımın özel denklemini yazabilmek için dağılımın parametrelerini bilmek yeterlidir.

Normal dağılımı özellikleri:

1. Normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonunun, yani f(x)’ eğrisi altında kalan ve X ekseni ile sınırlanan alan 1’ e eşittir.
2. Normal dağılım ortalamaya göre simetriktir.
3. Normal dağılıma sahip bir değişkenin ortalaması, medyanı ve modu bir birbirine eşittir.

Bu Z değişkeninin dağılımı, ortalaması 0 ve varyansı 1 olan normal dağılımdır ve standart normal dağılım olarak tanımlanır. Normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonunda µ = 0 ve ? = 1 yazılırsa standart normal dağılım elde edilir. Standart normal dağılım Z