Bulanık kümede üyelik derecesi 1 olan ögeye yakın, sağdaki ve soldaki ögelerin de üyelik dereceleri 1’e yakındır. Buna bulanık kümenin monotonluğu denir. 

1900’lerin başında, geleneksel anlayıştan farklı olarak Polonyalı mantıkçı Jan Lukasiewicz’in 3. bir değer olan ‘olası’ kavramını ortaya atması, 1920’ler ve 1930’larda çok değerli mantık sistemlerinin gelişmesine yol açmıştır.

x₁, x₂, …, x_n olmak üzere n tane sayının aritmetik ortalaması, bu sayıların toplanıp n’e bölünmesi ile

                                                                                   biçiminde hesaplanır. Bu durumda verilen sayıların aritmetik ortalaması

                      
elde edilir.

{2n} = {2, 4, 6, 8, 10, ..., n, ...} dizisi

1. Her n = 1, 2, 3,... için a_n >= 0 olduğundan dizi pozitiftir.
2. Her n = 1, 2, 3,... için a_n+1 >= a_n olduğundan dizi artandır.
3. Her n = 1, 2, 3,... için a_n >=  M olacak şekilde bir M sayısı olduğundan dizi alttan sınırlıdır.
4. Her n = 1, 2, 3,... için a_n * a_n+1 < 0 sağlanmadığından dizi dönüşümlü değildir.
5. Dizi artan olduğundan (b seçeneği) monotondur.

Yukarıda verilen seçeneklerden a ve e doğru, b , c, d yanlış olduğundan doğru cevap B seçeneğidir.

f(x) fonksiyonu [a.b] aralığında tanımlı ve iki kez türevlenebilir fonksiyon olsun.
Fonksiyonun x0 ϵ (a,b) noktasında kritik değere sahip olduğunu varsayalım.Bu durumda,

a ) Eğer her x ϵ (a,b) için f11(x0) < 0 ise fonksiyon (a,b) aralığında içbükeydir ve x0 noktası bu fonksiyonun maksimum noktasıdır.

b ) Eğer her x ϵ (a,b) için f11(x0) > 0 ise fonksiyon (a,b) aralığında dışbükeydir ve x0 noktası bu fonksiyonun minimum noktasıdır.

c ) f11(x0) = 0 ise fonksiyonun x0 noktasındaki ekstremal durumu hakkında bir şey söylenemez.

Bunun için y1 = 3x2 – 24x + 7

İkinci türevi y11 = 6x – 24 x = 4 noktasında f11(x) = 0 olduğundan x = 4 noktasının ekstremal noktası olduğu söylenemez, ikinci türev bu noktanın solunda , sağında ise pozitif olduğundan, fonksiyon negatif noktalarda içbükey, pozitif noktalarda dış bükeydir.Bu yüzden fonksiyonumuz için

( - ∞ , 4 ) noktası iç bükey olduğu aralık olarak bulunur.

Kısmi integrasyon kuralı uygulanırsa
u=x,dv=e^3x dx?du=dx ve v= olup, 

∑_(n=1)^∞▒〖a. r^(n-1) 〗 serisi

eğer r ≥ 1 ve a > 0 ise + ∞ ‘ a ; r ≥ 1 ve a < 0 ise - ∞ ‘a ıraksar.
Bu örneğimiz için + ∞’ a ıraksak denilir.

Dikdörtgenin kenar uzunlukları x cm ve y cm olsun. O halde 2(x + y) = 20 olduğundan x + y = 10 ve y = 10  – x elde edilir. x ∙ y’nin maksimum olmasını istiyoruz. Yani f (x) = x (10 – x)’in maksimum olmasını istiyoruz. f ' (x) = –2x + 10 = 0 olduğundan x = 5 elde edilir. böylece y = 5’dir. O halde alan en fazla f (5) = 5 ∙ (10 – 5) = 25 elde edilir.

Fibonacci dizisi a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = a₁ + a₂, a₄ = a₂ + a₃, a_n+2 = a_n + a_n+1, .... şeklinde tanımlanmıştır. Buradan,

a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 2, a₄ = 3, a₅ = 5, a₆ = 8, a₇ = 13, a₈ = 21, a₉ = 34 olarak bulunur.

34 sayısı 9. terime karşılık geldiğinden doğru cevap C seçeneğidir.

f(x) fonksiyonu bire-bir dir.
y=f-1(x)
Buradan x=f(y)= (3y-7)/(2y+1) elde edilir.Denklemden y çekilirse
y= (y+7)/(-2x+3) olur.Yani f-1(x)= (x+7)/(-2x+3) , f-1(5) ise (5+7)/(-10+3)= 12/(-7) olarak bulunur.

Üyelik fonksiyonlarının belirlenmesinde kullanılan başlıca yöntemler;
a) Sezgi,
b) Çıkarım,
c) Mertebeleme,
d) Açılı bulanık kümeler,
e) Yapay sinir ağları,
f) Genetik algoritmalar,
g) Çıkarımcı muhakeme şeklindedir.

∑_(n=1)^∞▒〖a. r^(n-1) 〗 serisi

eğer r ≤ - 1 ve a ≠ 0 ise lim┬(n→∞)⁡〖s_n 〗 var olmamakta , dolayısı ile seri ıraksak olmaktadır.

Dizilerde limit formülünü yazarsak:

olarak bulunacağından doğru cevap E seçeneğidir.

Çözümü basitleştirilmesi yada zorlaştırılması bir kural seçimi yöntemi değildir. Diğer yöntemler bir kural belirleme aracı olarak düşünülebilir. Doğru cevap A'dır.

Sürekli artan parabolik fonksiyonların üyelik fonksiyonu olarak seçilmesi uygun değildir