a ve b iki gerçel sayı ve a≠0 olmak üzere,

ax + b = 0

şeklindeki bir denkleme birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

 a,b,c gerçel sayılar ve a≠0 şeklindeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.

Verilen denklem için diskriminant;

Δ=(-1)² - 4.1.1=1 - 4= -3<0

olduğundan, bu denklemin çözümü olan bir sayı yoktur.

a,b gerçel sayılar a≠0 olmak üzeri;

• ax + b>0
• ax + b≥0
• ax + b<0
• ax + b≤0

şeklinde yazılabilen bir eşitsizliğe birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.

Elbette verilen eşitsizliklerin her birinde

a,b,c gerçel a≠0 ve x herhangi bir gerçel sayı olmak üzere, ax²+bx+c>0, ax²+bx+c<0, ax²+bx+c≥0 veya ax²+bx+c≤0 şeklinde yazılabilen eşitsizliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik denir.

(x+3)² = x² + 6x + 9 ve (x+1)² = x²+2x+1 olduğundan x² + 6x + 9 ≤ x² + 2x +1 eşitsizliğinin çözüm kümesinin bulunması gerekiyor:

      x² + 6x + 9 ≤ x² + 2x + 1
      6x + 9 ≤ 2x + 1
      4x + 9 ≤ 1
      4x + 8 ≤ 0
      4 (x + 2) ≤ 0
      x + 2 ≤ 0
      x ≤ -2 bulunur.

Bu durumda eşitsizliğin çözüm kümesi, (-∞, -2) aralığıdır.

Bilinmeyen dediğimiz x,y,z,... gibi değişkenleri, 1,2,3,...gibi sayıları ve +,-,×, . . . , kök alma gibi işlemleri içeren ifadelere cebirsel ifade denir.

Dürer'in sihirli karesi yatay, dikey ve köşegen toplamları 34 olan 4x4 bir matristir.

Bir bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin kuvveti bir olan denkleme, birinci dereceden bir bilinmeyenli (veya kısaca birinci dereceden) denklem denir.

3x+2=7, 5y-3=-3, 4z-2=1/2

Bir bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin kuv-veti iki olan bir denkleme, ikinci dereceden bir bilinmeyenli (veya kısacaikinci dereceden) denklem denir.

3x²-5x+4=0 ve x²-x=2

ax+b=d denkleminde b'yi karşı tarafa atarsak:

ax=d-b olur. Buradan da a'yı karşı tarafa atarsak:

x=(d-b)/a

Sayımız x olsun. O zaman soruda verilen ifadeyi denkleme dönüştürürsek:

x+x/2-3=12 olacaktır.

x+x/2=15

3x/2=15

3x=30

x=10 olur. Sayımız 10'dur.

Kısa kenar x, uzun kenar y olsun. O zaman 2(x+y)=24 ve buradan x+y=12 olacaktır. Alanı 35 olduğuna göre xy=35 olacaktır. Bu soruyu tek bilinmeyene dönüştürmek için denklemlerden birini kullanabiliriz. x+y=12 denkleminden y'yi çekersek; y=12-x olacaktır. Şimdi bu y değerini diğer denklemde ikame edersek;

xy=35

x(12-x)=35

12x-x²-35=0 veya x²-12x+35=0 olacaktır.

Tam kare metoduyla çözersek:

x²-12x+36-1=0

(x-6)²=1 ve buradan x-6=-1 veya x-6=1 olur. Bu durumda x=7 ve x=5 bu denklemi sağlayan iki köktür. Kısa kenar sorulduğuna göre cevabımız x=5 olur.

ax²+bx+c=0 denkleminin diskirminantı b²-4ac olduğuna göre verilen denklem için a=2 b=-3 c=5 değerlerini yerine yazarsak diskirminant 9-4*2*5=-31 olur

1. Diskirminant sıfıra eşit olduğunda denklemin tek kökü vardır.

Sıfır. Diskirminantı negatif olan bir denklemin çözümü yoktur.

2. Diskirminant pozitifse denklemi sağlayan 2 tane kök olur.

a,b,c gerçel sayılar, a=0 ve x herhangi bir gerçel sayı olmak üzere,ax²+bx+c>0, ax²+bx+c<0, ax²+bx+c?0 veya ax²+bx+c?0 ¸seklinde yazılabilen eşitsizliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir.

400kg=0.4 ton olduğuna göre, otomobil sayısı x olmak üzere eşitsizlii 0.4x=<8.3

şeklinde kurabiliriz. Buradan x=<20.75 olacaktır. Otomobil sayısı tam sayı olacağına göre cevabımız 20 olacaktır.

ifadeyi çarpanlarına ayırırsak (x-1)(x-2)>0 elde ederiz. Eğer (x-1)(x-2)=0 olsaydı denklemin iki kökü olacaktı x=1 ve x=2 olmak üzere. Bu durumda inceleyeceğimiz 3 aralık bulunmaktadır.

1. x<1 aralığı: x<1 için (x-1) ve (x-2) değerlerinin ikisi de negatif olacaktır. İki tane negatif sayının çarpımı pozitif olacağından x<1 için (x-1)(x-2)>0 olur. Demek ki x<1 aralığı eşitsizliği sağlamaktadır.

2.1<x<2 aralığı: 1<x<2 için (x-1)>0 ve (x-2)<0 olacaktır. Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı negatif olacağından 1<x<2 için (x-1)(x-2)<0 olacak ve bu aralık eşitsizliği sağlamayacaktır.

3.x>2 aralığı: x>2 için (x-1)>0 ve (x-2)>0 olacaktır. İki tane pozitif sayının çarpımı pozitif olacağından x>2 için (x-1)(x-2)>0 olacak ve bu aralık eşitsizliği sağlayacaktır.

Bu durumda 1. ve 3. aralıklar eşitsizliği sağlamakta ve çözüm kümemiz (x<1)U(x>2) olacaktır. Yani Ç=(-?,1)U(2, ?)

Yine çarpanlarına ayıralım:

x(x-5)<0

Bu denklemin de 2 kökü bulunurdu eğer bir eşitlik olsaydı: x=0 ve x=5. Demek ki yine 3 aralık inceleyeceğiz:

1.x<0 aralığı. Bu aralıktan herhangi bir sayı seçelim: örneğin -1. x=-1 için x(x-5)=-1*-6=6>0. Demek ki bu aralıktaki sayılar eşitsizliği sağlamıyor.

2.0<x<5 aralığı. Bu aralıktan da herhangi bir sayı seçelim: örneğin 2. x=2 için x(x-5)=2*-3=-6<0. Demek ki bu aralıkaki sayılar eşitsizliği sağlıyor.

3. x>5 aralığı. Bu aralıktan da x=6 sayısını alalım. x=6 için x(x-5)=6*1=6>0. Demek ki bu aralıktaki sayılar eşitsizliği sağlamıyor.

Bu durumda eşitsizliği sağlayan tek aralık 0<x<5 aralığı olduğu için çözüm kümemiz Ç=(0,5) olacaktır

İfadeyi matematiksel bir ifadeye dönüştürürsek:

x²-x<12

x²-x-12<0

son ifadeyi çarpanlarına ayırırsak:

(x+3)(x-4)<0

Bu ifadeyi, eşitlik olsaydı, x= -3 ve x=4 sağlar idi. Bu nedenle yine 3 aralık inceleyeceğiz.

1.x<-3 aralığı. Bu aralıktan x=-4'ü ele alalım. x=-4 için (x+3)(x-4)=-1*-8=8>0 olacak ve eşitsizlik sağlanmayacaktır.

2.-3<x<4 aralığı. Bu aralıktan x=0'ı seçelim. x=0 için (x+3)(x-4)=3*-4=-12<0 olacak ve eşitsizlik sağlanacaktır.

3. x>4 aralığı. Bu arlıktan x=5'i seçelim. x=5 için (x+3)(x-4)=8*1=8>0 olacak ve eşitsizlik sağlanmayacaktır.

Bu durumda Ç=(-3,4) aralığı eşitsizliği sağlayan tek aralıktır.

x²+x>6 eşitsizliğini sağlayan x sayılarının çözüm kümesi sorulmaktadır.

x²+x-6>0

(x+3)(x-2)>0

x=-3 ve x=2 bakacağımız aralıkların sınırlarını oluşturmaktadır. Yine 3 aralık incelenecektir.

1.x<-3 aralığından x=-4ü seçersek (x+3)(x-2)=-1*-6=6>0 olacağından eşitsizlik sağlanmakta

2.-3<x<2 aralığından x=0 seçersek (x+3)(x-2)=3*-2=-6<0 olacağından eşitsizlik sağlanmamakta

3. x>2 aralığından x=3ü seçersek (x+3)(x-2)=6*1=6>0 olacağından eşitsizlik sağlanmaktadır.

1 ve 3. aralıkların bileşimi çözüm kümesi olacağından Ç=(-?,-3)U(2,?)

3x²+8>0

3x²>-8

x²>-8/3

x ister negatif olsun ister pozitif, isterse x=0 olsun yukardaki eşitsizlik mutlaka sağlanır. Bu nedenle çözüm kümesi Ç=(-?,?) olur.

Bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin bazı değerleri için gerçeklenen eşitliklere denklem denir.

Bir denklemde eşitliği  sağlayan bir sayıya, denklemin çözümü denir.

Denklemin çözümlerinin kümesine de çözüm kümesi denir.

Denklem bilinmeyenin hiçbir değeri için sağlanmıyorsa, çözüm yok ve çözüm kümesi boş kümedir denir.

Bir bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin kuvveti bir olan denkleme, birinci dereceden bir bilinmeyenli (veya kısaca birinci dereceden) denklem denir.

Bu denklemlere örnek olarak,

3x +1 = 0,    

2x -1 = x +5, ... gibi denklemler verilebilir.

Bir bilinmeyen içeren ve bilinmeyenin kuvveti iki olan bir denkleme, ikinci dereceden bir bilinmeyenli (veya kısaca ikinci dereceden) denklem denir.

(Tanım: a, b,c gerçel sayılar ve a  0 olmak üzere, ax²+ bx + c = 0 şeklindeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir.)

Bu denklemlere de örnek olarak,

x²+6x +9 = 0,

x²-3x +7 = 0, ... gibi denklemler verilebilir.

Halının kısa kenarına x dersek, uzun kenarı x + 1 olur. Buradan,

x(x +1) = 6

x²+ x = 6

ya da

x²+ x -6 = 0 denklemi yazılabilir.

(x + y)²= x²+2xy + y²

(x - y)²= x²-2xy + y²

eşitlikleri herhangi iki x ve y gerçel sayıları için doğrudur. Böyle eşitliklere özdeşlik denir.

ax²+bx+c = 0 denklem çözümünde,  b²-4ac ifadesine  diskriminant denir ve ? = b²- 4ac’nin işaretine göre ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin çözümü bulunur.

• Bir eşitsizliğin iki tarafına aynı sayının eklenmesi veya iki tarafından aynı sayının çıkarılması durumunda eşitsizlik bozulmaz.
• Bir eşitsizliğin iki tarafının pozitif bir sayı ile çarpılması veya bölünmesi durumunda eşitsizlik bozulmaz.
• Bir eşitsizliğin iki tarafının negatif bir sayı ile çarpılması veya bölünmesi durumunda eşitsizlik yön değiştirir.

a, b,c gerçel sayılar, a 0 ve x herhangi bir gerçel sayı olmak üzere,

ax²+ bx + c > 0,

ax²+ bx + c < 0, 

ax²+bx+c ? 0 veya

ax²+bx+c ? 0¸

seklinde yazılabilen eşitsizliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. Böyle bir eşitsizliği sağlayan x değerlerinin kümesine de bu eşitsizliğin çözüm kümesi denir.