Belli bazı nesnelerin bir topluluk oluşturduğu kabul edilir ve bu topluluğa küme adı verilir. Bu kümeyi oluşturan nesnelere de kümenin elemanları denir. Küme elemanlarının kesin olması gerekmektedir.

Verilen kümelerden hepsine ait olan elemanlarla oluşturulan kümeye kesişim kümesi adı verilir.

Kesişim kümesi iki kümenin ortak elemanlarından oluşur. Bu durumda A?B = {2} olarak bulunur.

Verilen kümelerden en az birisine ait olan elemanlarla oluşturulan kümeye birleşim kümesi adı verilir.

Birleşim kümesi {2, 3, 4, 5} elemanlarında oluşur. Farklı kümelerde bulunan aynı elemanlar yalnızca bir defa yazılırlar.

Hiçbir elemana sahip olmayan küme boş küme olarak adlandırılır.

Bir kümedeki elemanlar başka bir kümenin de elemanı oluyorsa, bu kümeye öbür kümenin altkümesi denir. Diğer bir şekilde de diğer kümeye üstküme adı verilir.

İki kümede bulunan elemanların oluşturduğu küme; {6,7}’dir ve bu kümenin altkümeleri; Ø, {6}, {7} ve {6, 7} kümeleridir. Yani ortak 4 adet altkümeleri bulunmaktadır.

Üstkümede bulunup da altkümede bulunmayan elemanlara bu altkümenin üstkümedeki tümleyeni adı verilir.

C kümesi B üstkümesinde bulunan ve A altkümesinde bulunmayan elemanlardan oluşur. Öyleyse; C = {3, 7, 9, 15} olarak bulunur.

Ortak hiçbir elemana sahip olmayan kümeler ayrık küme olarak adlandırılır. Bu durumda iki kümenin ayrık küme olması için ortak elemana sahip olmamaları şartı gerekir.

Verilen kümelerden bir kümedeki elemanların diğer kümelerden hiçbirinde olmayanları fark kümesini oluşturur. Bu durumda iki küme için; birinci kümenin ikinci kümeden farkı ve ikinci kümenin birinci kümeden farkı şeklinde iki ayrı fark kümesi oluşturulabilir.

A altkümesinin toplamda 16 adet altkümesi bulunur. Bu işlem tek tek altkümeler yazılarak da bulunabilir. Ø, {1}, {3}, {5}, {7}, {1, 3}, {1, 5}, {1, 7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {1, 3, 5}, {1, 3, 7}, {1, 5, 7}, {3, 5, 7}, {1, 3, 5, 7} İkinci bir yöntem olarak, kümenin alt küme sayısı 2n ile bulunabilir. Buradaki n; kümenin eleman sayısını temsil eder. 2⁴ = 16 adet altküme bu şekilde de bulunabilir. 5 elemanını kümeden çıkardığınızda ise kalan elemanlar ile 2³ = 8 adet altküme oluşturulabilir. Bu durumda 16 altkümenin 8 tanesinde 5 elemanı bulunuyor demektir. 

Günümüzde kullandığımız sayı sistemi Sümer’de doğup, Babil’de olgunlaşmış ve Hint’te sıfır ile taçlanarak şu anki haline ulaşmıştır.

Yazılan sayılar bir taban seçilerek bu tabana göre yazılır. Sayının her bir basamağı bu seçilen tabanın bir kuvvetini temsil eder. Günlük kullanımda bu seçilen taban on iken, bilgisayarlarda kullanılan sistem ikilik tabana dayanır.

Virgülden önceki kısımlar 10’un pozitif kuvvetleri ile ifade edilir, virgülden sonraki kısımlar ise 10’un negatif kuvvetleri ile ifade edilir. Bu durumda 47,34 sayısı; 4x10¹ + 7x10⁰ + 3x10^-1 + 4x10^-2 şeklinde ifade edilebilir.

Bir yüzey alanı 16 cm² olan küpün bir kenarı 4 cm’dir. Yüzey alanı iki kenarın çarpımıyla bulunur.

KxK = K² olur. Hacim ise yüzey alanın yükseklik ile çarpımıyla bulunur. Bu da KxK²= K³ olur.

16cm² x 4 cm = 64 cm³ bulunur.

4² = (2²)² = 24 olur. 5⁴x2⁴ = 10⁴ olur. Aynı üsse sahip iki sayının çarpımı, tabanların çarpımı ile ifade edilebilir. Bu durumda x = 4 olmaktadır.

64 = 2⁶ ve 64² = 2¹²
2¹² = 2¹⁰ x 2²
0,025 = 5² x 10^-3
2¹⁰ x 2² x 5² x 10^-3 = 2¹⁰ x 10² x 10^-3
= 2¹⁰ x 10^-1 = 1024 x 10^-1

Bu durumda a = 1024 ve b = -1 olur. a + b de 1023 olarak bulunur. 

4² = (2²)² = 2⁴ olur.
2⁴ x 2³ = 2⁴⁺³ = 2⁷
2⁷ x 5⁷ = 10⁷
10⁸ x 10⁷ = 10⁸⁺⁷ = 10¹⁵ olarak bulunur.

Babası çocuğa her gün elindeki misket sayısı kadar misket verir. Bu durumda her gün çocuğun elindeki misket sayısı 2 katına çıkar. Birinci gün sonunda 5x2, ikinci gün sonunda 5x2x2 şeklinde devam eder. Yani çocuğun elindeki misket sayısı 2ⁿ olur. Burada n gün sonunu temsil etmektedir. Çocuğun elinde 12. günün sonunda 5x2¹² adet misket vardır. Çocuk 13. gün henüz misket almamış ve elinde hala 5x2¹² misket varken, onda birini kardeşine vermiştir.

2¹² = 2¹¹⁺¹ = 2¹¹x2¹
5x2x2¹¹ = 10x2¹¹
10x2¹¹ /10 = 2¹¹ = 2048
Çocuk kardeşine 2048 adet misket vermiştir.

4^x+1 = 4^{(x-1) + 2} = 4² x 4^x-1 = 16 x 4^x-1
16 x 4^x-1 – 4^x-1 = 15 x 4^x-1
15 x 4^x-1 = 60
4^x-1 = 4
x-1 = 1
x = 2 olarak bulunur.

11 x 2ⁿ + 5 x 2ⁿ = 2ⁿ (11 + 5)
16 x 2ⁿ = 2⁴ x 2ⁿ = 2^{4 + n}
8⁴ = (2³)⁴ = 2¹²
2⁴⁺ⁿ = 2¹²
4 + n = 12
n = 8

2^a+3 = 2^a x 2³ = 8 x 2^a

3 x 2^a+1 = 3 x 2¹ x 2^a = 6 x 2^a

8 x 2^a + 6 x 2^a – 5 x 2^a = 9 x 2^a = 72

2^a = 8 = 2³

a = 3 olarak bulunur.

4^a = (2²)^a = 2^2a

2^2a+6 = 2^2a x 2⁶ = 64 x 2^2a

64 x 2^2a / 2^2a = 64 katı olarak bulunur.

Birinci gün 3 m İkinci gün 3 m

Üçüncü gün 3 x 3 = 3² m

Dördüncü gün 3² x 3 = 3³ m

Beşinci gün 3³ x 3² = 3⁵ m

Altıncı gün 3⁵ x 3³ = 3⁸ m sürmüştür.

3⁸ = (3²)⁴ = 9⁴ = 9^a

a = 4 olarak bulunur.

Basamaklardaki sayı değerleri toplamı 1 + 9 + 8 + 5 = 23 olarak hesaplanır.

Onlar basamağındaki rakamın basamak değeri ise 80’dir. Onlar basamağındaki rakamın basamak değeri ve rakamların sayı değerleri toplamı; 80 + 23 = 103 şeklinde hesaplanır.

1377 sayısını ikiye bölersek 688,5 sayısını elde ederiz. Bu sayılar tamsayı olduğu için küçük 688 ve büyük 689 olursa toplamları 1377 yapar. Küçük sayının da alabileceği maksimum değer 688 olmuş olur.

En büyük sayının en fazla değer alabilmesi için diğer üç sayının mümkün olan en küçük değerleri almaları gerekir. En küçük sayı, iki basamaklı en küçük pozitif tamsayı olan 10 değerini alır. Bu sayılar birbirinden farklı olduğu için diğer iki sayı 11 ve 12 değerlerini alabilir. Bu durumda bu üç sayının toplamı; 10 + 11 + 12 = 33 yapar. Geriye kalan en büyük sayının aldığı değer ise; 108 – 33 = 75 olur.

Bu rakamlarla oluşturulabilecek üç basamaklı en büyük sayı 742’dir. Aynı şekilde en küçük sayı da 204 olur. Bu iki sayı arasındaki fark; 742 – 204 = 538 olarak bulunur.

Bu iki basamaklı sayıya ab dersek ba sayısı ab sayısından 45 daha büyük oluyor. Bu iki sayı arasındaki fark;

ba – ab = 45

9b – 9a = 45

9(a – b) = 45

a – b = 5 olarak bulunur.

Z = {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}

A= {0,2,4,6,8}

A= {1,3,5,7,9,11} ve B= {4,5,6,7,8,9}  

A ? B = {5,7,9}  

A \ B= {S,Ş,R}

Hint uygarlığı

Onluk

1

İrrasyonel sayı

Ayrık kümeler