MATEMATİKSEL İKTİSAT Dersi ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR soru cevapları:

Toplam 19 Soru & Cevap
PAYLAŞ:

#1

SORU:

f(x,y)=2xy-3x+5y-1 fonksiyonu için f(1,2)=?


CEVAP:

f(1,2)=2*1*2-3*1+5*2-1=4-3+10-1=10


#2

SORU:

f(z,y)=2xy/(4-x2) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?


CEVAP:

Bir kesirin paydasının sıfır olması durumunda kesir tanımsız olur. Bu nedenle x=2 ve x=-2 değerleri için f(x,y) tanımsızdır. Öyleyse tanım kümesi x=2 ve x=-2 hariç tüm (x,y) ikilileridir.


#3

SORU:

z=3x2+2xy-6y2+5 fonksiyonu için dz/dx ve dz/dy kısmi türevlerini hesaplayınız.


CEVAP:

dz/dx=6x+2y

dz/dy=2x-12y


#4

SORU:

z=3x2+2xy-6y2+5 fonksiyonu için fxx, fyy, fyx ve fxy ikinci dereceden kısmi türevlerini bulunuz.


CEVAP:

fx=6x+2y     fxx=6       fxy=2

fy=2x-12y    fyy=-12    fyx=2


#5

SORU:

Bir mal için talep fonksiyonu q=400-3p2 şeklinde ise p=10 için talebin fiyat esnekliğini hesaplayınız.


CEVAP:

Talebin fiyat esnekliği=(dq/dp)*(p/q) olduğuna göre

p=10 için dq/dp=-6p=-60 ve q=400-3p2=400-300=100 ve p/q=10/100=0.1 olduğundan esneklik=-60*0.1=-6 olacaktır


#6

SORU:

X malı için talep fonksiyonu q=300-20Px+30Py+0.01Y şeklinde verilmiş olsun. Px=10 Py=5 ve Y=10000 iken X malı için talebin fiyat esnekliği, gelir esnekliği ve çapraz fiyat esnekliğini hesaplayınız.


CEVAP:

Önce fiyat esnekliğini hesaplayalım. Px=10, Py=5 ve Y=10000 için:

q=300-20*10+30*5+0.01*10000=300-200+150+100=350

dq/dPx=-20 olduğundan esneklik=(dq/dPx)*(Px/q)=-20*10/350=-4/7 olur.

Şimdi de çapraz fiyat esnekliğini hesaplayalım:

dq/dPy=30 olduğundan çapraz fiyat esnekliği=(dq/dPy)*(Py/q)=30*5/350=3/7 olur.

Son olarak gelir esnekliğini hesaplayalım:

dq/dY=0.01 olduğundan gelir esnekliği=(dq/dY)*(Y/q)=0.01*10000/350=100/350=2/7 olur.


#7

SORU:

Bir tüketicinin fayda fonksiyonu U=x0.6y0.4 şeklinde verilmişse X ve Y malları için Ux ve Uy marjinal fayda fonksiyonlarını bulun.


CEVAP:

Ux=dU/dx=0.6(y/x)0.4

Uy=dU/dy=0.4(x/y)0.6


#8

SORU:

Bir önceki sorudaki tüketici için fayda fonksiyonunun eğimini bulun (dy/dx)


CEVAP:

dy/dx=-Ux/Uy=(0.6(y/x)0.4)/(0.4(x/y)0.6)=-3y/2x


#9

SORU:

Bir üretim fonksiyonunun homojen olmasının koşulu nedir?


CEVAP:

Q= ƒ (K, L) biçimindeki bir üretim fonksiyonunda, herhangi bir n sayısı için ƒ(?K, ?L) = ?nƒ(K, L) ise fonksiyonun homojen olduğu söylenir.


#10

SORU:

Ölçeğe göre getiri ve homojenlik arasındaki ilişkiyi açıklayınız.


CEVAP:

Q= ƒ (K, L) biçimindeki bir üretim fonksiyonunda, herhangi bir n sayısı için ƒ(?K, ?L) = ?nƒ(K, L) ise fonksiyonun homojen olduğu söylenir. n= 1 ise fonksiyon ölçeğe göre sabit getiri sergiler. Yani girdilerdeki artış oranı ile çıktıdaki artış oranı aynıdır. n< 1 ise fonksiyon ölçeğe göre azalan getiri sergiler. Yani girdiler belli bir oranda arttırıldığında, çıktıdaki artış bundan daha az olur. n> 1 olduğunda fonksiyon ölçeğe göre artan getiri sergiler. Yani girdiler belli bir oranda arttırıldığında, çıktıdaki artış, bundan daha fazla olur.


#11

SORU:

F(K,L)=K0.7L0.3 üretim fonksiyonu homojen midir?


CEVAP:

Homojen olup olmadığını anlamak için F(aK, aL) fonkisyonunu F(K,L) fonksiyonu cinsinden yazalım:

F(aK,aL)=(aK)0.7(aL)0.3=a0.7a0.3K0.7L0.3=aK0.7L0.3=aF(K,L) olduğundan bu üretim fonksiyonu homojendir.


#12

SORU:

F(K,L)=KL fonksiyonu homojen midir? Homojense kaçıncı dereceden homojendir?


CEVAP:

F(aK,aL)=(aK)(aL)=a2KL==a2F(K,L) olduğundan 2. dereceden homojendir.


#13

SORU:

F(K,L)=K0.7L0.3 üretim fonksiyonu için emeğin ve sermayenin marjinal ürünlerini hesaplayınız. Emek miktarı arttıkça emeğin marjinal ürünü artmakta mıdır?


CEVAP:

Emeğin marjinal ürünü: MPK=dF/dK=0.7(K/L)0.3 olur. Emek miktarı arttıkça emeğin marjinal ürününün azalması için ikinci dereceden türevin negatif olması gerekir. Yani FLL<0 olmalıdır.

FLL=dMPL/dL=-0,21K0.7L-1.3<0 olduğundan, evet emek miktarı arttıkça emeğin marjinal ürünü azalmaktadır.

Sermayenin marjinal ürünü: MPL=dF/dL=0.3(L/K)0.7


#14

SORU:

F(K,L)=K0.7L0.3 üretim fonksiyonu için marjinal teknik ikame oranını hesaplayınız. Emek miktarı arttıkça marjinal teknik ikame oranı artar mı azalır mı?


CEVAP:

Marjinal teknik ikame oranı: MRTS=dK/dL=(dF/dL)/(dF/dK) olduğundan bu fonksiyon için marjinal teknik ikame oranı:

MRTS=(dF/dL)/(dF/dK)=(0.3(K/L)0.7)/(0.7(K/L)0.3)=(3/7)(K/L)=3K/7L olur. Bu durumda L arttıkça payda büyüyeceğinden kesirin değeri küçülmekte, yani emek miktarı arttıkça marjinal teknik ikame oranı düşmektedir.


#15

SORU:

P bir ürünün fiyatını, r birim sermayenin kira bedelini, w birim işçilik ücretini belirtmek üzere üretim fonksiyonu F=KL olan bir mal için kar fonksiyonunu emek ve sermayenin çok değişkenli bir fonksiyonu olarak yazınız.


CEVAP:

Kar=Satış Hasılatı-Toplam Maliyet

Kar=PQ-rK-wL=PKL-rK-wL


#16

SORU:

Cobb-Douglas tipi bir üretim fonksiyonu için ölçeğe göre getiri koşullarını yazınız.


CEVAP:

Q=AKaLb şeklinde tanımlı bir Cobb-Douglas üretim fonksiyonu için:

Eğer a+b<1 ise ölçeğe göre azalan getiri;

eğer a+b=1 ise ölçeğe göre sabit getiri,

eğer a+b>1 ise ölçeğe göre artan getiri geçerlidir.


#17

SORU:

Ölçeğe göre azalan getirili bir üretim fonksiyonu örneği yazınız


CEVAP:

Q=K0.4L0.3 ölçeğe göre azalan getiriye sahip bir üretim fonksiyonudur zira 0.3+0.4=0.7<1. Yani, örneğin, emek ve sermaye iki katına çıkarıldığında ürün miktarı 2 katına çıkmayacak, 2 kattan daha düşük olacaktır.


#18

SORU:

Ölçeğe göre artan getirili bir üretim fonksiyonu yazınız.


CEVAP:

Q=2KL ölçeğe göre artan getirilidir. Zira, emek ve sermaye miktarı, örneğin 3 katına çıkarıldığında ürün miktarı 9 katına çıkmaktadır.


#19

SORU:

Fayda fonksiyonu nedir?


CEVAP:

Fayda fonksiyonu, tüketilen mal miktarlarının bir fonksiyonu olarak tüketiciye sağlanan tatmindir.