Tüketiciler faydalarının maksimum olmasını isterler. Bu nedenle bu bir maksimizasyon problemidir. Öyleyse söz konusu fayda fonksiyonunun 1. derece kısmi türevleri sıfıra eşit olmalı, bu fonksiyondan elde edilecek Hessian matrisinin ise determinantı pozitif ve asal minörlerinden en az biri negatif olmalıdır. İlk önce 1. derece kısmi türevleri bulalım:

U(x,y)=-5x²-y²+40x+10y-15

U_x=-10x+40=0,   x=4

U_y=-2y+10=0,   y=5 olacaktır. Bu değerleri yerine yazınca da U=90 bulunur. Şimdi bu tüketim miktarlarının diğer koşulları yerine getirip getirmediğini test edelim. 2. derece kısmi türevleri alırsak:

U_xx=-10   U_xy=0   

U_yx=0   U_yy=-2   olacaktır. Buradan Hessian matrisi:

olur. Görüldüğü üzere hem determinant pozitif hem de asal minörler negatiftir. Dolayısıyla doğru cevap B'dir.

Bir matrisin pozitif belirli olması için tüm asal minörlerinin pozitif determinantlı olması gerekir. A ve B şıklarındaki matrislerin ilk minörleri pozitif değildir. C ve E şıklarındaki matrislerin ise ilk minörleri pozitif olsa da ikinci minörleri negatiftir. D şıkkındaki matrisin ise bütün minörleri pozitiftir. Bu nedenle cevap D'dir.

Eğer talebin fiyat esnekliği 0 ile -1 arasında ise o mal esnek olmayan mal olarak adlandırılır.

Kâr fonksiyonu, toplam hâsıla fonksiyonundan toplam maliyet fonksiyonunun çıkarılmasıyla elde edilir. Toplam hasıla fonksiyonu ise talep fonksiyonu ile miktarın çarpılması sonucu bulunur. Buna göre Toplam hasıla fonksiyonu TR=(4Q-22)Q = 4Q²-22Q'dir. Kâr fonksiyonu

π=TR-TC = 4Q²-22Q – (12-8Q) olarak yazıldığında π=4Q² - 14Q – 12 olarak elde edilir. Bu nedenle Doğru Cevap A seçeneği olur.

Maliyet minimizasyonu yapacağımıza göre Langrange ifadesi şu şekilde olacaktır:

Buradan 1. derece türevleri alırsak:

=0 ve  =0 olacaktır. Buradan:  eşitlikleri bulunur. Bunları taraf tarafa bölersek:

 bulunur. Üretim fonksiyonunda bunu ikame edersek:

 bulunur. Buradan da minimum toplam maliyet (10*700)+(5*1400)=14000 olur.

Firmanın kâr fonksiyonu;
?(Q)=TR(Q)-TC(Q)
?(Q)=8Q-Q²-(1/3 Q³-10Q²+80Q+500)

İlk olarak firmanın kârını maksimum yapan değerleri bulabilmek için kâr fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan noktaları belirleyelim. Buna göre;
(d?(Q))/dQ=8-2Q-Q²+20Q-80=0
(d?(Q))/dQ=-Q²+18Q-72=0

sonucu elde edilir. Yukarıdaki denklemin kökleri bulunarak birinci türevi sıfır yapan üretim değeri ya da değerleri elde edilir.
(Q-12)(Q-6)=0

Buna göre köklerden biri Q₁=6, diğeri Q₂=12’dir. Hangisinin firmanın kârını maksimum yaptığına karar verebilmek için ikinci türev koşullarına bakılır.
d² ?(Q)/(dQ² )=-2Q+18
d² ?(Q)/(dQ² ) (Q₁=6)=-2(6)+18=6>0
d² ?(Q)/(dQ² ) (Q₁₂=12)=-2(12)+18=-6<0

Görüldüğü gibi Q₂=12 kâr fonksiyonunun türevinde değerlendirildiğinde negatif sonuç bulunmuştur. Kârı maksimum kılan değer ikinci türevi negatif yapan değerdir. Dolayısıyla firmanın kârını maksimum yapan üretim düzeyi Q=12’dir.

Basit yatırım çarpanını  bu formül ile hesaplıyoruz. Burada b gelirin önündeki katsayıyı gösteriyor. Bu durumda çarpan;
 olarak hesaplanır.

I. Kritik nokta, bir fonksiyonun ikinci türevini sıfır yapan değer olarak tanımlanır. (Yanlış, kritik nokta, bir fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan değer olarak tanımlanır. )

II. Bir fonksiyon için ikinci türevi pozitif yapan değer fonksiyonunu minimum yapan değerdir. (Doğru)

III. Bir fonksiyon için ikinci türevi negatif yapan değer fonksiyonunu maksimum yapan değerdir. (Doğru)

Cevap E şıkkıdır.

Toplamın en düşük olması istendiğine göre bu bir minimizasyon problemidir. Kısıt fonksiyonumuz K(x,y)=xy=900, minimum olmasını istediğimiz amaç fonksiyonumuz ise f(x,y)=x+y’dir.

Yerine koyma yöntemiyle tek değişkene indirerek çözelim:

xy=900 ise y=900/x olur. f(x,y)=x+y=x+(900/x)

şimdi de 1. türevi alıp sıfıra eşitleyelim:

f_x=1-(900/x²)=0

1=900/x²

900= x²

30=x ve y=900/x olduğundan y=30 olur. Bu durumda x+y=30+30=60 olacaktır. Doğru cevap A’dır.