x ile 1 tane gömleğin fiyatını, y ile 1 tane pantolonun fiyatını gösterelim. O halde 15 TL 3 gömlek ve 2 pantolon alınıyorsa buradan,

3x +2y = 15

elde edilir. Benzer şekilde 23 TL ile 2 gömlek ve 5 pantolon alınıyorsa,

2x +5y = 23

elde edilir.

Bu verilerden elde edilen doğrusal denklem sistemi ise,

2x + 2y =15

2x + 5y = 23

olarak bulunur.

x ile 1 tane elmadaki karbonhidratı y ile 1 tane şeftalideki karbonhidratı gösterelim. Bu durumda 1024, 2 tane elma ve 7 tane şeftalideki toplam karbonhidrat olduğuna göre,

2x + 7y = 1024 

elde edilir.

Elde edilen verilerden,

2x +7y = 1024

3x + 3y = 987

doğrusal denklem sistemine ulaşılır.

x ile 1 metre bakır telin fiyatını y le 1 metre gümüş telin fiyatını gösterelim. Bu durumda 1 metre bakır tel ve 3 metre gümüş tel 14 TL olduğuna göre,

x + 3y = 14

Daha sonra yarım metre bakır telin ve 4 metre gümüş telin fiyatı 18 TL ise,

1/2 x + 4y = 18

doğrusal denklem elde edilir.

Yukardaki ifadeyi 2 le çarpıp düzenlersek,

x + 8y = 36

elde edilir.

Elde edilen verilerde,

x + 3y = 14

x + 8y = 36

doğrusal denklem sistemine ulaşılır.

İkinci denklemden x’i çekersek,

x = 4y − 6

elde edilir.

Bu değer birinci denklemde yerine yazılırsa,

24y − 6 + 16y = 12

24y − 12 = 12

24y = 24

y = 1

elde edilir.

x = 4y − 6 denkleminde y değerini yerine yazarsak,

x = −2 olarak bulunur.

İkinci denklemi -3/2 ile çarpıp birinci denklem ile ikinci denklemi taraf tarafa toplarsak,

3x − 7y = 29

−3x − 9y = 3

Yani, −16y = 32 ve buradan, y = −2 elde edilir.

İkinci denklemde y = −2 alınırsa,

2x + 6y = −2

2x + 6. −2 = −2 olur.

Buradan,

2x = 10

x = 5

elde edilir.

Birinci denklemden y’yi çekersek,

y = 2x − 8

elde edilir.

Bu değer ikinci denklemde yerine yazılırsa,

5x + 3y = 9

5x + 3. 2x − 8 = 9

11x = 33

x = 3

elde edilir.

y = 2x − 8 denkleminde x değerini yerine yazarsak,

y = −2 elde edilir.elde edilir.

Cevap: Birinci denklemi 2 ile çarpıp birinci denklem ile

ikinci denklemi taraf tarafa toplarsak,

4x + 8y = 48

11x − 8y = 12

Yani, 15x = 60 ve buradan, x = 4 elde edilir.

Birinci denklemde x = 4 alınırsa,

2x + 4y = 24

2.4 + 4y = 24

4y = 16

y = 4

elde edilir.

İkinci denklemden x’i çekersek,

x = 4 + 3y / 4

elde edilir.

Bu değer birinci denklemde yerine yazılırsa,

3x + 4y = 5

3.( (4 + 3y) /4) + 4y = 5

12 + 25y = 20

25y = 8

y = 8/25

elde edilir.

y değerini,

x = ((4 + 3y)/4)

denkleminde yerine yazarsak,

x = 124/100

elde edilir.

İkinci denklemi 4 ile çarpıp birinci denklem ile ikinci denklemi taraf tarafa toplarsak,

11x − 4y = 5

8x + 4y = 5

Yani, 19x = 10 ve buradan, x = 10/19 elde edilir.

İkinci denklemde x = 10/19 alınırsa,

2x + y = 1

2.(10 / 19) + y = 1

20 / 19 + y = 1

y = −1 / 19

elde edilir.

Üçüncü denklemi 3 ile çarpıp birinci denklem ile toplarsak,

5y − 2z = 1

2x + 2y + 4z = −2

−x + y − z = 0

elde edilir.

Daha sonra üçüncü denklemi 2 ile çarpıp ikinci denklem ile toplarsak,

5y − 2z = 1

4y + 2z = −2

−x + y − z = 0

 elde edilir.

Birinci denklem ile ikinci denklemi taraf tarafa toplarsak,

9y = −1

4y + 2z = −2

−x + y − z = 0

elde edilir.

Birinci denklemden y = -1 / 9 elde edilir. Bu değer,

4y + 2z = −2

denkleminde yerine yazıldığında,

z = -4 / 9 

y ve z değerleri −x + y − z = 0 denkleminde yerine yazılırsa,

x = 1 / 3

olarak bulunur.

İkinci denklemi -6 ile çarpıp birinci denklem ile toplarsak,

−10y + 5z = −4

x + 2y − z = 0

2x + y + z = 3

elde edilir.

Tekrar ikinci denklemi -2 ile çarpıp üçüncü denklem ile toplarsak,

−10y + 5y = −4

x + 2y − z = 0

−3y + 3z = 3

elde edilir.

Üçüncü denklemi 1 / 3 ile çarparsak,

−10y + 5y = −4

x + 2y − z = 0

−y + z = 1

elde edilir .

Üçüncü denklemi -10 ile çarpıp birinci denklem ile toplarsak,

−5z = −14

x + 2y − z = 0

−y + z = 1

elde edilir.

Birinci denklemden z = 14 / 5 olarak bulunur.

Bu değer −y + z = 1 denkleminde yerine yazılırsa,

y = 9 / 5

bulunur.

Bulunan bu değerler, x + 2y − z = 0 denkleminde yerine yazılırsa,

x = -19 / 5

olarak bulunur.

Tavuk sayısına x, kuzu sayısına y dersek:

x+y=35 (hayvan sayısını veren denklem)

2x+4y=100 (ayak sayısını veren denklem, zira tavukların 2'şer kuzuların 4'er ayağı bulunur)

Haftada 7 gün olduğuna göre x+y=7

x gün 3 bez, y gün 2 bez kullandığını varsayalım o zaman: 3x+2y=16

İlk denklemden y'yi çekelim: y=7-x

Bu değeri ikinci denkleme yerleştirelim:

3x+2(7-x)=14+x=16 ve buradan x=2 olur.

Sıfır. Doğrular paralel olduğundan asla kesişmezler denklem sisteminin çözümü olmaz.

Örneğin x+y=10 ve 2x+2y=70

Evet olabilir. Eğer denklemlerin doğruları binişikse sonsuz noktada kesişmiş olurlar ve sonsuz çözüm olur.

Örneğin:

x+y=7

3x+3y=21

ikinci denklem ilk denklemin 3'le çarpılmış hali olduğundan ikisi de aslında aynı doğruyu ifade eder, veya üstüste binmiş 2 doğruyu. Bu nedenle sonsuz çözüm bulunur.

Örneğin

x-y+2z=5

2x-y+z=1

x+y-3z=-3

1. Denklem sistemindeki bir değişkeni bir denklemi kullanarak diğer değişken cinsinden yazıp bu değeri diğer denklemde ikame etmek

2. Denklem sistemindeki bir değişkeni götürmek için negatif (veya pozitif) bir sayıyla çarpıp alt alta toplayarak elemek

1 ve 3. denklemleri alt alta toplarsak 2x+2z=10, buradan x+z=5, yani z=5-x

1 ve 2. denklemleri alt alta toplarsak 3x-2y=2, buradan 3x-2=2y, yani y=(3x-2)/2

Böylece bütün değişkenleri x cinsinden yazmış olduk. Şimdi bu değerleri herhangi bir denklemde yerine yazalım, örneğin 3. denklemde:

x+(3x-2)/2+5-x=7

(3x-2)/2=2

3x-2=4

x=2

Buradan z=5-x=3 ve y=(3x-2)/2=2 olur. Yani (x,y,z)=(2,2,3)

Sadece 1 satırdan oluşan matrise satır matrisi, sadece 1 sütundan oluşan matrise de sütun matrisi denir.

Katsayı matrisine denklemlerin sağ tarafını oluşturan değer sütununun da eklenmesiyle oluşan matrise genişletilmiş matris denir.

Bütün elemanları sıfır olan matristir.

Bir matrisin toplamaya göre tersi ile kendisinin toplamı sıfır matrisini verir. Bu nedenle A matrisinin toplamaya göre tersi -A olur.

İlk matrisin sütun sayısı ile ikinci matrisin satır sayısı aynı olmalıdır. Örneğin 4x3 bir matris ile 3x5 bir matris çarpılabilir ve sonuç 4x5 bir matris olur.

Hayır yoktur. AxB tanımlı olup BxA tanımsız bile olabilir, eğer ki ilk matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşit değil ise.

Bu sorunun cevabı olumsuz. Sistemdeki her bir denklem düzlemde bir doğruya karşılık geldiğinden, bu soru geometrik olarak iki doğru her zaman kesişir mi, kesişirse tek noktada mı kesişir sorusuna dönüşür.

l₁ : y = m₁ x + n₁
l₂ : y = m₂ x + n₂
olmak üzere m₁ = m₂ ve n₁ ile n₂ birbirlerine eşit değil ise doğrular paraleldir. 

l₁ : y = m₁ x + n₁
l₂ : y = m₂ x + n₂
olmak üzere m₁ = m_{2 ve} n₁ = n₂ olduğunda doğrular çakışık olur.

Bir denklem sistemini çözmek için sırasıyla aşağıdaki işlemler uygulanırsa sistemin çözümü değismez.
1. İki denklemin yeri değiştirilebilir,
2. Sistemdeki bir denklem sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılabilir,
3. Bir denklem bir sayı ile çarpılıp, sistemdeki diğer bir denkleme eklenebilir.

İki denklemin sol yanları eşit fakat sağ yandaki sayılar farklı. Aynı ifade farklı iki sayıya eşit olamayacağı için sistemin hiçbir çözümü yoktur.

Bir matristeki düz yatay bir sıraya matrisin bir satırı, dikey bir sıraya matrisin bir sütunu adı verilir.

Sadece bir satırdan olu¸san matrise satır matrisi, sadece bir sütundan oluşan matrise sütun matrisi adı verilir.

Bu işlemler: iki satırın yerlerinin değiştirilmesi; bir satırın sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılması; bir satırın bir sayı ile çarpılıp bu çarpımın başka bir satırla toplanmasıdır.

Satır ve sütun sayıları eşit olan bir matrise bir kare matris denir.