Türev bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim hızıdır.

Türev 17. yüzyılda İngiliz bilim adamı Newton (1642 – 1727) ile Alman bilim adamı Leibniz (1646 – 1716) tarafından geliştirilmiştir.

Türev; fizik, kimya, mühendislik gibi alanlardan tıp, ekonomi ve sosyal bilimlere kadar tüm uygulamalı bilimlerin vazgeçilmez aracıdır. Türev kavramı genel limit kavramı yardımı ile anlatılmaktadır.

Limit kavramı tarihte ilk kez Datça’lı Eudoxus (M.Ö. 408 – 355) yıllarında ortaya atılmıştır.

Exodus limitin eğrilerle sınırlanmış alanların, üçgen veya dikdörtgenin alanları yardımıyla bulunabileceğini söylemiştir. Eudoxus’un düşüncesi bir çemberin içine çizilen bir düzgün çokgenin kenar sayısını 4, 8, 16, 32, 64 ... gibi her seferinde iki kat artırdığımızda, çokgenlerin giderek çembere ve çokgenlerin alanının da artarak dairenin alanına yaklaşması ile açıklanabilir.

Bu gün kullanılan limit kavramı ise 19. yy.’da özellikle Fransız matematikçi Cauchy (1789 – 1857) ile Alman matematikçi Weierstrass (1815 – 1897) ın katkıları ile olgunluğa ulaşmıştır.

x değişkeni 2 sayısına yaklaşırsa f(x) = x² de 2’nin karesi olan 4’e yaklaşır. Yani x→2 ise x²→ 4 olur. İşte bu durumda x → 2 için veya x = 2 noktasında f fonksiyonunun limiti 4’tür denir ve lim_x-2^f(x)= lim_x-2^x2=4 biçimde gösterilir.

İki fonksiyonun toplamının limiti; limitler toplamına eşittir. İki fonksiyonun çarpımının limiti; limitler çarpımına eşittir. İki fonksiyonun bölümünün limiti; paydanın limiti sıfırdan farklı olmak üzere, limitlerin bölümüne eşittir.

Bir fonksiyonun bir noktadaki limitinin fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olması fonksiyona süreklilik özelliğini kazandırır.

Eğer, lim_x-xa

Bir fonksiyonun aldığı değerlerin varsa en büyüğüne fonksiyonun mutlak maksimum değeri, aldığı değerlerin varsa en küçüğüne de fonksiyonun mutlak minimum değeri denir. [a, b] kapalı aralık üzerinde tanımlı sürekli bir fonksiyon en az birer noktada mutlak maksimum ve mutlak minimum değerini alır.

Mutlak maksimum ve mutlak minimum özelliklerine ilaveten sürekli fonksiyonların bir başka özelliği ise [a, b] kapalı aralığı üzerinde tanımlı sürekli bir fonksiyon aldığı iki değer arasındaki her değeri en az bir noktada alır. Bu özelliğe “Ara Değer Teoremi” denir.

Eğer otomobillerin hız göstergesi sürekli bir fonksiyon olarak düşünülürse, otomobilin hızı 60 km/s’e çıkmadan önce hız göstergesi 60km/s’den küçük her hızı mutlaka çok kısa bir süre de olsa göstermesi, hem sürekliliğe hem de ara değer teoremine bir örnek olarak verilebilir.

f(x) = x³ + 2x + 5 = 0 denkleminin [–2, 1] aralığında bir kökü olup olmadığını tespit etmek maksadıyla, fonksiyonun tanım kümesinin uçlarında aldığı değerlere bakılacak olursa, f(–2) = –7 ve f(1) = 8 olduğu görülür. Ara Değer Teoremine göre, 0 sayısı –7 ile 8 arasında olduğundan dolayı, fonksiyon en az bir noktada sıfır değerini almak zorundadır.

3

f : [a, b]→ℜ fonksiyonu sürekli ve (a, b) açık aralığının her noktasında türevi olan bir fonksiyon olsun.

1. Eğer her x ∈ (a, b) için f '(x) > 0 ise f fonksiyonu [a, b] aralığında artandır.

2. Eğer her x ∈ (a, b) için f '(x) < 0 ise f fonksiyonu [a, b] aralığında azalandır.

y=f(x)’in daima artan olabilmesi için f(x)’in daima (x’in bütün reel sayı değerleri için) pozitif olması gereklidir.

O halde;

Bir fonksiyonun ikinci türevi negatif ise bu nokta yerel maksimum noktası, pozitif ise bu nokta bir yerel minimum noktasıdır. Eğer ikinci mertebeden türev sıfır ise, maksimum ya da minimum nokta olup olmadığına bu yöntemle karar verilemez, birinci türevin işaretiyle karar verilir.

x = 2 noktası yerel maksimum noktasının apsisi olduğuna göre f(2) = 5 yerel maksimum değeri ve (2, 5) noktası yerel maksimum noktasıdır. x = 4 noktası yerel maksimum noktasının apsisi olduğuna göre, f(4) = 6 yerel maksimum değeri ve (4, 6) noktası yerel maksimum noktasıdır.

y = f(x) fonksiyonunun mutlak minimum noktası (5, 1) dir. Mutlak minimum (en küçük) değeri f(5) = 1 dir.

y = f(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktaları (2, 5), (4, 6) dır. y = f(x) fonksiyonunun mutlak maksimum noktası (4, 6) dır. Mutlak maksimum (en büyük) değeri f(4) = 6 dır.

Polinom şeklindeki fonksiyonların x = a nokasındaki limitleri f(a) ile bulunur.

f(x) = 3x² – 4x + 9

= 3.2² – 4.2 + 9

= 13

f(x) = 4x² – 5, x < 2 ise

f(x) = 3x + 5, x? 2 ise

f(x) fonksiyonunun kritik noktası 2’dir. Fonksiyon x’in 2’den büyük veya küçük oluşuna göre 2 şekilde tanımlanmaktadır.

Bu tip fonksiyonları çözerken sağdan ve soldan yaklaşımın limitlerini ayrı ayrı hesaplamamız gerekir.

x’e soldan yaklaştığımızda 4x² – 5 fonksiyonunu kullanırız.

Lim_x›2-  (4x² – 5) = 4.2² – 5

Lim_x›2-  (4x² – 5) = 11

x’e sağdan yaklaştığımızda 3x + 5 fonksiyonunu kullanırız.

Lim_x›2+ = 3x + 5 = 3.2 + 5 = 11

Sağ ve sol limitler eşit olduğundan f(x) fonksiyonunun x ›2 için limiti 11’dir.

x = 4 için 0/0 belirsizliği oluşmaktadır.

x² + x – 20 = (x - 4)(x + 5)

x² – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4)

olduğundan;

?/? belirsizliği oluşmaktadır.

Rasyonel ifade üzerinde bir dizi işlem yapalım.

Pay ve paydayı x² ye bölelim.

Limitlerin mutlak değer özelliğinden;

lim_x›3 (|x – 4|) 

= |limx›3 (x – 4)|

Şimdi mutlak değer içine almadan Lim_x›3 f(x) değerini bulalım

Lim_x›3 (x – 4) = 3 – 4 = -1

Şimdi bulduğumuz değerin mutlak değerini alalım.

|lim_x›3 (x – 4)|= | - 1| = 1

x yerine 2 koyarsak 0/0 belirsizliği oluşur.

İfadeyi çarpanlarına ayırırsak;

= x³ + 8 sonucunu elde ederiz. Bunu limit ifadesinde yerine koyarsak;

lim_x›2 (x³ + 8) = 8 + 8 = 16 buluruz.